大圓 小圓參數公式   目錄   自修網頁目錄   Introduction
本卷由大圓特例至大圓通式至小圓通式,最後寫的圖解
最完整,建議讀者先由圖解開始看到卷尾,再從頭看起。
相同網路資料 小圓常貌公式 更新 95,07,25




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<a name=intro>
 
<a name=index>
點擊展開 in Chinese
<a name=950415a>
95,04,15,18,42始
本卷原本使用「參考坐標」一詞,含義不明確。
靜止坐標、大地坐標、地球坐標、第一轉之前的坐標
,都是同一件事。
名詞「轉動坐標」是一個被轉動的坐標,
動詞「轉動坐標」是推動一個坐標,讓它轉動,
本想使用名詞「轉動坐標」,但是與動詞「轉動坐標」
混同,因此使用「參考坐標」,一個連連轉動的坐標。
仔細思考,大地坐標不也是終極「參考坐標」嗎?
「陶侃運磚」是一個歷史故事,現在使用代名詞
「陶侃坐標」表示一個連連轉動的坐標。
95,04,15,18,54止

95,04,16,09,12
就某一次特定轉動而言,「主軸系轉出至客軸系」
主軸系表示轉動矩陣之輸入值,即轉前坐標系統。
客軸系表示轉動矩陣之輸出值,即轉後坐標系統。
95,04,16,09,13

<a name=9501a001>
95,01,06,08,35 建立
c:\$fm\ph\ph9501a1.htm

95,01,06,09,01始
大圓是立體幾何使用的名詞,一個平面割過一個球體,二
者之交集(共有部份)是一個平面圓,移動平面,割過球
體不同部位,得到不同面積的交集圓,就一個已知的球體
而言,最大面積交集圓稱為該球體的大圓。以地球為例,
(假設地球是正圓,實際是略扁圓)地球的赤道是一個大
圓,任何通過南北極的割面,也得到交集大圓。
95,01,06,09,01止

<a name=9501a002>

圖源○一
http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html

95,01,06,19,49始
首先解釋本文使用名詞,便利繼續討論。
自由人無法找到通用中文名詞,下面名詞是自己定義者,
換言之,與一般使用的中文名詞不同。

<a name=9501a003>
坐標系xyz稱為正坐標。三個軸互相垂直,x軸、y軸
、z軸都為長度,沒有角度坐標。
正坐標在多數情況計算便利。本文討論球坐標,在計算時
,必須返回正坐標執行計算。
x軸稱為正坐標系(及球坐標系)的標準方向,後面使用
的側角、仰角名詞都參考x軸。
x軸、y軸構成的平面稱為零高面(即高度z=0平面)
,後面使用仰角以零高面為零點。
y軸、z軸構成的平面稱為零鼻面(即鼻長x=0平面)
z軸、x軸構成的平面稱為零翼面(即翼長y=0平面)
鼻向x翼向y是模擬坐標系xyz放在飛行器上的情況,
假設x軸指向飛機鼻端,
假設y軸指向飛機左翼方向,
假設z軸指向飛機上空方向。只是模擬,便利命名。

<a name=9501a004>
討論點是P點。
P點投影至xy平面,得到Q點。
Q點投影至x軸,得到R點。
∠PQO是直角(九十度)
∠QRO是直角(九十度)
P點的x軸分量是OR
P點的y軸分量是RQ(RQ平行於y軸)
P點的z軸分量是PQ(PQ平行於z軸)
圖○二。

圖源○二,變數修改為本文所需。
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

地球是一個圓球,人類在地球表面活動,如同P點遊走於
球面,P點的活動範圍有一個限制條件,這就是
P點至球心的距離為常數r。
由簡單的幾何,我們知道
距離平方  r*r=x*x+y*y+z*z
開平方之後 r=√(x*x+y*y+z*z)…B10式
這是正坐標xyz與球坐標rφλ中的r之關係公式。

<a name=9501a005>
坐標系rφλ稱為球坐標。
r是自坐標原點O到討論點P的直線向量,在球坐標(及
  平面的極坐標)中,r是半徑。
φ是相對於正前方向(鼻向)左右偏向角。簡稱為側角。
  或稱為經度角,因為側角φ是經度的定義角。
λ是對於正前方向(鼻向)上下偏向角。簡稱為仰角。
  或稱為緯度角,因為仰角λ是緯度的定義角。
  南半球是俯角,但是使用負仰角(即南緯多少度)。

φ及λ是本文主要參考文獻
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001
使用的符號。

<a name=9501a006>
r是半徑,r物理單位為長度,
φ及λ是角度,物理單位為弧度,弧度是弧長除以半徑,
即,弧度是長度除以長度,所以弧度是純數。

請注意正坐標、球坐標二者的差別﹕
正坐標x、y、z為長度、長度、長度,
球坐標r、φ、λ為長度、純數、純數。
x+y+z為合理運算,但是,
r+φ+λ為錯誤運算(長度加純數?絕不犯錯!)
r+r*cosλ*sinφ+r*sinλ為合理運算
因為 r 及
r*cosλ*sinφ 及
r*sinλ 三者都是長度。

(合理運算表示三者都是長度,可以相加,
 然而,合理運算並不代表有意義的運算。)

<a name=9501a007>
仰角λ=零度 表示討論點P在赤道上,
仰角λ=九十度表示討論點P在北極。
如果仰角λ=三十度,表示P在北緯三十度等緯線上,
此時P點相對於北極為六十度角距。
仰角(緯度角)在許多文獻中,有不同的定義,許多書籍
定義球坐標rφλ的λ為偏離北極的角度,指向正北為零
度,不是九十度。
定義「極偏角」為偏離北極的角度。
「極偏角」加「仰角」等於九十度,二者互補。
請看圖○二,極偏角是∠NOP。

本文討論地球大圓,與經度、緯度密切相關,所以本文使
用仰角(緯度角),不用「極偏角」。
本文與主要參考文獻
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001
同步。
95,01,06,21,39止

<a name=section01>
歈
齱@變更段落,以上與大圓、小圓相關之前言。    
齱@變更段落,以下大圓公式,起點城市在大圓極北點 
裺

<a name=9501a008>
95,01,07,12,35始
下面請看圖○三。

圖源○三,收費論文,本文主要參考資料。
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001

圖○三主要說明如何找出任意大圓之特徵參數 φ、λ

就全球而言,稱北極為最高點,南極為最低點。就粗線大圓
而言,稱

● P點為最高點。

<a name=9501a009>
粗線大圓特徵為
圓上最高點P相對於xyz坐標有側角φ、仰角λ。
任意大圓之定位方法為找出最高點。
(此處「側角」指經度角。 9504161255)
(九十五年一月上旬寫此段時,尚無東偏角觀念。任意大圓之
 定位方法不必用最高點,圓上任意點經緯度及該點之東偏角
 也可以決定大圓。 95,04,16,13,12)

φ、λ是常數,指定大圓。
φ、λ是變數,描述在球面移動的點。

以上是任意大圓特徵,
以下是任意球坐標特徵
就一個球坐標系而言,它有無限多個大圓,但是特徵大圓
只有一個,這就是仰角為零的大圓,又稱為赤道。

確定大圓需要指定圓上最高點之側角φ及指定仰角λ。
赤道大圓的特徵是仰角λ為零,側角φ任意。

一個球坐標系只有一個特徵大圓﹕赤道。反之,身為赤道
的特徵大圓卻對應無限多個球坐標系統,因為側角φ任
意之故。

95,01,07,13,10此

<a name="hide07">
<a name=9501a010> 以下討論 便利的限制條件   與 不便利的限制條件。 一個點在三度空間移動,該點有三個自由度x、y、z。 如果指定x=1,y、z仍然可以自由變動, 如果指定x=1及指定y=2,z仍然可以自由變動,因 為x、y、z互不相關。 如果我們指定x、y、z必須服從一個關係公式,例如 √(x*x+y*y+z*z)=3 那麼當兩個變數確定之後,第三個變數立即確定。 如果指定x=1及指定y=2,依據 √(x*x+y*y+z*z)=3 結論必須 z=2 或 z=-2 <a name=9501a011> 所以, 指定x、y、z必須服從一個關係公式,自由度減一。 指定x、y、z必須服從兩個關係公式,自由度減二。 指定x、y、z必須服從三個關係公式,自由度減三。 兩個關係公式必須互不相依, 三個關係公式必須互不相依, 什麼是「關係公式互不相依」?下面看簡單的相依限制公式。 如果指定 √(x*x+y*y+z*z)=3 及指定 2*√(x*x+y*y+z*z)=6 這兩個公式相依,實際上只有一個限制公式,因為第一式乘 二就是第二式。 <a name=9501a012> 假設正坐標系統加以限制公式 √(x*x+y*y+z*z)=3 其含義是指定移動點與坐標原點之距離固定為三。 這是三變數限制公式,x、y、z三者沒有任何一者完全 自由(不受限制公式約束)。 假設球坐標系統加以限制公式 r=3 這是單變數限制公式,r、φ、λ三變數中只有r被限定 ,φ、λ二變數完全自由。 <a name=9501a013> 有完全自由的變數是 便利的限制條件, 無完全自由的變數是不便利的限制條件。 討論球面問題,正坐標系統不能提供完全自由的變數, x、y、z三者個個牽扯於限制公式 √(x*x+y*y+z*z)=3 討論球面問題,球坐標系統可以提供完全自由的變數, r、φ、λ三變數中只有r被限定,φ、λ二變數完全 自由。 完全自由的變數是方便的,所以,討論球面問題大多使 用球坐標系統。 上面是球面問題使用球坐標系統最便利。 下面是處理大圓使用赤道大圓最理想。 現在考慮任意大圓之參數表示法。 我們知道在球坐標系統堨u有赤道大圓提供 仰角λ為零,側角φ任意的條件, 其中「側角任意」最為理想,我們要找出大圓,只要指定 仰角為零就可以完成任務,完全不必理會側角。 <a name=9501a014> 因為赤道大圓具有便利的限制條件關係式,所以我們利用 赤道大圓。 在正坐標x、y、z系統堙A圖○三的粗線大圓是任意大 圓,不是該系統的赤道大圓,無論如何也要建立仰角及側 角的關係公式,我們的主題是「任意大圓之參數表示法」 側角跑不掉! 對!側角跑不掉! 但是求仰角及側角的關係公式,可以利用 <a name=9501a015> ● 粗線大圓是另外一個正坐標x′、y′、z′系統的 ● 赤道大圓,以簡化運算。 我們的主要工作是找出 轉前正坐標x、y、z系統至 轉後正坐標x′、y′、z′系統 的關係,然後進入轉後正坐標x′、y′、z′系統,指 定該系統的仰角為零,就可以用最小的勞力找到解答。 95,01,07,14,09止 95,01,07,16,47始 當論及運算時,如果只在球面上移動,可以使用球坐標系 統的變數進行運算。現在主要工作是坐標軸的轉動,不是 球面運動,不能用球坐標系統完成工作,必須回到正坐標 系統,進行運算。 <a name=9501a016> 下面是 正坐標系統x、y、z 與 球坐標系統r、φ、λ 之間的關係。 圖○二 圖源○二,變數修改為本文所需。 http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html 找出兩個坐標系統之間的關係,其含義是說﹕ 找出 r=g1(x,y,z)  …B01式 找出 φ=g2(x,y,z)  …B02式 找出 λ=g3(x,y,z)  …B03式 及 找出 x=f1(r,φ,λ)  …B04式 找出 y=f2(r,φ,λ)  …B05式 找出 z=f3(r,φ,λ)  …B06式 各是什麼函數。 <a name=9501a017> 首先找出 r=g1(x,y,z)  …B01式 中的  g1(x,y,z)  是什麼函數。 B01式的 自變數x是P點在x軸上的分量 自變數y是P點在y軸上的分量 自變數z是P點在z軸上的分量 因變數r是P點至坐標原點O的距離。 首先把向量OP投影至xy平面(零高面)上, 投影的意思是自P點拉一條直線PQ到xy平面,並且要 求直線PQ垂直於xy平面。 平面上的直線OQ稱為向量OP在xy平面的投影。 這個投影的重點一方面是分量OQ,另一方面是分量PQ ,因為PQ平行於z軸,所以 PQ是向量OP在z軸的分量。以z表示PQ的長度。 <a name=9501a018> 上面析出了z軸分量PQ,那麼OQ不含z軸分量, OQ含x軸及y軸分量,找出OQ平行於x軸及平行於y 軸分量就完成對三個坐標軸的分量分析。 自Q點拉一條直線QR,令QR垂直於x軸。 x軸上的長度OR是向量OP在x軸的分量,以x表示。 垂線QR平行於y軸,正好是y軸分量,以y表示。 令i為x軸上長度為一的向量, 令j為y軸上長度為一的向量, 令k為z軸上長度為一的向量。 i、j、k為三個互相垂直、長度為一的向量組, x、y、z為純數,不帶方向資料,只有分量長度資料。 向量OP以分量表示為 x*i+y*j+z*k <a name=9501a019> 依據畢氏定理,直角三角形OQR的三個邊長關係為﹕ OQ*OQ=QR*QR+OR*OR      = y*y + x*x  …B07式 上面是平躺於x、y平面內的直角三角形, 下面是立出於x、y平面外的直角三角形。 依據畢氏定理,直角三角形OPQ的三個邊長關係為﹕ OP*OP=QP*QP+OQ*OQ      = z*z +OQ*OQ …B08式 B07式的OQ*OQ代入B08式,得到 OP*OP=z*z+y*y+x*x …B09式 <a name=9501a020> OP就是球體半徑r(P點至坐標原點O的距離) B09式可以改寫為 r*r=x*x+y*y+z*z 全式開平方得到 r=√(x*x+y*y+z*z)  ………B10式 對照 r=g1(x,y,z)      …B01式 知道 g1(x,y,z)=√(x*x+y*y+z*z) B10式是重要公式。 95,01,07,17,55止 <a name=9501a021> 95,01,07,18,22始 下面找出 φ=g2(x,y,z)  …B02式 中的     g2(x,y,z)是什麼函數。 φ=g2(x,y,z)的意思是φ以x,y,z表示。 請看圖○二。 圖○二 圖源○二,變數修改為本文所需。 http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html 角度φ是直角三角形OQR的一個銳角(小於九十度) 直角三角形OQR的直角邊為OR及QR,分別為x及y 角度φ的正切剛好引用x及y,關係式如下﹕ <a name=9501a022> tan(φ)=y/x 取其反函數,析出φ,得到 φ=arctan(y/x)     ………B11式 只需要x及y及arctan()就完全表達角度φ。 下面找出 λ=g3(x,y,z)  …B03式 中的     g3(x,y,z)是什麼函數。 角度λ是直角三角形OPQ的一個銳角(小於九十度) 直角三角形OPQ的直角邊為OP及QP,分別為r及z 角度λ的正弦剛好引用r及z,關係式如下﹕ <a name=9501a023> sin(λ)=z/r 取其反函數,析出λ,得到 λ=arcsin(z/r)     ………B12式 B12式中的r可以從B10式找到答案,因為r是x, y,z三者的函數,所以λ也是x,y,z三者的函數。 上面是 找出 r=g1(x,y,z)  …B01式 找出 φ=g2(x,y,z)  …B02式 找出 λ=g3(x,y,z)  …B03式 <a name=9501a024> 下面是 找出 x=f1(r,φ,λ)  …B04式 找出 y=f2(r,φ,λ)  …B05式 找出 z=f3(r,φ,λ)  …B06式 現在要找出x、y、z,皆以r、φ、λ表達 正坐標x、y、z為長度、長度、長度, 球坐標r、φ、λ為長度、純數、純數。 我們可以預期所有三個公式都必須含有r,如此才能提供 x、y、z所要求的長度物理單位。 請看圖○二。 <a name=9501a025> 圖○二 圖源○二,變數修改為本文所需。 http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html 前面已經討論向量OP投影至三個正坐標軸的分量x、y 、z,這個分解步驟正好是此處所需要的分析。 向量OP使用仰角λ分解,投影至xy平面得OQ分量及 PQ分量﹕ PQ=r*sin(λ) PQ平行於z軸,所以 z =r*sin(λ)       ………B15式 OQ稱為向量OP在xy平面的投影 OQ=r*cos(λ) <a name=9501a026> OQ不平行於任何坐標軸,需要繼續分解。 分量OQ使用側角φ分解,投影至x軸及y軸得OR分量及 RQ分量﹕ OR=   OQ   *cos(φ)   =r*cos(λ)*cos(φ) x軸上的長度OR是向量OP在x軸的分量,以x表示。 x =r*cos(λ)*cos(φ)………B13式 垂線QR平行於y軸,正好是y軸分量,以y表示。 QR=   OQ   *sin(φ)   =r*cos(λ)*sin(φ) y =r*cos(λ)*sin(φ)………B14式 <a name=9501a027> 「正球關係」是指正坐標與球坐標之關係。 下面綜合正坐標與球坐標之關係公式﹕ 球坐標變數以正坐標變數表達 r=√(x*x+y*y+z*z)  ………B10式 φ=arctan(y/x)     ………B11式 λ=arcsin(z/r)     ………B12式 正坐標變數以球坐標變數表達 x =r*cos(λ)*cos(φ)………B13式 y =r*cos(λ)*sin(φ)………B14式 z =r*sin(λ)       ………B15式 x=r*cosλ*cosφ y=r*cosλ*sinφ z=r*sinλ 95,01,25,06,22使用簡便符號 <a name=9501a028> 圖○二 圖源○二,變數修改為本文所需。 http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html 不同的文章使用不同的標記,許多課本使用極偏角,不用 仰角,不論如何使用,只要在一篇文章內保持一致即可。 95,01,07,19,25止 <a name=9501a029> 95,01,08,09,57始 前面談到 〔〔 我們的主要工作是找出 轉前正坐標x、y、z系統至 轉後正坐標x′、y′、z′系統 的關係,然後進入轉後正坐標x′、y′、z′系統,指 定該系統的仰角為零,就可以用最小的勞力找到解答。 〕〕 為此,我們必須要找出坐標軸轉動的關係公式。 「坐標軸轉動」是指坐標系統繞一個轉軸轉動若干角度。 取什麼軸為轉軸呢?複雜的轉動是由簡單的轉動相加而成 ,所以,首先討論簡單的轉動。最簡單的轉動是繞正坐標 系統x、y、z軸中任一軸轉動。當我們討論平面問題時 ,都用x、y軸表達,這種情況,z軸是立出紙面的一根 軸,我們選用繞z軸轉動,這是最常見的平面問題。 <a name=9501a030> z軸是在原點O立出紙面的轉軸,因為立出紙面,所以畫 不出z軸,因為z軸不動,所以x、y、z系統暫時簡稱 為x、y系統。 x 、y 坐標系(黑色)是轉動之前的坐標系統, x′、y′坐標系(紅色)是轉動之後的坐標系統。 x′軸相對於x軸逆時鐘轉動θ度, y′軸相對於y軸逆時鐘轉動θ度。 平面上任意點P是參考點。當我們討論坐標軸轉動時,參 考點P不能轉動!若P也轉動,那就失去了討論的主角。 問題一是﹕ 轉動角度θ已知, P點轉後坐標x′、y′已知, 如何以x′、y′、θ表達轉前坐標x、y? <a name=9501a031> 圖○四 x = OA = BP y = OB = AP x'= OM = NP y'= ON = MP 圖○四利用x = OA(沒有用x = BP) x = OA = OC + CA = OC - AC = OC - dM = OM*cosθ - MP*sinθ = OM*cosθ - ON*sinθ = x'*cosθ - y'*sinθ 所以 x = x'*cosθ - y'*sinθ      ………B16式 <a name=9501a032> 再看 y 圖○四利用y = AP(沒有用y = OB) y = OB = AP = Ad + dP = cM + dP = OM*sinθ + MP*cosθ = OM*sinθ + ON*cosθ = x'*sinθ + y'*cosθ 所以 y = x'*sinθ + y'*cosθ      ………B17式 並列兩個公式 x = x'*cosθ - y'*sinθ      ………B16式 y = x'*sinθ + y'*cosθ      ………B17式 <a name=9501a033> 改寫為矩陣形式 [x]  [cosθ  -sinθ] [x'] [y] = [sinθ   cosθ]*[y']    ………B18式 矩陣形式便利後面有規則的計算。(用矩陣處理連續轉動) 95,01,08,11,06止 如何「改寫為矩陣形式」?下面是矩陣公式與線性公式之關係 95,01,08,11,28始 問題二是﹕ 轉動角度θ已知, P點轉前坐標x、y已知, 如何以x、y、θ表達轉後坐標x′、y′? <a name=9501a034> 圖○五 x = OA = BP y = OB = AP x'= OM = NP y'= ON = MP 圖○五利用 x'= OM (沒有用 x'= NP) x'= OM = Os + sM = Os + At = OA*cosθ + AP*sinθ = x*cosθ + y*sinθ 所以 x' = x*cosθ + y*sinθ      ………B19式 <a name=9501a035> 再看 y' 圖○五利用 y'= vu = ON(沒有用 y'= MP) y'= ON = vu = vB - Bu = OB*cosθ - Bp*sinθ = OB*cosθ - OA*sinθ = y*cosθ - x*sinθ 所以 y' = -x*sinθ + y*cosθ      ………B20式 並列兩個公式 x' = x*cosθ + y*sinθ      ………B19式 y' = -x*sinθ + y*cosθ      ………B20式 <a name=9501a036> 改寫為矩陣形式 [x']  [ cosθ  sinθ] [x] [y'] = [-sinθ  cosθ]*[y]    ………B21式 矩陣形式便利後面有規則的計算。(用矩陣處理連續轉動) 95,01,08,11,45止 95,01,08,13,37始 為什麼B16式及B17式可以改寫為B18式? 為什麼B19式及B20式可以改寫為B21式? 有什麼規則? <a name=9501a037> 圖○六 老坐標、轉前坐標是 x ,y ,z。 新坐標、轉後坐標是 x',y',z' ,簡化為 u , v , w。 如果老坐標與新坐標關係公式只有自變數的一次方,換言 之,沒有自變數乘自變數,即沒有x*y 類關係、也沒有 u*u 類關係,此種關係公式稱為線性公式,並列的線性公 式可以寫為矩陣公式,方法為把轉換關係公式改寫為 新自變數 u =  係數11乘老自變數 x        加係數12乘老自變數 y        加係數13乘老自變數 z 新自變數 v =  係數21乘老自變數 x        加係數22乘老自變數 y        加係數23乘老自變數 z 新自變數 w =  係數31乘老自變數 x        加係數32乘老自變數 y        加係數33乘老自變數 z 「係數12」中的「12」是係數編號,不是係數值,餘同。 <a name=9501a038> 把 u , v , w放入三乘一的縱列 [u] [v] [w] 把 x , y , z放入三乘一的縱列 [x] [y] [z] 對照圖○六,把九個係數放入三乘三的矩陣,最後公式為 新自變數縱列等於三乘三係數矩陣乘老自變數縱列。 95,01,08,14,05止 <a name=9501a039> 95,01,08,14,54始 上面談三乘三矩陣,回頭看比較簡單的二乘二矩陣 並列兩個公式 x' = x*cosθ + y*sinθ      ………B19式 y' = -x*sinθ + y*cosθ      ………B20式 右側都按照老自變數 x 及 y 的順序排列, B19式 x的係數是 cosθ B19式 y的係數是 sinθ B20式 x的係數是-sinθ B20式 y的係數是 cosθ 係數矩陣為 [ cosθ  sinθ] [-sinθ  cosθ] 即 [ 第一式 x係數  第一式 y係數 ] [ 第二式 x係數  第二式 y係數 ] <a name=9501a040> 三度空間類推 [ 第一式 x係數  第一式 y係數  第一式 z係數 ] [ 第二式 x係數  第二式 y係數  第二式 z係數 ] [ 第三式 x係數  第三式 y係數  第三式 z係數 ] 把新自變數 x' 及 y' 並列,存入二乘一縱列矩陣 [x'] [y'] 把老自變數 x 及 y 並列,存入二乘一縱列矩陣 [x] [y] 綜合結果為矩陣形式 [x']  [ cosθ  sinθ] [x] [y'] = [-sinθ  cosθ]*[y]    ………B21式 <a name=9501a041> 矩陣公式有什麼好處呢? 任意大圓之定位方法為找出最高點P, P相對於xyz坐標有側角φ、仰角λ。 xyz坐標先對側角轉動φ度,再對仰角轉動λ度。 這兩個連續轉動,使用矩陣表示法最便利。 95,01,08,15,06止 <a name=9501a042> 95,01,08,17,14始 側角φ是東西向轉動,轉軸是由南極向北極的直線。 仰角λ是南北向轉動,轉軸是平躺於赤道面的直線。 這兩個轉動的兩個轉軸互相垂直,所以,平面之轉動公式 B18式及B21式必定踫見困擾,我們必須把平面轉動 公式進階至立體轉動公式,也就是必須把 二變數,二乘二矩陣公式轉為 三變數,三乘三矩陣公式! 這好像是無中生有的魔術,實際上 平面是立體的一部份,平面xy公式加入z分量,就變成 立體公式,重點是 z分量的改變對平面公式沒有影響,換言之 z=0的平面關係公式與 z=5的平面關係公式相同 處理方法為 x對z′的係數=0(「0」表示二者沒有關係) y對z′的係數=0 z對z′的係數=1(「1」表示二者是一回事) 在這種條件下可以完成二階升為三階的工作。 <a name=9501a043> 圖○七 二乘二的矩陣公式 [x']  [ cosθ  sinθ] [x] [y'] = [-sinθ  cosθ]*[y]     ………B21式 可以改為三乘三的矩陣公式 [x']  [ cosθ sinθ 0] [x] [y'] = [-sinθ cosθ 0]*[y]    ………B22式 [z'] [  0   0 1] [z] 矩陣公式進階之後,我們可以在三度空間堨轉東西向的 經度角,再轉南北向的緯度角。否則在二度空間媯L法完 成三度空間之任務。 95,01,08,17,58止 <a name=9501a044> 95,01,08,19,11始 如果轉軸是z軸,三乘三的矩陣公式為 [x']  [ cosθ sinθ 0] [x] [y'] = [-sinθ cosθ 0]*[y]    ………B22式 [z'] [  0   0 1] [z] <a name=9501a045> 如果轉軸是y軸,三乘三的矩陣公式為 [x']  [cosθ 0 -sinθ] [x] [y'] = [  0 1   0]*[y]    ………B23式 [z'] [sinθ 0  cosθ] [z] <a name=9501a046> 如果轉軸是x軸,三乘三的矩陣公式為 [x']  [ 1   0   0] [x] [y'] = [ 0 cosθ sinθ]*[y]    ………B24式 [z'] [ 0 -sinθ cosθ] [z] 〔〔 9501301011始 上述三公式是主題點不動,坐標軸轉動。 如果題目為 主題點轉動,坐標軸不動,如何解決? 因為點與軸是相對運動,此時把轉角θ異號為-θ即可, 請注意﹕cos(-θ)=cos(θ)、sin(-θ)=-sin(θ) 。 許多課本討論主題點轉動,坐標軸不動,這一類公式與本 頁公式差一負號。 9501301018止 〕〕 <a name=9501a047> 上面三個公式都是吻合右手律的公式。 轉動問題,轉軸的正向與轉角的正向必須要有一致性,如 果一個轉動符合右手律,另一個轉動符合左手律,答案肯 定錯誤! 右手律決定轉角之正負, 右手做頂好手勢,大拇指指向轉軸正向, 四根手指繞行方向為轉角之正向。 <a name=9501a048> 圖○八 95,01,08,19,23止 <a name=9501a049> 95,01,09,15,00始 下面請看圖○九。 上圖是zxy方向, 第一個符號「z」代表轉軸之正向, 第二個符號「x」為轉動之起點軸, 第三個符號「y」為轉動之終點軸, 由起點軸至終點軸的轉動只取小角九十度,不取大角兩百 七十度。 右手律之組合有三﹕xyz、yzx、zxy 左手律之組合有三﹕xzy、zyx、yxz <a name=9501a050> 當解題時,所有轉動必須全部是右手律之轉動,才能得到 正確答案。(或者全部是左手轉動,但是不通用) 95,01,09,15,15此 在計算時,繞y軸的轉動,容易出錯。 繞y軸之轉動,按照右手律,從z軸轉九十度至x軸是正 轉,即使y軸平躺於赤道大圓,仍然從z軸轉九十度至x 軸。不是從x軸轉九十度至z軸。 解平面問題時,因為我們習慣把x軸當做水平軸,y軸是 垂直軸,隱含的意思為z軸是立出平面的軸。這是右手律 的zxy系統。 <a name=9501a051> 根據右手律要求 ● 當z軸立出平面時,x軸是水平軸,y軸是紙面縱向軸。 ● 當y軸立出平面時,z軸是水平軸,x軸是紙面縱向軸。 ● 當y軸立出平面時,x軸不是水平軸! 若我們仍然習慣性把x軸當做水平軸、把z軸當做垂直軸 ,這就踏入yxz的左手系統,而不是yzx的右手系統 。 繞y軸轉動右手律的yzx公式為 x'=(-sinθ)*z+... 繞y軸轉動左手律的yxz公式為 x'=(+sinθ)*z+... 繞y軸轉動右手律的yzx公式為 z'=(+sinθ)*x+... 繞y軸轉動左手律的yxz公式為 z'=(-sinθ)*x+... 負號易位。 <a name=9501a052> 下面請看圖一○。 圖○五橫軸x 縱軸y ,縱軸'=-sinθ*橫軸→y'=(-sinθ)*x 圖一○橫軸z 縱軸x ,縱軸'=-sinθ*橫軸→x'=(-sinθ)*z 有單引號的「縱軸' 」是轉動之後的縱軸, 無單引號的「橫軸」 是轉動之前的橫軸。 95,01,09,15,39止 <a name=9501a053> 95,01,09,17,18始 下面請看圖一一。 此處說明 為什麼第二轉的轉角λ使用負值。 第二轉以y'軸為轉軸,把x'軸由赤道轉向通過甲城的x"軸 ,轉後的y"軸與轉前的y'軸重合,因為y'軸是轉軸。 根據右手律,y'軸轉動之正角是由北極轉至赤道。 現在為了導航之便利,定義赤道是緯度零點,由赤道向北 極,緯度逐漸增加,這個方向與「y'軸轉動之正角是由北 極轉至赤道」反向,我們以為的正值,在計算公式媕雩 使用負值,為了兩全其美,解決方法是在公式堨[入一個 負號。故圖一一的仰角λ在圖一二中改為負值-λ,以配 合右手律之要求。 處理北半球數據時,以正值代入λ,-λ自動調整為負值。 處理南半球數據時,以負值代入λ,-λ自動調整為正值。 <a name=9501a054> 下面請看圖一二。 95,01,09,18,02此 以上是準備工作、基礎材料。 以下是實際工作。 我們以北極為全球的最高點。球體之任意大圓有一個最高 點P,此點的經度、緯度坐標是該大圓之特徵值。 (註﹕九十五年一月自由人尚未考慮東偏角、地偏角   9504141436) 求任意大圓之參數表示法,本文使用方法為轉動坐標系統 , 令x軸沿經度方向轉φ度,再 令x軸沿緯度方向轉λ度, 使得任意大圓變為轉後坐標系統之赤道, 再令轉後坐標系統之仰角為零,以求解。 <a name=9501a055> 因為轉後之仰角關係以轉前參數表達,故令轉後仰角為零 ,可以得到轉前系統任意大圓之參數表示法。 轉動坐標是配合側角φ及仰角λ 所有計算都應該有下標「」 但是為簡化網頁指令,「」全部省略, 側角φ改為大寫「Φ」(常數) 仰角λ改為大寫「Λ」(常數) 小寫的「φ、λ」是變數。 <a name=9501a056> 計算如下 首先是第一轉公式。 原坐標系統xyz的z軸指向北極。 原坐標系統xyz的x軸沿側角轉動Φ度 轉軸是z軸,以下述公式表示﹕ [x']  [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y'] = [-sinΦ cosΦ 0]*[y]   ………B25式 [z'] [  0   0 1] [z] (上面的「側角」就是下面的「經度角」 9504161253) 上面是第一轉公式。 轉動之後,原坐標系統xyz變為第一次轉後坐標系統 x′y′z′ <a name=9501a057> 第二轉以第一次轉後坐標系統的x′軸沿仰角轉動 -Λ度, 轉軸是y′軸,以下述公式表示﹕(下面是第二轉公式) [x"]  [cos() 0 -sin()] [x'] [y"] = [   0  1   0  ]*[y'] ……B26式 [z"] [sin() 0  cos()] [z'] 轉動之後,原坐標系統xyz變為三次坐標系統x〞y〞z〞 B25式代入B26式,消去x′y′z′得到下述公式 [x"]  [cos() 0 -sin()] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y"] = [   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z"] [sin() 0  cos()] [  0   0 1] [z]                   ………B27式 <a name=9501a058> 對Φ矩陣及xyz變數執行矩陣之展開,得到下述公式 [x"]  [cos() 0 -sin()] [ x*cosΦ+y*sinΦ+0] [y"] = [   0  1   0  ]*[-x*sinΦ+y*cosΦ+0] [z"] [sin() 0  cos()] [ 0 + 0 +z]                   ………B28式 對Λ矩陣及xyz及Φ執行矩陣之展開,得到下述公式 [x"]  [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ ] [y"] = [   0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0 ] [z"] [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ ]                   ………B29式 這是三個並列的公式,第三個公式為 z" = -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ …B30式 95,01,09,18,49此 <a name=9501a059> B30式左側z〞指明全式為轉後坐標的z〞值 B30式右側全為轉前坐標之變數, 以轉前坐標之變數表示轉後坐標的z〞值。 轉後x"y"z"系統的大圓公式是 z"=0 經由B30式得到以轉前坐標之變數表示的大圓公式。 恰為所求。 Φ是轉前坐標任意大圓最高點之經度角,常數, Λ是轉前坐標任意大圓最高點之緯度角,常數。 B30式右側有變數 x, y, z, x =r*cos(λ)*cos(φ)………B13式 y =r*cos(λ)*sin(φ)………B14式 z =r*sin(λ)       ………B15式 三公式聯係轉前正坐標 x, y, z與轉前球坐標 r、φ、λ, 所以轉前坐標參數可以完全描述轉後坐標z〞。 同理,轉前坐標參數可以完全描述轉後坐標x〞、y〞。 因為指定仰角λ等於零可以完全描述赤道大圓,所以, 現在討論球坐標的仰角λ λ=arcsin(z/r)     ………B12式 <a name=9501a060> B12式對轉後坐標系統照樣適用,對轉後坐標有 λ〞=arcsin(z〞/r〞)  ………B31式 請注意,B31式之參數全部有「〞」,表示為轉後系統 之變數 我們要求轉後坐標系統的仰角λ〞等於零,就是指定粗線 大圓是轉後坐標系統的赤道大圓。由B31式知道 λ〞=0 就是 z〞=0 所以,我們要求 z" = -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ …B30式 等於零,也就是指定 -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ=0 …B32式 B32式混用球坐標變數Φ、Λ及變數x、y、z,需要消除 x、y、z。 <a name=9501a061> 球坐標轉至正坐標有下述關係公式 x = r*cosλ*cosφ    ………B13式 y = r*cosλ*sinφ    ………B14式 z = r*sinλ       ………B15式 把B13式、B14式、B15式代入B32式,消除 正坐標自變數 x, y, z B32式變為 -sinΛ*(r*cosλ*cosφ*cosΦ+r*cosλ*sinφ*sinΦ) + r*sinλ*cosΛ =0      ………B33式 這個公式Λ、λ及Φ、φ同時出現,請注意 <a name=9501a062> Φ是任意大圓最高點之經度坐標,是常數, Λ是任意大圓最高點之緯度坐標,是常數。 φ是球面任意點之經度坐標,是變數, λ是球面任意點之緯度坐標,是變數。 常數與變數不可混同! B33式全式含有半徑r ,因為半徑不為零,消除 r -sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ+cosλ*sinφ*sinΦ) + sinλ*cosΛ =0 觀察 (cosλ*cosφ*cosΦ + cosλ*sinφ*sinΦ) 可以析出cosλ,剩下部份是 (cosφ*cosΦ + sinφ*sinΦ) 正好是 cos(φ-Φ) <a name=9501a063> 故公式變為 -sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+ sinλ*cosΛ =0 …B34式 B34式是經過目標點(城市)東西方向的大圓公式, B42式是經過目標點(城市)任意方向的大圓通式, B42式中令Δ等於零度得到B34式,Δ是偏離正東的 角度。 若大圓通過南北極必須使用B42式,令Δ等於九十度求解。 B34式只適於指向正東的大圓,不能通過南北極,同時, B34式使用的起點不能放在南北極,所以,緯度角Λ及λ 都不為九十度,(cosΛ*cosλ)不等於零, B34式全式除以(cosΛ*cosλ)可以簡化為正切表示法 結果為 [-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)]/(cosΛ*cosλ) + sinλ*cosΛ/(cosΛ*cosλ) =0 簡化為 -tanΛ*cos(φ-Φ)+tanλ=0 <a name=9501a064> 移項得到 McIntyre 教授論文的公式 tanλ = tanΛ*cos(φ-Φ)  ………B35式 此式是地球上,除南北極以外,通過任何點(城市)東西 方向大圓公式。通過南北極的大圓不能使用,因為南北極 的仰角為正、負九十度,九十度的正切為無限大。 通過南北極大圓公式用B42式。 (令東偏角 Δ=90 度。 95,04,16,10,52) 再次,請注意 Φ是常數, Λ是常數, φ是變數, λ是變數。 B35式,兩個變數φ及λ,一個公式,使兩度空間運動 變為一度空間運動, B35式,兩個常數Φ及Λ指定這個一度空間運動通過任 意大圓之最高點。 95,01,09,19,57止 <a name=9501a065> 95,01,09,20,24始 根據B34式寫「通過南北極大圓公式」,結果不當。 [[ 95,04,14,17,50 根據B42式重寫始 最後得到通用的大圓公式 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ) -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ +cosΔ*sinλ*cosΛ = 0  ……B42式 甲城不在北極時 Λ不為九十度, 東偏角Δ等於九十度時,大圓通過北極,此時 B42式 變為 -1*cosλ*sin(φ-Φ) -0*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ +0*sinλ*cosΛ = 0 得到 cosλ*sin(φ-Φ)= 0 若 cosλ = 0 λ= 九十度,北極一點,不是大圓,棄置。 若 sin(φ-Φ)= 0  得到 <a name=9501a066> φ-Φ = 0°     ……B36甲式 φ-Φ = 180°    ……B36乙式 這是通過南北極大圓公式!! φ 是大圓上移動點經度變數,指定為 Φ,或指定為 Φ+180° Φ 是大圓上甲城經度坐標,常數。 φ-Φ = 0°    是與甲城同側之等經半大圓 φ-Φ = 180°   是與甲城異側之等經半大圓 南北極大圓上移動點緯度變數λ 隨意,無限制。 95,04,14,17,54重寫止 ]] <a name=9501a067> 如果寫電腦程式,只能使用B42式 因為B42式在南北極、在全球通用。 至此,「任意大圓之參數表示法」論述完畢。 95,01,09,21,00止 <a name=950416b> 95,04,16,18,01始 「B34式使用的起點不能放在南北極」?為什麼?請看 -sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+ sinλ*cosΛ =0 …B34式 假設起點在北極,Λ=90°  cosΛ=0, sinΛ=1 (大寫Λ是起點的緯度,常數。小寫是λ移動點的緯度,變數) B34式變為 -1*cosλ*cos(φ-Φ)+ sinλ*0 =0 變為 cosλ*cos(φ-Φ) =0 通過南北極大圓要求 φ=Φ cos(φ-Φ)=cos(0)=1 不=0 上式 cosλ*cos(φ-Φ) =0 無法達到此要求(無法得到 φ=Φ 結論) <a name=950416c> 另一方面,通用的大圓公式 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ) -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ +cosΔ*sinλ*cosΛ = 0  ……B42式 令 Λ=90°  cosΛ=0, sinΛ=1 得到 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ) -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*1 +cosΔ*sinλ*0 = 0 得到 cosλ*cos(Δ-φ+Φ) = 0 令 Δ-φ+Φ=90° 容許我們調節至   φ-Φ=0° 及 Δ =90° 及 λ 隨意 這三個情況正是通過南北極大圓之特徵。 特例公式 B34式 不能處理通過南北極大圓, 通用公式 B42式 可以處理通過南北極大圓。 95,04,16,18,17此 註﹕如果B34式使用的起點不放在南北極,B34式描   述的大圓絕對不會通過南北極,因為B34式描述的   大圓限定東偏角為零度,但是通過南北極的大圓必須   有起點城市之東偏角為九十度。 95,04,16,18,33止 <a name=section02> 歈 齱@變更段落,以上大圓公式,起點城市在大圓極北點  齱@變更段落,以下大圓公式,起點城市在大圓任何點  裺 <a name=9501a068> 大約在 95,01,10,00,10 想到第三轉,解除起點城市 必須是大圓最高點的限制。 9504112042記錄 95,01,10,08,22始 如果轉軸是x軸,三乘三的矩陣公式為 [x']  [ 1   0   0] [x] [y'] = [ 0 cosθ sinθ]*[y]    ………B24式 [z'] [ 0 -sinθ cosθ] [z] 這個矩陣公式可以用來調節東偏角Δ! 對經度角Φ及緯度角Λ兩次轉動,展開矩陣得到下述公式 [x"]  [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ ] [y"] = [   0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0 ] [z"] [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ ]                   ………B29式 如果再繞東偏角Δ轉一次,那不就是得到更通用的大圓公 式了嗎?(起點不必是大圓最南/北點) 本文使用東偏角Δ,源自McIntyre 教授 使用「初始方向δ」 "initial heading δ" 及「對東偏角δ」 "the angle δ with respect to local east." <a name=9501a069> 下面請看圖一三,繞x"軸轉Δ角度。 9501ad圖第三次坐標軸 x"', y"', z"'沒有畫出,太擠。 第三次轉動繞 x" 軸轉Δ角度,東北為正角,圖示東南轉 假設站在大圓最高點以向東為零點、以向東偏北為正Δ角 則新的大圓需要再繞x"軸轉Δ角度,公式如下﹕ <a name=9501a070> [x"']  [ 1   0   0] [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ ] [y"'] = [ 0 cosΔ sinΔ]*[   0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0 ] [z"'] [ 0 -sinΔ cosΔ] [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ ]                   ………B37式 <a name=9501a071> 95,01,10,08,47 展開得到 x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ                   ………B38式 y"' = cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]                   ………B39式 z"' = -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]                   ………B40式 <a name=9501a072> 三次轉動之後的赤道大圓可以令 z"'=0 (令 z"'=0之理由參考B30式、B31式、B32式) -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ] = 0                   ………B41式 <a name=9501a073> 另一方面,球坐標至正坐標關係公式如下 x = r*cosλ*cosφ    ………B13式 y = r*cosλ*sinφ    ………B14式 z = r*sinλ       ………B15式 把B13式、B14式、B15式代入B41式,消除x,y,z -sinΔ*[-r*cosλ*cosφ*sinΦ+r*cosλ*sinφ*cosΦ] + cosΔ*[-sinΛ*(r*cosλ*cosφ*cosΦ+r*cosλ*sinφ*sinΦ) + r*sinλ*cosΛ] = 0 半徑r 是共有項,提出括號, -sinΔ*r*[-cosλ*cosφ*sinΦ+cosλ*sinφ*cosΦ] + cosΔ*r*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ+cosλ*sinφ*sinΦ) + sinλ*cosΛ] = 0 <a name=9501a074> cosλ 是共有項,提出括號, -sinΔ*r*[-cosλ*cosφ*sinΦ+cosλ*sinφ*cosΦ] + cosΔ*r*[-sinΛ*cosλ*(cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ) +sinλ*cosΛ] = 0 利用恆等式,改用簡短的cos(φ-Φ) -sinΔ*r*[-cosλ*cosφ*sinΦ+cosλ*sinφ*cosΦ] + cosΔ*r*[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*cosΛ] = 0 <a name=9501a075> 半徑是常數,消除 r -sinΔ*cosλ*[-cosφ*sinΦ+sinφ*cosΦ] + cosΔ*[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*cosΛ] = 0 利用恆等式,改用簡短的sin(φ-Φ) -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ) + cosΔ*[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*cosΛ] = 0 <a name=9501a076> 最後得到通用的大圓公式 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ) -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ +cosΔ*sinλ*cosΛ = 0  ……B42式 95,01,10,09,07此 <a name=9501a077> B42式中, φ是大圓上任意點之經度角,變數, λ是大圓上任意點之緯度角,變數。 Φ是起點P位置之經度角,常數, Λ是起點P位置之緯度角,常數。 Δ是通過討論點P點(城市)大圓之偏向角,常數。如果 通過P點大圓向東,Δ為零,偏北為正角,偏南為負角。 若偏向角Δ非零,(Φ、Λ)不是大圓之最高(北)點! <a name=9501a078> 偏向角Δ有雙重含義﹕ 如果討論通過P點、對正東偏Δ度的大圓,偏向角Δ為 正確值,可以直接使用。(此處沒有「拋物體」字眼) 如果分析站在P點、對正東偏δ度拋物,該拋物體走什 麼大圓?此時拋物偏向角δ不是飛行大圓的偏向角Δ! 拋物體飛行大圓的偏向角Δ必須已經納入地球自轉因素 。若向正北拋物,δ等於九十度,但是Δ小於九十度, 因為地球自轉,物體已經有向東的速度分量,只是我 們不察覺而已。 95,01,10,09,13止 95,04,16,18,54 註,在95,01,10寫此段時, 只有東偏角觀念,沒有地偏角觀念,無需區別那一個偏 角。所以當時沒有使用「東偏角」。此處之「偏角」是 九十五年三月使用的「東偏角」。 九十五年一月文字仍然有部份「東偏角」出現,這些都 是九十五年四月校對時加入的註解。 95,04,16,18,58止 <a name=9501a079> 95,01,10,09,24始 如果B42式中, Φ是拋物起點之經度角,已知 Λ是拋物起點之緯度角,已知 φ是拋物終點之經度角,已知 λ是拋物終點之緯度角,已知 Δ是拋物起點之偏向角,未知。向東為零,偏北為正角 需要使用B42式求拋物起點之偏向角Δ, 95,01,10,09,29此 B42式移項,改寫如下 +sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ) +cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ = +cosΔ*sinλ*cosΛ <a name=9501a080> 全式除以cosΔ(要求cosΔ不為零,要求Δ不為九十度) tanΔ*cosλ*sin(φ-Φ) + 1 *cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ = + 1 *sinλ*cosΛ tanΔ*cosλ*sin(φ-Φ) = [sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]       ………B43式 tanΔ = [sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]/[cosλ*sin(φ-Φ)] <a name=9501a081> 要求cosλ*sin(φ-Φ)不為零 也就是 要求λ不為九十度 要求φ-Φ不為零度、不為一百八十度 Δ = arctan{[sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]/[cosλ*sin(φ-Φ)]} <a name=9501a082> 最後,已知兩個城市坐標(Φ,Λ), (φ,λ),大圓在第一 城市(Φ,Λ)之東偏角為(小圓東偏角點此 Δ = arctan{[tanλ*cosΛ-cos(φ-Φ)*sinΛ]/sin(φ-Φ)}       ………B44式 上式 tanλ 趨於無限大時,引起麻煩, 主導要求λ不為九十度 (從屬要求東偏角Δ不為九十度) 上式分母 sin(φ-Φ) 為零時,引起麻煩, 主導要求φ-Φ不為零度(從屬要求東偏角Δ不為九十度) 如果緯度角 λ=90度, 則為通過南北極的大圓, 如果經度差 φ-Φ=0 同經度,也是通過南北極的大圓。 通過南北極大圓的「東偏角」是令人頭痛的九十度! 95,01,10,09,42此 <a name=9501a083> 偏角Δ的定義。 如果我們向正北投物,我們以為相對於正東偏角Δ為偏北 九十度,這是錯誤的觀念,因為地球轉動,拋物體出手時 ,除了有向北的速度,也有隨地球自轉的向東速度,這兩 個速度的向量和,使真正拋物角為正北偏東。也就是說, B44式得到的答案,還要再納入地球自轉速度,才能得 到真正的拋物體飛行軌跡大圓之對正東偏角Δ。 δ是忽略地球自轉的拋物角 Δ是包括地球自轉的飛行角 δ=arctan(Vn/Ve) Δ=arctan[Vn/(Ve+Vr)] Vn是拋物體對地的向北速度 Ve是拋物體對地的向東速度 Vr是拋物體隨地自轉的向東速度 Vr與起點的緯度有密切關係,越接近赤道,向東轉速越快 95,01,10,10,10止 <a name=9501a084> 95,01,10,19,51始 在導出B34式及B42式時,使用「消除 r」 因為半徑是常數,但是拋物體有上下運動,半徑確實在改 變。上下運動不影響球面運動,上下運動(半徑增減)決 定拋物體飛行時間。當拋物體與地心之距離等於地球半徑 時,拋物體落地,停止飛行。 95,01,10,20,02止 <a name=9501a085> 95,01,10,20,51始 B44式是否正確? B44式是否產生矛盾結果?找一個例題測試。 M(Φ、Λ)及N(φ、λ)兩點在球面位置已知,使用 B44式可以算出通過M點對正東偏角為Δ度的大圓,這 個大圓也通過N點。 如果M及N兩點直線通過地球中心,M及N兩點直線便為 地球轉軸,此時Δ有無限多組解,如何從數學公式看出端 倪? <a name=9501a086> B44式來自B43式,B43式容易討論。 tanΔ*cosλ*sin(φ-Φ) = [sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]       ………B43式 如果B43式變為 tanΔ*0=0 那麼偏角Δ可以是任意值。 <a name=9501a087> 因此,M及N兩點直線通過地心的必要條件為 cosλ*sin(φ-Φ)=0      ………B45式 及 sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ=0 …B46式 滿足B45式的條件是 cosλ=0 → 要求λ=正負九十度,只容許南北極點, 不是通則,棄置。 或者 sin(φ-Φ)=0 → 要求 φ-Φ=0 或 φ-Φ=180 φ-Φ=0度 表示兩點同經度,不可能通過地心,棄置。 取用 φ-Φ=180度      ………B47式 <a name=9501a088> 滿足B46式的條件是 sinλ*cosΛ-cosλ*(-1)*sinΛ=0 〔因為cos(φ-Φ)=cos(180)=-1〕 也就是 sinλ*cosΛ+cosλ*sinΛ=0 sin(λ+Λ)=0 → 要求 λ= -Λ  ………B48式 結論 <a name=9501a089> φ-Φ=180度      ………B47式 要求M及N兩點就經度言,相差一百八十度,一點在地球 前面,另一點在地球後面。 λ= -Λ  ………B48式 要求M及N兩點就緯度言,緯度值相同,但是緯度異號, 一點在北半球,另一點在南半球,二者與赤道等距離。 這是正確描述M及N兩點連線通過地心的情況,表示導出 的B44式合理,僅限於一個特例合理。 上述討論只是B44式正確的必要條件,因為, 如果上述討論得到矛盾結果,B44式必定錯誤, 如果上述討論得到正確結果,B44式可能正確, 如果其他測試得到矛盾結果,B44式仍然錯誤。 95,01,10,21,29止 <a name=9501a090> 95,01,12,15,08始 圖一三9501ad未能畫出紅粗大圓的x"', y"', z"' 坐標, 下面把三次轉動依次分解說明。 圖一四 第一次轉動之z 及 z' 二軸重合,繞z 軸轉動, 第二次轉動之y'及 y" 二軸重合,繞y'軸轉動。 第二次轉動之λ角是負值,以赤道為零度比較便利。若以 北極為零度,沿極偏角轉動,則為正轉,赤道變為九十度。 <a name=9501a091> 黑色x , y , z 坐標是原始坐標,所有計算的sin()          cos() 函數都是以此坐標為參考。 綠色x' , y' , z' 坐標是以黑色坐標為基準,繞z 軸轉          經度角φ之後的坐標。把x'軸帶至大圓          最高點P點正下方。 藍色x" , y" , z" 坐標是以綠色坐標為基準,繞y'軸轉          緯度角λ之後的坐標。把x"軸帶至大圓          最高點P點位置(x"軸穿過P點)。 紅色x"', y"', z"' 坐標是以藍色坐標為基準,繞x"軸轉          對正東之偏向角Δ之後的坐標。正確          描述通過P點偏向Δ角的大圓,因為          P點任意、偏向Δ角任意(沒有限制          ),所以,紅色坐標為通用結果。 <a name=9501a092> 圖一五 第三次轉動之x"及 x"'二軸重合,繞x"軸轉動。 第三次轉動之Δ角是負值,如果畫正角轉動,P點右側的 紅大圓必須在黑大圓及等緯線(小圓)之間,太擁擠。 站在P點視之,x"軸自地面冒出,垂直指向天空。 所有軸系之原點皆在地心。 第二次轉動之後的藍色x" , y" , z" 坐標限定通過P點 的大圓必須以P點為大圓最高點。這個限制使得藍色坐標 不能通用。 第三次轉動之後的紅色x"', y"', z"' 坐標容許通過P點 的大圓不必以P點為大圓最高點,可以再轉動任意Δ角, 得到新的大圓表達公式。這個任意使得紅色坐標可以通用 ,故第三次轉動後的紅色x"',y"',z"' 坐標是最後答案。 <a name=9501a093> B13式、B14式、B15式三式有自變數 r,φ,λ, B38式、B39式、B40式三式有大圓特徵參數 經度角φ及緯度角λ及偏向角Δ, B38式、B39式、B40式三式也有因變數x,y,z 。 將 B13式、B14式、B15式 代入 B38式、B39式、B40式 消去因變數x,y,z 之後為通用答案。 (令 B40式=0 得到通用大圓公式B42式。) (必須消除x,y,z,球坐標自變數是 r,φ,λ,不是x,y,z) 95,01,12,16,17止 <a name=9501a094> 95,01,12,16,59始 現在考慮另外一個問題﹕ 甲城市經度坐標為Φ、緯度坐標為Λ,(Φ、Λ為大寫) 乙城市經度坐標為φ、緯度坐標為λ,(φ、λ為小寫) 假設Φ、Λ及φ、λ四個值都已經知道, 如何求出甲城市至乙城市的距離? 球面上任意兩點間最短距離是通過這兩點大圓的小角弧長 ,小角指小於一百八十度的角度,大角大於一百八十度。 B38式、B39式、B40式三式有Φ、Λ及φ、λ, (φ、λ隱含於變數x,y,z 之中),剛好是已知數據。 <a name=9501a095> 再次列出 x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ                   ………B38式 y"' = cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]                   ………B39式 z"' = -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]                   ………B40式 及 x = r*cosλ*cosφ    ………B13式 y = r*cosλ*sinφ    ………B14式 z = r*sinλ       ………B15式 <a name=9501a096> 因為甲、乙兩城都在大圓上,我們把這個大圓轉為赤道大 圓,便利討論。在x"', y"', z"' 坐標系統中令z"' 為零 ,使得甲、乙兩城都在x"', y"', z"' 坐標系統赤道大圓 上。在赤道大圓就容易辦事,因為令z"' 為零,所以z"' 為立出紙面的轉軸, 右手律之組合有三﹕xyz、yzx、zxy 根據右手系統zxy,此時, x"' 軸變為赤道大圓內平面坐標之橫軸, y"' 軸變為赤道大圓內平面坐標之縱軸, 95,01,12,17,30止 95,01,12,18,58始 <a name=9501a097> 圖一六 圖一六把x"', y"'當作坐標軸, 圖一六用θ代表甲城與乙城之間的弧度 因為 指定z"' 軸坐標為零,所以x"', y"'在大圓(z"'=0)內 指定z"' 軸坐標為零,所以距離公式 r*r=x*x+y*y+z*z               變為 r*r=x*x+y*y 拋棄常數r 與指定 r=1具有相同效果,此處令 r=1 r*r=x*x+y*y 變為 1=x*x+y*y 也就是 1 = x"' * x"' + y"' * y"' 由圖一六知道 cos(θ) = x"' 同時 sin(θ) = y"' <a name=9501a098> 因此,甲城與乙城之間的弧度θ可以由下面兩個公式之任 何一者求出。 θ=arccos(x"')  ………B49式 或 θ=arcsin(y"')  ………B50式 兩個公式是否同樣好用?有沒有取捨? 甲城與乙城之間的弧度θ可以由零度到一百八十度(π) 請看圖一六右半,在零到π之間, B49式一個x"' 值對應一個弧度值,明確、不含糊! B50式一個y"' 值對應兩個弧度值,取用那個弧度呢? <a name=9501a099> 為求明確,取用B49式,拋棄B50式。 由B49式求出甲城與乙城之間的弧度θ 把B38式 x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ 代入B49式 θ=arccos(x"') θ=arccos[cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ] 並以B13式、B14式、B15式消去 x, y, z θ=arccos[cosΛ*(r*cosλ*cosφ*cosΦ+r*cosλ*sinφ*sinΦ) + r*sinλ*sinΛ] θ=arccos[cosΛ*r*cosλ*(cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ) + r*sinλ*sinΛ] <a name=9501a100> 解題步驟要求令半徑 r=1 以體現x"' = cos(θ),故 θ=arccos[cosΛ*cosλ*(cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ) + sinλ*sinΛ] 利用餘弦兩角和之公式簡化 θ=arccos[cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ]                    ………B51式 B51式中, Φ(大寫)是大圓上甲點(甲城市)的經度角,指定數, Λ(大寫)是大圓上甲點(甲城市)的緯度角,指定數。 φ(小寫)是大圓上乙點(乙城市)的經度角,指定數, λ(小寫)是大圓上乙點(乙城市)的緯度角,指定數。 <a name=9501a101> 西經角度取負值,南緯角度取負值。 θ是由地心指向甲點及由地心指向乙點兩條半徑的夾角。 口述時,夾角以角度敘述方便, 計算時,夾角必須以弧度表示。 <a name=9501a102> 角度/57.29577951308=弧度    ………B52式 B51式可以求出甲城與乙城之間的弧度距離θ。 由甲城到乙城之弧度距離θ 與 由乙城到甲城之弧度距離θ 相同,旅行方向無關,B51式必須體現此性質,把 B51式分解為 cosΛ*cosλ * cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ <a name=9501a103> 我們知道 cosΛ*cosλ 與 cosλ*cosΛ 相同,沒有方向性。 同理 sinλ*sinΛ 與 sinΛ*sinλ 相同,沒有方向性。 另一方面 cos(+α) = cos(-α) 所以 cos(φ-Φ)  與 cos(Φ-φ)  相同,沒有方向性。 由此可知B51式與旅行方向無關。 <a name=9501a104> 容易犯錯的一步是 甲城市經度坐標為Φ、緯度坐標為Λ, 乙城市經度坐標為φ、緯度坐標為λ, 都以角度表達,如果以角度代入B51式,電腦當作弧度處 理,得到錯誤結果。 三角函數必須使用弧度,角度與弧度之關係為 180角度=常數*π弧度 π=3.14159265358979323846264338 角度除以圓周率π得到 常數﹕每弧度之角度 57.29577951308角度/弧度 利用此常數把角度轉為弧度 <a name=9501a105> 角度/57.29577951308=弧度    ………B52式 B51式中 θ=arccos[cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ] φ,λ,Φ,Λ 四者都必須轉為弧度, B51式的輸出θ也是弧度。 得到甲城與乙城之間的弧度距離θ之後,長度距離為 長度距離=弧度距離θ*地球半徑  ………B53式 地球平均半徑為 6366.71公里    ………B54式 <a name=9501a106> 下面舉一個實例。 94,09,26,18,00取閱 http://www.wcrl.ars.usda.gov/cec/java/lat-long.htm 存卷為 c:\$fm\ph\spherical\great-circle-wcrl.ars.usda.gov_cec_java_lat-long.htm 95,01,11,09,51開啟 c:\$fm\ph\spherical\great-circle-wcrl.ars.usda.gov_cec_java_lat-long.htm <a name=9501a107> 台北北緯 25°: 5 m:0 s N= 25+ 5/60= 25.0833N 台北東經 121°:32 m:0 s E=121+32/60=121.5333E 洛杉磯北緯 34°: 3 m:15 s N= 34.0542N 洛杉磯西經 118°:14 m:28 s W=-118.2411W   (118 + 14/60 + 28/60/60 = 118.24111111) 以上角度 以下弧度 <a name=9501a108> 台北北緯 25°: 5 m:0 s N= 25+ 5/60= 0.4377861N =Λ 台北東經 121°:32 m:0 s E=121+32/60= 2.1211562E =Φ 洛杉磯北緯 34°: 3 m:15 s N= 0.5943579N =λ 洛杉磯西經 118°:14 m:28 s W=-2.0636965W =φ ● 西經弧度改為負值。 ● 南緯弧度改為負值。 B51式 θ=arccos[cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ]  =arccos[cos(0.4377861)*cos(0.5943579)*cos(-2.0636965-2.1211562) + sin(0.5943579)*sin(0.4377861)]  =arccos(-0.140348640056) <a name=9501a109> 台北、洛杉磯弧度距離θ=1.71161弧度 θ是由地心指向台北及由地心指向洛杉磯兩條半徑的夾角 。 95,01,11,09,58由 great-circle-wcrl.ars.usda.gov_cec_java_lat-long.htm 得到距離 8806.692166838924 公里 <a name=9501a110> 95,01,11,13,42用本卷公式算出 台北、洛杉磯長度距離為 1.71161*6366.71 = 10897.3公里 求證此值是否正確。 94,09,26,18,16取閱 http://www.gb3pi.org.uk/great.html 存卷為 c:\$fm\ph\spherical\great-circle-gb3pi.org.uk-great.html <a name=9501a111> 95,01,11,13,04用 great-circle-gb3pi.org.uk-great.html 計算得到 10901 公里 以上是第一組吻合的他人答案, 以下是第二組吻合的他人答案。 94,09,26,15,36取閱 http://www.ga.gov.au/geodesy/datums/distance.xls 存卷為 c:\$fm\ph\spherical\ga.gov.au-geodesy-datums-distance.xls <a name=9501a112> 95,01,11,14,13開啟 ga.gov.au-geodesy-datums-distance.xls 計算得到 10897.314 公里 台北、洛杉磯長度距離有四個答案 用本卷公式算出為 10897.3 公里 gb3pi.org.uk/great.html 10901 公里 ga.gov.au/.../distance.xls 10897.314 公里 usda.gov/.../lat-long.htm 8806.692 公里 由此可以看出B51式得到正確弧長(距離)結果。 95,01,12,21,03止 <a name=950416d> 95,04,16,20,50始 如果取用B49式,面對x"',沒有東偏角Δ,避免麻煩。 如果取用B50式,面對y"',多出東偏角Δ,額外麻煩。 θ 是甲城與乙城之間的弧度距離 θ=arccos(x"')  ………B49式 θ=arcsin(y"')  ………B50式 x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ                   ………B38式 y"' = cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]                   ………B39式 95,04,16,20,52止 <a name=9501a113> 95,01,13,08,46始 當讀者引用公式時,請注意﹕ B18式將客軸系轉回至主軸系, B21式將主軸系轉出至客軸系。 如果用錯公式,那就是張飛打岳飛,打的滿天飛! 由(x ,y )轉至(x'",y'")歷經三次轉動 主軸系(x ,y ) 轉至客軸系(x' ,y' ) (繞z 軸轉) 主軸系(z' ,x' ) 轉至客軸系(z" ,x" ) (繞y 軸轉) 主軸系(y" ,z" ) 轉至客軸系(y"',z"') (繞x 軸轉) <a name=9501a114> 圖○四,客軸系轉回至主軸系 [x]  [cosθ  -sinθ] [x'] [y] = [sinθ   cosθ]*[y']    ………B18式 [x']  [ cosθ  sinθ] [x] [y'] = [-sinθ  cosθ]*[y]    ………B21式 <a name=9501a115> 圖○五,主軸系轉出至客軸系 現在把B21式代入B18式,如下 [x]  [cosθ  -sinθ] [ cosθ  sinθ] [x] [y] = [sinθ   cosθ]*[-sinθ  cosθ]*[y]                   ………B55式 請看此式左側為(x, y),同式最右端也是(x, y), (x, y) 乘什麼數會等於自己呢?唯一答案是「一」, 在此處必須是矩陣的「一」。我們展開 [cosθ  -sinθ] [ cosθ  sinθ] [sinθ   cosθ]*[-sinθ  cosθ] 看得到什麼結果? <a name=9501a116> 上式有四個同號的cosθ,及四個異號的sinθ,太多類似 ,先看一般矩陣的展開 [A  B] [E  F] [C  D]*[G  H] ←一般矩陣 <a name=9501a117> 根據圖○六的規則,主軸系轉出至客軸系 <a name=9501a118> 求第一行、第一列之值 ←  ← [A  B] [E↑  F] [C  D]*[G↑  H] 得到 [A*E+B*G   未知] [未知    未知] <a name=9501a119> 求第一行、第二列之值 ←  ← [A  B] [E  F↑] [C  D]*[G  H↑] 得到 [A*E+B*G  A*F+B*H] [未知    未知] <a name=9501a120> 求第二行、第一列之值 [A  B] [E↑  F] ←  ← [C  D]*[G↑  H] 得到 [A*E+B*G  A*F+B*H] [C*E+D*G   未知] <a name=9501a121> 求第二行、第二列之值 [A  B] [E  F↑] ←  ← [C  D]*[G  H↑] 得到 [A*E+B*G  A*F+B*H] [C*E+D*G  C*F+D*H] <a name=9501a122> 所以一般矩陣展開得到 [A  B] [E  F] [A*E+B*G  A*F+B*H] [C  D]*[G  H]=[C*E+D*G  C*F+D*H] …B56式 此時再回頭看 [cosθ  -sinθ] [ cosθ  sinθ] [sinθ   cosθ]*[-sinθ  cosθ] 展開得到 [cosθ*cosθ+(-sinθ)*(-sinθ)  cosθ*sinθ+(-sinθ)*cosθ] [sinθ*cosθ+cosθ*(-sinθ)    sinθ*sinθ+cosθ*cosθ  ] 也就是矩陣的「一」﹕ [1  0] [0  1] 因為 sinθ*sinθ+cosθ*cosθ = 1    sinθ*cosθ+cosθ*(-sinθ) = 0 <a name=9501a123> 這個結果告訴我們﹕ 從主軸系用B21式轉出去,再用B18式轉回來,結果 還原。 是還原嗎?B55式 [x]  [cosθ  -sinθ] [ cosθ  sinθ] [x] [y] = [sinθ   cosθ]*[-sinθ  cosθ]*[y] 變為(注意﹕矩陣的「一」) [x]  [1  0] [x] [y] = [0  1]*[y] 展開為 [x]  [1*x + 0*y] [x] [y] = [0*x + 1*y] = [y] 確實還原。所以, <a name=9501a124> 若用錯公式,本想順時鐘轉出去,結果是逆時鐘轉出去! 必須小心。 每到可以校對的一步時,立即校對,如果有誤,馬上追蹤 及更正。 本卷在B47式前後校對B44式, 本卷在台北、洛杉磯弧度距離處校對。 到目前還沒有矛盾。 95,01,13,09,47止 <a name=9501a125> 95,01,13,12,37始 幾個轉動矩陣相乘,會有何種結果? 第一轉﹕以z 軸為轉軸,轉(起點城市之)經度角Φ [x']  [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y'] = [-sinΦ cosΦ 0]*[y]   ………B25式 [z'] [  0   0 1] [z] 轉動之後,原坐標系統xyz變為第一次轉後坐標系統 x′y′z′ <a name=9501a126> 第二轉﹕以第一次轉後坐標系統x′y′z′的y′軸為轉軸, 轉(起點城市之)緯度角-Λ度,以下述公式表示﹕ [x"]  [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [x'] [y"] = [   0  1   0  ]*[y'] ……B26式 [z"] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [z'] <a name=9501a127> B25式代入B26式,消去x′y′z′得到下述公式 [x"]  [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y"] = [   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z"] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [  0   0 1] [z]                   ………B27式 此處改用簡單表示法 B27式又為 [X"] = [M]*[X] B28式及B29式從右端逐次展開 。 <a name=9501a128> B37式又為 [X"']= [N]*[X] 也是從右端逐次展開 。 ● 現在如果維持最右端的 ●  [x] ● *[y] ●  [z] ● 不動,同時展開中間的方矩陣, ● (本節改變處) 得到如下結果 <a name=9501a129> [x"]  [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y"] = [   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z"] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [  0   0 1] [z]                   ………B27式 以上是兩個單轉矩陣之原形, 以上是兩個單轉矩陣之乘積, [x"]  [cos(-Λ)*cosΦ  cos(-Λ)*sinΦ  -sin(-Λ)] [x] [y"] = [ -sinΦ      cosΦ          0]*[y] [z"] [sin(-Λ)*cosΦ  sin(-Λ)*sinΦ  cos(-Λ)] [z] 簡化 [x"]  [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [x] [y"] = [ -sinΦ      cosΦ         0]*[y] [z"] [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] [z]                   ………B57式 <a name=9501a130> 此式不同於B28式、B29式,在於B57式右端有 ●  [x] ● *[y] ●  [z] 按照同樣的方法把B37式改寫如下(保留 x, y, z) [x"']  [ 1   0   0] [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y"'] = [ 0 cosΔ sinΔ]*[   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z"'] [ 0 -sinΔ cosΔ] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [  0   0 1] [z]                   ………B58式 將B57式代入B58式有(保留 x, y, z) [x"']  [ 1   0   0] [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [x] [y"'] = [ 0 cosΔ sinΔ]*[ -sinΦ      cosΦ         0]*[y] [z"'] [ 0 -sinΔ cosΔ] [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] [z] 展開中間矩陣(保留 x, y, z) <a name=9501a131> [x"']  [ cosΛ*cosΦ           [y"'] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ [z"'] [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ           cosΛ*sinΦ           cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ           -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ              sinΛ   ] [x]              sinΔ*cosΛ]*[y]              cosΔ*cosΛ] [z]               ………B59式 95,01,13,13,18此 <a name=9501a132> 參考 [x']  [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y'] = [-sinΦ cosΦ 0]*[y]   ………B25全式 [z'] [  0   0 1] [z] 令矩陣     [ cosΦ sinΦ 0] [Lz] = [-sinΦ cosΦ 0]     [  0   0 1] B25式簡寫為 [X'] = [Lz]*[X]         ………B25簡式 <a name=9501a133> 參考 [x"]  [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [x] [y"] = [ -sinΦ      cosΦ         0]*[y] [z"] [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] [z]                   ………B57全式 令矩陣     [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [M] = [ -sinΦ      cosΦ         0]     [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] B57式簡寫為 [X"] = [M]*[X]           ………B57簡式 <a name=9501a134> 參考 [x"']  [ cosΛ*cosΦ           [y"'] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ [z"'] [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ           cosΛ*sinΦ           cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ           -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ              sinΛ   ] [x]              sinΔ*cosΛ]*[y]              cosΔ*cosΛ] [z]               ………B59全式 <a name=9501a135> 令矩陣     [ cosΛ*cosΦ           [N] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ     [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ           cosΛ*sinΦ           cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ           -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ              sinΛ   ]              sinΔ*cosΛ]              cosΔ*cosΛ] <a name=9501a136> B59式簡寫為 [X"'] = [N]*[X]     ………B59簡式 B25簡全、B57簡全、B59簡全三者最右端都保留 ●  [x] ● *[y] ●  [z] 是重點,下面分析轉動矩陣特徵 [x,y,z]不能介入。 轉動矩陣之特徵為 第一﹕轉動矩陣之行列式值為正一(右手轉動) 第二﹕轉動矩陣之任意二行互相垂直,任意二列互相垂直。 第三﹕轉動矩陣之調矩陣與其反矩陣相同。 首先核對一個轉動矩陣是否有性質一、二,然後分別說明三 個性質。 B25式太簡單, B59式太繁雜, 以 B57式為例。 95,01,13,13,39此 <a name=9501a137> 首先核對行列式值,確定計算無誤。 下面是B57式的矩陣     [cosΛ*cosΦ   cosΛ*sinΦ   sinΛ] [M] = [ -sinΦ      cosΦ      0]     [-sinΛ*cosΦ  -sinΛ*sinΦ   cosΛ] [M]行列式值為 cosΛ*cosΦ*cosΦ*cosΛ+sinΛ*(-sinΦ)*(-sinΛ*sinΦ) -sinΛ*cosΦ*(-sinΛ*cosΦ)-cosΛ*sinΦ*(-sinΦ)*cosΛ = cosΛ*cosΦ*cosΦ*cosΛ+sinΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ sinΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ+cosΛ*sinΦ*sinΦ*cosΛ = cosΛ*cosΦ*cosΦ*cosΛ +sinΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ +sinΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ +cosΛ*sinΦ*sinΦ*cosΛ = cosΛ*cosΛ*cosΦ*cosΦ +sinΛ*sinΛ*sinΦ*sinΦ +sinΛ*sinΛ*cosΦ*cosΦ +cosΛ*cosΛ*sinΦ*sinΦ = cosΛ*cosΛ*cosΦ*cosΦ +sinΛ*sinΛ*cosΦ*cosΦ +sinΛ*sinΛ*sinΦ*sinΦ +cosΛ*cosΛ*sinΦ*sinΦ = 1*cosΦ*cosΦ +1*sinΦ*sinΦ = 1 95,01,13,13,46此 <a name=9501a138> 以上核對[M]矩陣行列式值, 以下核對[M]矩陣各行是否正交。     [cosΛ*cosΦ   cosΛ*sinΦ   sinΛ] [M] = [ -sinΦ      cosΦ      0]     [-sinΛ*cosΦ  -sinΛ*sinΦ   cosΛ] 用向量之點積核對二行與三行正交性(忽略第一行) 略 cosΛ*cosΦ   cosΛ*sinΦ   sinΛ 略 [ -sinΦ      cosΦ      0] [-sinΛ*cosΦ  -sinΛ*sinΦ   cosΛ] <a name=9501a139> 二行向量點積三行向量 (-sinΦ)*(-sinΛ*cosΦ)+cosΦ*(-sinΛ*sinΦ)+0*cosΛ = sinΦ * sinΛ*cosΦ -cosΦ* sinΛ*sinΦ +0 = sinΦ*sinΛ*cosΦ -cosΦ*sinΛ*sinΦ = 0 [M]的二行及三行正交為真。 <a name=9501a140> 以下看[M]的一行及三行正交性(忽略第二行) [cosΛ*cosΦ   cosΛ*sinΦ   sinΛ] 略 -sinΦ      cosΦ      0略 [-sinΛ*cosΦ  -sinΛ*sinΦ   cosΛ] 一行向量點積三行向量 cosΛ*cosΦ*(-sinΛ*cosΦ)+cosΛ*sinΦ*(-sinΛ*sinΦ) +sinΛ*cosΛ = -cosΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ-cosΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ +sinΛ*cosΛ = -cosΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ -cosΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ +sinΛ*cosΛ = -cosΛ*sinΛ*cosΦ*cosΦ -cosΛ*sinΛ*sinΦ*sinΦ +sinΛ*cosΛ = -cosΛ*sinΛ*(cosΦ*cosΦ+sinΦ*sinΦ) +sinΛ*cosΛ = -cosΛ*sinΛ*1 +sinΛ*cosΛ = 0 [M]的一行及三行正交為真。 <a name=9501a141> 以下看[M]的一行及二行正交性(忽略第三行) [cosΛ*cosΦ   cosΛ*sinΦ   sinΛ] [ -sinΦ      cosΦ      0] 略-sinΛ*cosΦ  -sinΛ*sinΦ   cosΛ略 一行向量點積二行向量 cosΛ*cosΦ*(-sinΦ)+cosΛ*sinΦ*cosΦ+sinΛ*0 = -cosΛ*cosΦ*sinΦ +cosΛ*sinΦ*cosΦ+0 = -cosΛ*sinΦ*cosΦ +cosΛ*sinΦ*cosΦ = 0 [M]的一行及二行正交為真。 矩陣[M]的正交為真,同時 矩陣[M]的行列式值為一, 所以導證無誤。 95,01,13,14,10止 <a name=9501a142> 95,01,13,15,10始 列出本卷使用之轉動矩陣如下﹕ 繞x 軸轉動     [ 1   0   0] [Lx]= [ 0 cosθ sinθ]   ………B60式     [ 0 -sinθ cosθ] 繞y 軸轉動     [cosθ 0 -sinθ] [Ly]= [  0 1   0]   ………B61式     [sinθ 0  cosθ] 繞z 軸轉動     [ cosθ sinθ 0] [Lz]= [-sinθ cosθ 0]   ………B62式     [  0   0 1] <a name=9501a143> 先繞z 轉經度角Φ,再繞y'軸轉緯度角Λ     [cosΛ*cosΦ   cosΛ*sinΦ   sinΛ] [M] = [ -sinΦ      cosΦ     0 ]     [-sinΛ*cosΦ  -sinΛ*sinΦ   cosΛ]    ………B63式 <a name=9501a144> 先繞z 轉經度角Φ,再繞y'軸轉緯度角Λ,再繞x"軸轉Δ     [ cosΛ*cosΦ           [N] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ     [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ           cosΛ*sinΦ           cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ           -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ              sinΛ   ]              sinΔ*cosΛ]              cosΔ*cosΛ]    ………B64式 <a name=9501a145> 這幾個轉動矩陣共同特徵是 ● 公式維持維持最右端的 ●  [x] ● *[y] ●  [z] ● 不變。 為什麼維持最右端的[X]矩陣不變呢?參考B57式 [x"]  [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [x] [y"] = [ -sinΦ      cosΦ         0]*[y] [z"] [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] [z]                   ………B57全式 [X"] = [M]*[X]           ………B57簡式 B57式表示由原始坐標[X] 經一次轉動到達[X"], <a name=9501a146> 請對照   由原始坐標[X] 經兩次轉動到達[X"]的 [x"]  [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y"] = [   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z"] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [  0   0 1] [z]                   ………B27式 B63式的[M]矩陣及B64式的[N]矩陣都如同 B60式、B61式、B62式基本轉動矩陣一樣,一次 從起點轉到終點。 <a name=9501a147> 這些轉動矩陣有什麼共同性質? 如何判別一個矩陣是否為轉動矩陣? 右手律轉動與左手律轉動區別何在? 我們可以從最簡單的轉動矩陣看出端倪,因為最簡單的轉 動矩陣與最複雜的轉動矩陣必須具有相同性質。 什麼是「最簡單的轉動矩陣」呢? 「轉動」角度為零度是「最簡單的轉動矩陣」。 以最常用的     [ cosθ sinθ 0] [Lz]= [-sinθ cosθ 0]   ………B62式     [  0   0 1] 為例。(紙面上橫軸是 x軸,縱軸是 y軸,最常用) <a name=9501a148> B62式中令θ=0度,得到最簡單的轉動矩陣     [ 1  0  0] [I]= [ 0  1  0]   ………B65式     [ 0  0  1] 這個最簡單的轉動矩陣的行列式值為正一, 這個最簡單的轉動矩陣的任何兩列互相垂直,也就是 任何兩列的點積為零,(1*0 + 0+1 + 0*0 = 0) 任何兩行的點積也為零。 95,01,13,16,05此 <a name=9501a149> 轉動矩陣的行列式值為正一,這是因為B65式的主 對角線元素乘積為 1*1*1 = 1 任何其他的(副)對角線元素乘積皆為零,故 轉動矩陣的行列式值為正一。 可能有人會問,如果定義最簡單的轉動矩陣為     [ 2  0  0] [J]= [ 0  3  0]     [ 0  0  4] 那麼它的矩陣行列式值就不是一了。 這種[J]矩陣除了轉動之外,同時有伸縮,因為 轉前的x變為轉後的2x 轉前的y變為轉後的3y 轉前的z變為轉後的4z 「轉動伴有伸縮」不符合物理現象。 最簡單的轉動矩陣[I]的行列式值為正一,轉動不會產生 伸縮,幾次轉動之後的復合矩陣([M]及[N]矩陣)其行 列式值必須為正一。 <a name=9501a150> 所以轉動矩陣第一個判別條件是 (第二第三特徵) ● 一個合理的右手轉動矩陣,其行列式值為正一 ● 一個合理的左手轉動矩陣,其行列式值為負一 ● 轉動矩陣之縱列向量、橫行向量長度為一。 <a name="hide01">
<a name=9501a151> 下面請看轉動矩陣第二個判別條件。 最簡單的轉動矩陣[I]及一次轉動之後的簡單轉動矩陣     [ cosθ sinθ 0] [Lz]= [-sinθ cosθ 0]   ………B62式     [  0   0 1] 它們的橫行(縱列)實際上是轉後坐標軸以原始坐標系表 示的向量。 [I]矩陣就是它自己,不用說。 [Lz]矩陣請看 <a name=9501a152> 圖○七 [x']  [ cosθ sinθ 0] [x] [y'] = [-sinθ cosθ 0]*[y]    ………B22式 [z'] [  0   0 1] [z] 第一行 [ cosθ sinθ 0] 是什麼?看不出來,展開 得到 x' = x*cosθ + y*sinθ + z*0 這是轉動前x,y,z 坐標軸在轉動後 x' 軸上的分量和! 轉動矩陣之坐標軸由轉後坐標軸在轉前坐標系統的分量組 成。 至此,得到關鍵條件﹕ 坐標轉動,軸際夾角不變,保持九十度。物理現象、事實。 <a name=9501a153> 轉動矩陣第二個判別條件是 (第一第三特徵) ● 一個合理的轉動矩陣,其各列之間互相垂直。 ● 數學運算,反應事實。(各行之間也互相垂直) <a name="hide02">
95,01,13,16,45止 <a name=9502a001> 95,02,05,08,42始 如何構成轉動矩陣? 轉動矩陣的觀念非常簡單, 轉動矩陣如同商店堻f品的單價,表示長度為一的向量之 轉動結果,實際工作時,待轉動向量可以為任意值(我們 可以購買任意數量商品),這種方法使任意向量按照轉動 規則做正確的轉動。請看9502a1圖。 這是平面轉動,先看x軸之單位長度(等於一)轉動。 此時令x=1及令y=0,代入轉動公式得到紅色縱列, (藍色縱列乘以零消失,矩陣之展開請看9501a6圖 ● 紅色縱列是轉前坐標x軸之單位長度在轉後坐標之 ● 分量配置。 同理,令x=0及令y=1,得到 ● 藍色縱列是轉前坐標y軸之單位長度在轉後坐標之 ● 分量配置。 <a name=9502a002> [ cosθ] [-sinθ] [  0] 是縱列向量, [ cosθ  -sinθ  0] 是橫行向量。 在矩陣表示法中經常出現縱列向量。 矩陣之展開,參與向量是縱列向量?或是橫行向量?非常 重要,應該為縱列向量的地方如果誤置橫行向量,則無法 展開。請看三階矩陣矩陣之展開規則9501a6圖, 二階矩陣展開規則﹕第一行、第一列 第一行、第二列 第二行、第一列 第二行、第二列 一般二階矩陣展開 xyz應該為縱列向量才能展開,若xyz改為橫行向量 ,則無法展開。 (A可乘x,但是B無y可乘、C無z可乘,無法展開) <a name=9502a003> 平面轉動矩陣是立體轉動矩陣之特例,就立體轉動矩陣之 通則而言﹕ 轉 〔轉前x軸 | 轉前y軸 | 轉前z軸〕 動=〔在轉後坐 | 在轉後坐 | 在轉後坐〕 …B66式 矩 〔標系的分 | 標系的分 | 標系的分〕 陣 〔量向量。 | 量向量。 | 量向量。〕 轉動矩陣=三個縱列向量之組合。 一次轉動的轉動矩陣請看B22式、B23式、B24式 二次轉動的轉動矩陣請看B57式 三次轉動的轉動矩陣請看B59式 繞z軸之一次轉動轉前xyz坐標及轉後x'y'z'坐標 共用z軸,所以向量之z軸分量不變。「z軸分量不變」 在三度空間轉動矩陣表示為「1」,任何數乘1,其值不 變。請看9502a2圖。 95,02,05,09,54止 <a name=9502a004> 95,02,05,10,40始 建立轉動矩陣時,xyz可有一者令為一,另二者必須為 零,因為「轉動矩陣」是針對向量長度為一而建立的基準 。 如果xy同時為一,向量長度變為√(1×1+1×1) =√2=1•4142136>1,違反單位長度規則。 建立轉動矩陣後,xyz可為任意值。 建立第一次轉動矩陣之轉前坐標xyz可以令為一, 使用第二次轉動矩陣之轉前坐標x'不可直接令為一! 因為x'必須包括第一次轉動的信息。 x'y'必須有 sinφ及 cosφ 其中「φ」代表第一次轉動之轉角。 <a name=9502a005> 轉前坐標在兩次轉動之後的分量如何分布? 先繞z軸轉Φ弧度,再繞y軸轉 -Λ弧度 [x"]  [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y"] = [   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z"] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [  0   0 1] [z]                   ………B27式 兩次轉動之結果為B29式 [x"]  [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ ] [y"] = [   0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0 ] [z"] [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ ]                   ………B29式 <a name=9502a006> 如何理解二次轉動公式B29式? 在B29式中令x=1及令y=0及令z=0 (沿轉前x軸長度為一的向量)得到 [x"]  [cosΛ*( 1*cosΦ+0*sinΦ) + 0 + 0*sinΛ ] [y"] = [   0 + (-1*sinΦ+0*cosΦ) + 0 ] [z"] [-sinΛ*(1*cosΦ+0*sinΦ) +0 + 0*cosΛ ] 故轉前x軸長度為一的單位向量在兩次轉動之後在x"y"z" 軸系的分布為 [x"]  [ cosΛ*cosΦ] [y"] = [ -sinΦ ] [z"] [-sinΛ*cosΦ] (上面類似單價,糯米每斤二元; 9504170937  下面類似需量,要五斤 x=5 ) <a name=9502a007> 如果x不=1,填入「x*」得到 [x"]  [ x*cosΛ*cosΦ] [y"] = [ -x*sinΦ ] [z"] [-x*sinΛ*cosΦ] 同理,在B29式中令x=0及令y=y及令z=0 (沿轉前y軸長度為任意的向量)得到 [x"]  [ y*cosΛ*sinΦ] [y"] = [ +y*cosΦ ] [z"] [-y*sinΛ*sinΦ] 同理,在B29式中令x=0及令y=0及令z=z (沿轉前z軸長度為任意的向量)得到 [x"]  [ z*sinΛ] [y"] = [ 0 ] [z"] [ z*cosΛ] <a name=9502a008> 轉前向量x軸分量在轉後x"軸的分量為 x*cosΛ*cosΦ 轉前向量y軸分量在轉後x"軸的分量為 y*cosΛ*sinΦ 轉前向量z軸分量在轉後x"軸的分量為 z*sinΛ 因為三者都在轉後x"軸,可以相加,所以有B29式第一 行公式 x" = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ 同理可以解釋B29式第二行公式 轉前向量xyz三軸分量在轉後y"軸的分量和為 y" = 0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0 同理可以解釋B29式第三行公式 轉前向量xyz三軸分量在轉後z"軸的分量和為 z" = -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ <a name=9502a009> 因為所有轉動都依照規則進行,所以B29式是二次轉動 之正確表達公式。 假設向量在轉前坐標的分量為x=3、y=4、z=5 只要對原本長度為一之轉動矩陣乘以倍數就得到轉動結果 如下 [x"]  [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ ] [y"] = [   0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0 ] [z"] [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ ]     [cosΛ*( 3*cosΦ+4*sinΦ) + 0 + 5*sinΛ ]   = [   0 + (-3*sinΦ+4*cosΦ) + 0 ]   [-sinΛ*(3*cosΦ+4*sinΦ) +0 + 5*cosΛ ] 如果指定轉角Λ及Φ,代入上式,可以得到純數字解。 以上是如何理解二次轉動公式B29式? <a name=9502a010> 再走一步就可以找到大圓通式。 B37式是繼先繞z軸轉Φ弧度,再繞y軸轉 -Λ弧度 之後,再繞x軸轉Δ弧度的公式,推理相同,結果為 B38式、B39式、B40式 在三次轉後坐標系中大圓為該系赤道,仰角λ"'=0 根據 λ=arcsin(z/r)     ………B12式 在三次轉動之後傾斜大圓坐標系有 λ"'=arcsin(z"'/r"') λ"'=0等於要求z"'=0 <a name=9502a011> 所以令B40式 z"' = -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ] 為零,得到B41式 略為整理之後得到通用的大圓公式。 95,02,05,12,10止 <a name=section03> 歈 齱@變更段落,以上大圓公式,起點城市在大圓任何點  齱@變更段落,以下大轉不是向量,小轉「算是」向量  裺 <a name=9502a012> 95,02,06,12,32始 下面討論﹕大轉不是向量,小轉算是向量? 如果一個物理量有長短也有方向,我們可以定義此物理量 為向量。向量有計算規則,這就是﹕ 兩個向量和(下圖之OC)之沿軸(xyz三軸)分量(OM) 為兩個向量(OA, AC)沿軸分量之和。(OD+DM=OM) 95,02,06,12,40此 95,02,06,13,40始 <a name=9502a013> 請看9502a3圖 兩個向量和為綠線OC 兩個向量和之沿x軸分量為綠線OM 兩個向量沿x軸分量分別為OD及DM 沿x軸分量有OD加DM等於OM,同理 沿y軸分量有OE加EN等於ON。 以上是9502a3圖左側OA+OB=OC <a name=9502a014> 以下是9502a3圖右側OB+OA=OC 兩個向量和為綠線OC 兩個向量和之沿y軸分量為綠線ON 兩個向量沿y軸分量分別為OG及GN 沿y軸分量有OG加GN等於ON,同理 沿x軸分量有OF加FM等於OM。 我們可以發現 OA+OB=OB+OA,也就是 兩個向量相加,先後次序無關,結果相同。 <a name=9502a015> ● 如果一個物理量有大小、有方向,但是, ● 相加時先後次序有關,結果不同, ● 這種物理量不能稱為向量! ● 因為這種物理量不遵循向量之基本規則。 <a name=9502a016> 下面請看9502a4圖,大轉不是向量。(坐標軸不轉動) 圖源9502a4, Principles of Physics and Chemestry J.B.Brackenridge, R.M.Rosenberg; McGraw-Hill 1970 第 140頁 事實擺在眼前,不必多說,確定大轉不是向量!因為 先繞x軸再繞z軸轉動的結果與 先繞z軸再繞x軸轉動的結果不同。 <a name=9502a017> 上物理課,講到轉動時,老師可能會說﹕ 「大角轉動不是向量,但是小角轉動算是向量。」 「算是」是一種勉強、近似的用詞。 為什麼大角轉動不是向量,但是小角轉動算是向量? 分界點在那堙H 分界點大角側與分界點小角側有什麼改變? 對初學者而言,這是非常困惑的問題。 95,02,06,14,10止 <a name=9502a018> 95,02,06,16,47始 如果只憑口述、或只畫小角轉動圖片,都不能澄清疑問。 為了瞭解為什麼從不是向量變為算是向量,最好的方法是 從數學著手,看那一步有什麼改變,才能達到轉變的目的 ,從數學也可以瞭解﹕得到向量性質之後,又失去什麼? 為了數學分析小角轉動,需要計算 「先x後z」的轉動公式,B70式「先z後x」的轉動公式,B71式。 然後比較B70式及B71式之差異。小角轉動分析讓坐標 系統固定,令物體轉動,9502a4圖用一本書對固定坐標系 統轉動。但是,前面導出的公式是物體不動,坐標系統轉動。 B22式是討論點不動,坐標軸系繞z軸轉動的公式, B23式是討論點不動,坐標軸系繞y軸轉動的公式, B24式是討論點不動,坐標軸系繞x軸轉動的公式。 討論點與坐標軸系有相對運動,如果坐標軸系不轉,而是 轉動討論點,此時將上述三公式的角度θ改為負角-θ即 可。請注意﹕cos(-θ)=cosθ及sin(-θ)=-sinθ 。 <a name=9502a019> B22式將轉角θ異號之後為 [x']  [ cosθ -sinθ 0] [x] [y'] = [+sinθ cosθ 0]*[y]   ………B67式 [z'] [  0   0 1] [z] 這是坐標軸不動,討論點繞z軸轉動θ的公式。 <a name=9502a020> B23式將轉角θ異號之後為 [x']  [ cosθ 0 +sinθ] [x] [y'] = [  0 1   0]*[y]   ………B68式 [z'] [-sinθ 0 cosθ] [z] 這是坐標軸不動,討論點繞y軸轉動θ的公式。 <a name=9502a021> B24式將轉角θ異號之後為 [x']  [ 1   0   0] [x] [y'] = [ 0 cosθ -sinθ]*[y]   ………B69式 [z'] [ 0 +sinθ cosθ] [z] 這是坐標軸不動,討論點繞x軸轉動θ的公式。 95,02,06,17,10此 <a name=9502a022> 我們按照9502a4圖的情況轉動 首先求「先x後z」的轉動公式。 <a name=9502a023> 先x是(以α表示x軸轉角,各軸轉角不必相同) [x']  [ 1   0   0] [x] [y'] = [ 0 cosα -sinα]*[y]   ………B69式 [z'] [ 0 +sinα cosα] [z] 後z是(以γ表示z軸轉角,轉角可正可負) [x"]  [ cosγ -sinγ 0] [x'] [y"] = [+sinγ cosγ 0]*[y']   ………B67式 [z"] [  0   0 1] [z'] 以B69式代入B67式,消除x'y'z' [x"]  [ cosγ -sinγ 0] [ 1   0   0] [x] [y"] = [+sinγ cosγ 0]*[ 0 cosα -sinα]*[y] [z"] [  0   0 1] [ 0 +sinα cosα] [z] <a name=9502a024> 請看三階矩陣矩陣之展開規則9501a6圖, 「先x後z」的轉動公式如下﹕ [x"]  [ cosγ -sinγ*cosα  sinγ*sinα] [x] [y"] = [+sinγ cosγ*cosα -cosγ*sinα]*[y] [z"] [  0   sinα     cosα  ] [z]    ………B70式 以上B70式是通式,角度γ,α隨意。 以下用特例核對公式,指定γ=90°,α=-90°如下。 9502a4圖左上圖表示﹕沿x軸轉負九十度!因為右手握拳 ,右手大拇指指向x軸,另外四指為正角轉動方向,左上 角的圖轉角箭頭與四指轉向相反,故為沿x軸轉負九十度 。B70式中令α等於負九十度。 <a name=9502a025> 9502a4圖中上圖表示﹕沿z軸轉正九十度。B70式中令 γ等於正九十度。B70式的數字公式為 [x"]  [ cos90 -sin90*cos(-90)  sin90*sin(-90)] [x] [y"] = [+sin90 cos90*cos(-90) -cos90*sin(-90)]*[y] [z"] [  0   sin(-90)     cos(-90)  ] [z]   [ 0   0  -1] [x] = [  1   0   0]*[y] [  0  -1   0] [z] 簡化,得到 [x"]  [-z] [y"] = [+x] [z"] [-y] <a name=9502a026> 9502a4圖中「甲」點(紅點)坐標為[x, y, z] = [1, 0, 0] 核對﹕轉前 [x, y, z] = [1, 0, 0] (x=1, y=0, z=0)    轉後 [x",y",z"]= [0, 1, 0] (x"=0,y"=1,z"=0) 轉動之後「甲」點確實在正y軸上。 95,02,06,18,11此 以上是「先x後z」的轉動公式,B70式。 <a name=9502a027> 以下求「先z後x」的轉動公式。 仍然按照9502a4圖的情況轉動 <a name=9502a028> 先z是(以γ表示z軸轉角,轉角可正可負) [x']  [ cosγ -sinγ 0] [x] [y'] = [+sinγ cosγ 0]*[y]   ………B67式 [z'] [  0   0 1] [z] 後x是(以α表示x軸轉角,各軸轉角不必相同) [x"]  [ 1   0   0] [x'] [y"] = [ 0 cosα -sinα]*[y']   ………B69式 [z"] [ 0 +sinα cosα] [z'] 以B67式代入B69式,消除x'y'z' [x"]  [ 1   0   0] [ cosγ -sinγ 0] [x] [y"] = [ 0 cosα -sinα]*[+sinγ cosγ 0]*[y] [z"] [ 0 +sinα cosα] [  0   0 1] [z] <a name=9502a029> 「先z後x」的轉動公式如下 [x"]  [cosγ        -sinγ     0] [x] [y"] = [cosα*sinγ  cosα*cosγ  -sinα]*[y] [z"] [sinα*sinγ  +sinα*cosγ  cosα] [z]    ………B71式 以上B71式是通式,角度γ,α隨意。 以下用特例核對公式,指定γ=90°,α=-90°如下。 參考9502a4圖下列三圖, B71式中令α等於負九十度, B71式中令γ等於正九十度。 B71式的數字公式為 [x"]  [cos90          -sin90       0] [x] [y"] = [cos(-90)*sin90  cos(-90)*cos90  -sin(-90)]*[y] [z"] [sin(-90)*sin90  +sin(-90)*cos90  cos(-90)] [z]   [0  -1  0] [x] = [0  0  1]*[y] [-1  0  0] [z] 簡化,得到 [x"]  [-y] [y"] = [+z] [z"] [-x] <a name=9502a030> 9502a4圖中「乙」點(藍點)坐標為[x, y, z] = [0, -1, 0] 核對﹕轉前 [x, y, z] = [0, -1, 0] (x=0, y=-1, z=0)    轉後 [x",y",z"]= [1, 0, 0] (x"=1,y"=0,z"=0) 轉動之後「乙」點確實在正x軸上。 95,02,06,18,33此 「甲」點及「乙」點只是用以核對公式是否正確,任何一 點錯誤,公式必定錯誤,甲乙兩點正確,公式可能正確。 <a name=9502a031> 為什麼小角轉動算是向量?這個問題必須參考 [x"]  [ cosγ -sinγ*cosα  sinγ*sinα] [x] [y"] = [+sinγ  cosγ*cosα -cosγ*sinα]*[y] [z"] [  0   sinα     cosα  ] [z]    ………B70式(「先x後z」的轉動公式) 及 [x"]  [cosγ        -sinγ     0] [x] [y"] = [cosα*sinγ  cosα*cosγ  -sinα]*[y] [z"] [sinα*sinγ  +sinα*cosγ  cosα] [z]    ………B71式(「先z後x」的轉動公式) <a name=9502a032> B70式及B71式對大角為真,對小角也為真。 B70式及B71式互不相同,大大的不同! 怎麼可能結論小角轉動「先x後z」及「先z後x」得到 相同的結果?不可能! 有的問題必須使用近似值,例如地球質量、地球半徑,無 人知道精確值,又如以任何計算機計算含有圓周率的公式 ,圓周率是沒完沒了的值,圓周率等於 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164... 這些計算所得到的數值答案都是近似值。在數學、物理問 題中,經常使用近似法,現在我們用近似法簡化B70式及 B71式。 <a name=9502a033> 因為我們討論小角轉動,所以假設轉角α及γ都是小值。 所謂小值就是接近於零。 cos(小值)大約等於一 sin(小值)大約等於小值 例如﹕(使用弧度,不是角度) cos(0.1)=0.9950041大約等於一 sin(0.1)=0.0998334大約等於0.1 因為我們討論小角轉動 在B70式及B71式中令所有cosα=cosγ=1 在B70式及B71式中令所有sinα=α,sinγ=γ 得到以下第一次簡化公式 <a name=9502a034> [x"]  [ 1 -γ  γ*α] [x] [y"] = [ γ  1   -α]*[y] [z"] [ 0  α   1] [z]    ………B72式(「先x後z」的「轉動」公式) 及 [x"]  [1   -γ  0] [x] [y"] = [γ   1  -α]*[y] [z"] [α*γ  α  1] [z]    ………B73式(「先z後x」的「轉動」公式) 簡化之後的B72式及B73式是否相等呢?顯然不等! 「小角轉動算是向量」能夠成立嗎? <a name=9502a035> 論者仍然有說詞!請觀察, B72式及B73式主對角線都是一,兩旁的側對角線都 是小角一次方(沒有小角相乘),偏遠的右上角及左下角 元素為零,或者是小角相乘。如果小角是零點一,小角乘 小角變為零點零一,更接近零。所以,第二次簡化﹕ ● 令α*γ為零。 這一步點到要害,在令α*γ為零之後B72式及B73式 都簡化為 <a name=9502a036> [x"]  [1   -γ  0] [x] [y"] = [γ   1  -α]*[y] [z"] [0   α  1] [z]    ………B74式(兩次簡化的「轉動」公式) 〔〔 只憑目視就可以判別B74式不是轉動矩陣! 〕〕 現在「先x後z」的轉動公式與「先z後x」的轉動公式 終於相同,符合向量相加先後次序無關的條件,所以, 我們可以說「小角轉動算是向量。」 使用「算是」,因為經過兩次簡化。 那麼,什麼角度開始算是小角?大約是零點一弧度吧。 這是沒有標準的事,如果在課堂老師說﹕「零點零二弧度 算是小角」,當然以老師意見為標準,因為老師評分呀! 對許多事情,我們經常患得患失,現在我們得到「小角轉 動算是向量。」的便利,有沒有損失呢? <a name=9502a037> 大家必須知道﹕ B70式及B71式對大角為真,對小角也為真。 B70式及B71式符合轉動矩陣之要求 ● 一個合理的右手轉動矩陣,其行列式值為正一 ● 一個合理的左手轉動矩陣,其行列式值為負一 ● 轉動矩陣之縱列向量、橫行向量長度為一。 ● 一個合理的轉動矩陣,其各列之間互相垂直 ● (各行之間也互相垂直) 任何「簡化」,立即摧毀轉動矩陣之特徵,換言之 B72式、B73式、B74式都不是轉動矩陣! 請讀者對照例題○一例題○二 核對B72式、B73式B74式是否滿足轉動 矩陣之特徵條件? 至此,希望讀者能夠瞭解 「大角轉動不是向量,但是小角轉動算是向量。」 的理由,也希望讀者能夠瞭解 任何「簡化」,立即摧毀轉動矩陣之特徵! 95,02,06,19,48止 95,04,16,22,38 註始 由 [a name=9502a038] 至 [a name=9502a052] 是「轉動矩陣第三個特徵」,與「小角轉動算是向量」 沒有直接關係,本想把「第三特徵」移至他處,但是 [a name=9502a053]前後沒有時間指標。只有不分 割了。請點擊是不是向量跳過「轉動矩陣第三個特徵」。 95,04,16,22,45 註止 <a name=9502a038> 95,02,08,14,46始 現在討論轉動矩陣第三個特徵﹕ (第一第二特徵) 由B57式 [x"]  [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [x] [y"] = [ -sinΦ      cosΦ         0]*[y] [z"] [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] [z] 可以從已知[x, y, z] 計算 [x", y", z"]。 (B57式在下面簡化為 [[x"]]=[A]*[[x]]) 反過來,如果已知[x", y", z"],如何計算[x, y, z]? 也就是 [x]  [??  ??  ??] [x"] [y] = [??  ??  ??]*[y"] [z] [??  ??  ??] [z"] 問號應該填入什麼值? 定義「調矩陣」﹕ 調矩陣是由 原矩陣第一列對調為第一行, 原矩陣第二列對調為第二行, 原矩陣第三列對調為第三行, 餘同。原矩陣可以是任何矩陣,不限於轉動矩陣。 <a name=9502a039> 例如 轉動矩陣 [ cosθ sinθ 0] [-sinθ cosθ 0] [  0   0 1] 之調矩陣為 [ cosθ -sinθ 0] [ sinθ cosθ 0] [  0   0 1] 又如 [1 4 7] [2 5 8] [3 6 9] 之調矩陣為 [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] 如果矩陣不是方矩陣 [1 3 5] [2 4 6] 之調矩陣為 [1 2] [3 4] [5 6] <a name=9502a040> 定義「恆一矩陣」 「恆一矩陣」是主對角線元素全部為一、其餘元素全部為 零的矩陣。「恆一矩陣」必須是方矩陣,縱列數目與橫行 數目相等。 任何方矩陣前乘同階恆一矩陣、該方矩陣不變, 任何方矩陣後乘同階恆一矩陣、該方矩陣不變。 二階「恆一矩陣」如下 [1  0] [0  1] 三階「恆一矩陣」如下     [ 1  0  0] [I]= [ 0  1  0]   ………B65式     [ 0  0  1] 餘同。 <a name=9502a041> 定義「反矩陣」 任何方矩陣若其行列式值不為零,則可以找到另外一個方 矩陣與原矩陣相乘(前乘或後乘)得到恆一矩陣。 這種使原矩陣相乘之後變為恆一矩陣之「另外一個方矩陣 」稱為原矩陣之反矩陣。 轉動矩陣 [ cosθ sinθ 0] [-sinθ cosθ 0] [  0   0 1] 之反矩陣為 [ cosθ -sinθ 0] [ sinθ cosθ 0] [  0   0 1] <a name=9502a042> 因為原矩陣前乘反矩陣 [ cosθ -sinθ 0] [ cosθ sinθ 0] [ sinθ cosθ 0] * [-sinθ cosθ 0] [  0   0 1] [  0   0 1] 得到 [ cosθ*cosθ+sinθ*sinθ  cosθ*sinθ-sinθ*cosθ 0] [ sinθ*cosθ-sinθ*cosθ   sinθ*sinθ+cosθ*cosθ 0] [    0               0       1] 得到 [ 1  0 0] [ 0   1 0] [ 0   0  1] <a name=9502a043> 原矩陣後乘反矩陣 [ cosθ sinθ 0] [ cosθ -sinθ 0] [-sinθ cosθ 0] * [ sinθ cosθ 0] [  0   0 1] [  0   0 1] 得到 [ cosθ*cosθ+sinθ*sinθ -cosθ*sinθ*sinθ*cosθ 0] [-sinθ*cosθ+cosθ*sinθ   sinθ*sinθ+cosθ*cosθ 0] [    0               0       1] 得到 [ 1  0 0] [ 0   1 0] [ 0   0  1] <a name=9502a044> 所以 轉動矩陣 [ cosθ sinθ 0] [-sinθ cosθ 0] [  0   0 1] 之反矩陣為 [ cosθ -sinθ 0] [ sinθ cosθ 0] [  0   0 1] 注意觀察,可以發覺﹕ 轉動矩陣之調矩陣與轉動矩陣之反矩陣相同 <a name=9502a045> 轉動矩陣第三個特徵為﹕ (第一第二特徵) ● 轉動矩陣之調矩陣與轉動矩陣之反矩陣相同。 因為轉動矩陣具有各縱列向量長度為一的性質, 同時轉動矩陣具有縱列向量互相垂直的性質,所以 轉動矩陣與其調矩陣相乘的結果只有兩類﹕ 主對角線上元素自乘得一(坐標軸長為一), 主對角線外元素相乘得零(坐標軸互相垂直)。 轉動矩陣與其調矩陣相乘得到恆一矩陣,但是 轉動矩陣與其反矩陣相乘也得到恆一矩陣,故結論 ● 轉動矩陣之調矩陣就是轉動矩陣之反矩陣。 這是非常特別的結論,只對坐標軸長為一、坐標軸互相垂 直的轉動矩陣為真,其他矩陣無此性質。 <a name=9502a046> 回到前面的問題,問號應該填入什麼值? [x]  [??  ??  ??] [x"] [y] = [??  ??  ??]*[y"] [z] [??  ??  ??] [z"] 答案是﹕問號應該填入反矩陣。 以[A]代表原矩陣, 以[反A]代表反矩陣, 以[[x]]代表(對調)[x, y, z] 以[[x"]]代表(對調)[x", y", z"] 以[I]代表恆一矩陣。 〔〔 註 [x, y, z] 是橫行向量 (對調)[x, y, z] 需要對橫行向量執行一次對調操作, (對調)[x, y, z] 是縱列向量。 為了節省空間,使用佔用一行的「(對調)[x, y, z] 」 不用佔用三行的 [x] [y] [z] 95,02,08,20,23 〕〕 <a name=9502a047> 原題為B57式 [[x"]]=[A]*[[x]] 全式前乘[反A] [反A]*[[x"]]=[反A]*[A]*[[x]] 根據定義,[反A]*[A]=[I] [反A]*[[x"]]=[I]*[[x]] [I]*[[x]]就是[[x]] [反A]*[[x"]]=[[x]] 重新排列 [[x]]=[反A]*[[x"]] 這是從已知[x", y", z"],計算[x, y, z]的方法。 95,02,08,15,46止 從已知四次轉軸x""y""z""計算地坐標xyz之實例 <a name=9502a048> 95,02,08,19,08始 轉動矩陣 [ cosθ sinθ 0] [-sinθ cosθ 0] [  0   0 1] 之反矩陣為 [ cosθ -sinθ 0] [ sinθ cosθ 0] [  0   0 1] ● 轉動矩陣之調矩陣就是轉動矩陣之反矩陣。 有什麼好處嗎?把正弦項 sinθ異號不就完成了嗎? 雖然簡單,不過,沒有麻煩就不能襯托簡單,看看麻煩吧! <a name=9502a049> 請讀者比較無此特徵之一般矩陣之反矩陣運算如下 以三乘三矩陣為例,通用之原矩陣為 [a11 a12 a13] [a21 a22 a23] [a31 a32 a33] 原矩陣之反矩陣通式為 [a22*a33-a23*a32 a13*a32-a12*a33 a12*a23-a13*a22] [a23*a31-a21*a33 a11*a33-a31*a13 a13*a21-a11*a23] [a21*a32-a31*a22 a12*a31-a11*a32 a11*a22-a21*a12] / (det[A]) 假設原矩陣為 [ 1 3 0] [ 2 6 4] [-1 0 2] 原矩陣之行列式值(det[A])為 -12 <a name=9502a050> 原矩陣之反矩陣為 [12 -6 12] [-8 2 -4] [ 6 -3 0] / (-12) 〔〔 -8 來自 a23*a31 - a21*a33 = 4 *(-1) - 2 * 2 -3 來自 a12*a31 - a11*a32 = 3 *(-1) - 1 * 0 餘類推。 95,02,08,23,59 〕〕 原矩陣乘反矩陣為 [ 1 3 0] [12 -6 12] [ 2 6 4] * [-8 2 -4] [-1 0 2] [ 6 -3 0] / (-12) = [12-24 -6+6 0 ] [24-48+24 -12+12-12 0 ] [-12+12 6-6 -12] / (-12) = [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] (95,02,08,18,13開始計算三階反矩陣通式) (95,02,08,19,06得到正確值) <a name=9502a051> 由此可以看出一般矩陣之反矩陣運算非常複雜,三乘三矩 陣算是簡單題目,手算四乘四反矩陣,真會頭痛一陣,手 算十乘十反矩陣?不可能。 ● 轉動矩陣之調矩陣就是轉動矩陣之反矩陣。 把縱列改為橫行就完成,這不是太簡單了嗎?這不是太方 便了嗎? <a name=9502a052> 轉動矩陣之目視判別﹕ 因為轉動矩陣由三個長度為一的單位向量開始,每個向量 之全長為一, [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] 轉前坐標軸每個向量之全長為一,投向三個轉後坐標軸, 所以,每個轉後坐標軸上的分量必須在正一至負一之間。 兩次轉動得到 [cos(Λ)*cosΦ   cos(Λ)*sinΦ   sin(Λ)] [ -sinΦ      cosΦ         0] [-sin(Λ)*cosΦ  -sin(Λ)*sinΦ   cos(Λ)] 把數值代入Λ、Φ之後, 不能有一項大於一, 不能有一項小於負一! 不能有一列向量長度大於一, 不能有一行向量長度大於一, 否則必定計算錯誤。 [12 -6 12] [-8 2 -4] [ 6 -3 0] 不是轉動矩陣,因為縱列向量長度超過一! <a name=9502a053> 兩次簡化的「轉動」公式 [x"]  [1   -γ  0] [x] [y"] = [γ   1  -α]*[y] [z"] [0   α  1] [z]    ………B74式 也不是轉動矩陣,因為縱列向量長度超過一! 第一縱列向量長度平方=1×1+γ×γ+0×0 如果γ不為0,則第一縱列向量長度大於一! 我們設計的轉動矩陣沒有伸張、沒有收縮,只憑目視就可 以判別 [1   -γ  0] [γ   1  -α] [0   α  1] 不是轉動矩陣! <a name=whatloss> 失去什麼? 我們得到小轉算是向量的便利,但是,所得之矩陣 B72式、B73式B74式都不是轉動矩陣! 95,02,08,19,34止 <a name=950416a> 95,04,16,10,10始 大角轉動與小角轉動「分界點在那堙H」 由兩次簡化產生「算是向量」,不是由角度性質改變產生 「算是向量」,所謂「分界點」是沒有定義的事。 「分界點大角側與分界點小角側有什麼改變?」 沒有明確的分界點,大角與小角也沒有角度性質變更, 小角轉動仍然不是向量! 完全因為簡化轉動矩陣,才得到「算是向量」的結果。 95,04,16,10,16止 95,05,16,09,08始 關於小角轉動之參考書,自由人手邊有三本﹕ 一、 Classical Dynamics of Particles and Systems second ed. Jerry B Marion. Academic Press 1970 ISBN 0-12-472252-0 第十五頁,只談大角轉動,未談小角轉動。 二、Principles of Dynamics, Donald T. Greenwood Prentice-Hall, Inc. 1965 第三二八頁底至第三三二頁,談大角轉動,談小角 轉動,印出簡化矩陣,談到略除高次項(三三一頁 第三行),得到先後轉動次序無關的公式(三三一 頁第八行)。 三、The Principles of Physics and Chemistry J.Bruce Brackenbridge, Robert M. Rosenberg McGraw-Hill 1970 第一四○頁,有小角轉動圖,沒有矩陣公式。 請讀者注意﹕課本說「小角轉動算是向量」,是因為簡 化轉動矩陣,若沒有簡化步驟,不可能得到此結果。 95,05,16,09,37止 <a name=section04> 歈 齱@變更段落,以上大轉不是向量,小轉「算是」向量  齱@變更段落,以下小圓通式、小圓軌跡及偏角之計算  裺 <a name=9503a001> 95,03,28,13,42始 在 95,01,10,09,07 找到大圓通式。 當時希望求出小圓通式,在 95,01,26,20,39找到 [[ sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ - 1] + cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*cosΛ]} = 0 小圓公式01 (錯!) ]] <a name=9503a002> φ是大圓上任意點之經度角,變數, λ是大圓上任意點之緯度角,變數。 Φ是起點P位置之經度角,常數, Λ是起點P位置之緯度角,常數。 Δ是通過討論點P點(城市)大圓之偏向角,常數。如果 通過P點大圓向東,Δ為零,偏北為正角,偏南為負角。 若偏向角Δ非零,(Φ、Λ)不是大圓之最高(北)點! Δ稱為東偏角 -90°<Δ<90° 決定大、小圓方向。   如果指向正東,Δ=0°,否則Δ是對正東之偏離角。 α稱為地偏角 -90°<α<90° 決定是大圓或小圓,   如果指向地心,α=0°,是為大圓,否則是小圓。 公式中的「- 1」是錯誤的,當時想用平移坐標,將坐標 原點由地球轉軸移至討論城市(Φ、Λ),因而產生「-1」 「討論城市」指大圓或小圓經過的城市,當討論兩個城市 決定一個大圓,或討論三個城市決定一個小圓時,「討論 城市」又稱為「第一城市」。決定大小圓之東偏角地偏角 都是相對於「第一城市」,第二、第三城市之偏角無用。 「討論城市」、「第一城市」、「甲城」、「甲點」都指 同一點。 <a name=9503a003> ,希望在討論城市轉動小圓如同翻書本頁數一樣的轉動 小圓。 小圓公式01只對兩個極端為真,即 α=0° 得到赤道大圓 α=90° 得到討論城市(Φ、Λ)一點, 中間值都不正確,特別是當地偏角α=討論城市緯度Λ 及東偏角Δ=0°時,應該得到等緯小圓公式 λ = Λ 這個必要條件不成立,表示小圓公式01是錯誤公式。 由 95,01,26,20,39(得到錯誤答案,小圓公式01) 至 95,03,28,10,49(確定正確答案,小圓公式11) 思考如何找到正確小圓公式。 <a name=9503a004> 95,03,22買了一本舊書「平面及球體三角」 Plane and spherical trigonometry Alfred L. Nelson and Karl W. Folley Harper & Brothers Publishers 1943 95,03,24,10,51開始閱讀及(在電腦內)筆記上述 平面及球體三角,希望能找到求正確小圓公式之提示。 95,03,28凌晨半夜思考, 95,03,28上午重新端正思路, 95,03,28,10,16 找到正確答案,小圓公式11 95,03,28,10,49 確定正確答案,小圓公式11 !!!!!!!! 小圓公式正確答案與舊書「平面及球體三角」無關,不過, 閱讀「平面及球體三角」使我腦海堨R滿了對小圓公式之 好奇。 95,03,28,14,19此 <a name=9503a005> 95,03,28,14,36此 求小圓的方法如下﹕ 先定義四個轉動矩陣,便利使用簡單數學公式。 第一轉[M1],繞 z軸轉 Φ度,Φ是甲城經度角。 [M1] = [ cosΦ sinΦ 0] [-sinΦ cosΦ 0] [  0   0 1] 第二轉[M2],繞y'軸轉-Λ度,Λ是甲城緯度角。 [M2] = [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [   0  1   0  ] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] <a name=9503a006> 第三轉[M3],繞x"軸轉 Δ度,Δ是甲城東偏角。 [M3] = [ 1   0   0] [ 0 cosΔ sinΔ] [ 0 -sinΔ cosΔ] 第四轉[M4],繞y"'軸轉 α度,α是甲城地偏角。 [M4] = [cosα 0 -sinα] [  0 1   0] [sinα 0  cosα] <a name=9503a007> 陶侃坐標首先與地球坐標重合, x軸由地心指向地面經緯度為( 0°, 0°)處, y軸由地心指向地面經緯度為(90°, 0°)處, z軸由地心指向北極。 陶侃坐標赤道零點與地球坐標赤道零點重合(0°,0°), 陶侃坐標最終轉至可以定義小圓的便利角度, 地球坐標不轉,作為陶侃坐標轉動後方位改變之基準。 討論城市在地球位置之經度為Φ(大寫Φ。小寫φ是變數), [M1]轉動矩陣,將坐標系統以南北極軸(z軸)轉動Φ度, 把地球坐標赤道經度零點轉至討論城市正南(或正北) 的赤道點上。請注意﹕只有陶侃坐標轉動,討論城市不 轉動,地球坐標不轉動。第一次以[M1]轉動之後得到 x',y',z'軸系,情況如下﹕ x'軸由地心指向地面經緯度為( Φ, 0°)處, y'軸由地心指向地面經緯度為(Φ+90°, 0°)處, z'軸由地心指向北極。(z'軸 = z軸) 95,03,28,15,13止 <a name=9503a008> 95,03,28,16,53始 討論城市在地球位置之緯度為Λ(大寫Λ,小寫λ是變數), [M2]轉動矩陣,將x',y',z'坐標系統以y'軸轉動 Λ度,把地球坐標赤道緯度零點(及[M1]轉動之經度零 點)轉至討論城市位置。只有陶侃坐標轉動,討論城市 不轉動,地球坐標不轉動。第二次以[M2]轉動之後得 到x",y",z"軸系,情況如下﹕(y"軸 = y'軸) x"軸由地心指向地面經緯度為( Φ, Λ)處, y"軸由地心指向地面經緯度為(Φ+90°, 0°)處, z"軸由地心偏離北極。(z"軸指向難以描述) x",y",z"軸系的大圓通過討論城市,而且 以討論城市為大圓之極北點。也就是 大圓在討論城市指向正東。 為什麼位於極北點就是指向正東? <a name=9503a009> 如果通過討論城市的大圓只許向東,這就不算通式。為求 通式,必須能夠處理不向正東的大圓。 [M2]轉動之後的x",y",z"軸系中的x"軸由地心指向討 論城市( Φ, Λ)處。也就是由地心指向天空,這一根 x"軸拿來轉動大圓,正好調整通過討論城市的大圓之對東 偏角Δ。 [M3]轉動矩陣,將x",y",z"坐標系統以x"軸轉動Δ度 ,把通過討論城市指向正東的大圓轉動指向對東偏離Δ度 。只有陶侃坐標轉動,討論城市不轉動,地球坐標不轉動 。x"',y"',z"'軸系的大圓通過討論城市,但是不以 討論城市為大圓之極北點,因為大圓在討論城市不指向正 東。 至此得到大圓通式(不是小圓通式)。 95,03,28,17,23此 <a name=9503a010> 繼95,01,10,09,07找到大圓通式之後,希望也能求出 小圓通式。費了九牛二虎之力把大圓轉至討論城市,繼續 求小圓通式時,捨不得離開大圓(犯錯之處),於是想到 把轉軸平移至討論城市(前三次轉動轉軸皆通過地心), 以通過討論城市的軸為轉軸,像翻書一樣把大圓轉至小圓 ,用意雖美,實際不通。 95,01,26,20,39得到的小圓公式01(錯誤)只有 在地偏角等於零度時吻合(大圓),及 在地偏角等於九十度時吻合(一點) 試探通過討論城市之等緯小圓,結果不合理。 <a name=9503a011> 正確處理之途為在大圓通式這一步,繼續以y"'軸轉動 α 度(α 為小圓對地心之偏角),這個轉動使大圓脫離討論 城市(轉離),同時正確步驟不使用平移,轉軸不通過討 論城市! [M4]轉動矩陣,將x"',y"',z"'坐標系統以y"'軸 轉動α度,大圓脫離討論城市,成為目標小圓之基準大圓。 以x"",y"",z""軸系基準大圓再提升仰角α度,「圓」 又回到討論城市,不是大圓,而是小圓,恰為所需。 x"",y"",z""軸系的大圓是以高度z""=0描述 x"",y"",z""軸系通過討論城市的小圓是以高度 z""=sinα 描述 對x"",y"",z""軸系而言,z""軸高度恆等於 sinα 是x"",y"",z""軸系的等緯小圓。 至此,找到通過討論城市(Φ, Λ)、東偏角Δ、地偏角α 的小圓通式 小圓公式11 。 95,03,28,17,57止 <a name="950417a"> 95,04,17,13,48 為什麼位於極北點就是指向正東? 在大圓的極北點(大圓的極北點不是地球的北極點),不 能再向北移動,南北速度分量為零,只有東西速度分量, 因此,在大圓的極北點只能向東走或向西走。東、西兩個 方向可以任選一者為主要方向,正負易號之後就是另外一 個方向。習慣上選擇向東為正,所以,位於極北點就是走 向正東,向東走能夠不指向正東嗎? 95,04,17,13,54 <a name=9503a012> 95,03,28,19,10始 令 [w] 表示縱列向量 [x] [y] [z] 令 [w""]表示縱列向量 [x""] [y""] [z""] <a name=9503a013> 小圓通式導證如下。 [w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w]………BB96式 展開之後取 z"",令 z"" = 任意常數  得到任意小圓通式。 z"" = 特定常數 (sinα) 得到通過甲城之小圓通式。 tc9501ah <a name=9503a014> 下面是小圓通式 z"" = sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*sinΛ ] + cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) +cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sinα ………B79式 (小圓公式11) <a name=9503a015> 其中「= sinα」是 以x"",y"",z""軸系之基準大圓再「提升仰角α度」 之表達項。 [M4]轉動使大圓對討論城市轉離α度(α=地偏角) 「= sinα」使以x"",y"",z""軸系之赤道大圓取該大 圓緯度為α度之等緯小圓, 轉離α度又轉回α度,討論城市又踏在小圓上,這個小圓正 是所求之小圓。 <a name=9503a016> 小圓通式變數說明﹕ Φ是討論點P位置之經度角,常數, Λ是討論點P位置之緯度角,常數。 φ是小圓上任意點之經度角,變數, λ是小圓上任意點之緯度角,變數。 Δ稱為東偏角 -90°<Δ<90° 決定大、小圓方向。 α稱為地偏角 -90°<α<90° 決定是大圓或小圓,α=0時是大圓。 變動Δ及α指定不同的大圓或小圓,Δ及α類似變數, Δ及α確定之後,如同常數,描述指定的大圓或小圓。 <a name=9503a017> <a name="hide03"> 請讀者先手動計算,展開 [x""] [cosα 0 -sinα] [ 1   0   0] [cos(-Λ) 0 -sin(-Λ)] [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y""]=[  0 1   0]*[ 0 cosΔ sinΔ]*[   0  1   0  ]*[-sinΦ cosΦ 0]*[y] [z""] [sinα 0  cosα] [ 0 -sinΔ cosΔ] [sin(-Λ) 0  cos(-Λ)] [  0   0 1] [z] 然後點擊 協助核對自由人之計算
<a name=9503a023> 95,03,28,21,19始 小圓通式是否合理?必須作試點驗證,任何一者得到不合 理結果,那麼小圓通式肯定錯誤。 驗證一﹕令地偏角α等於零度,預期得到大圓通式。 sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sinα ……… B79式 <a name=9503a024> B79式在令地偏角α等於零度之後變為 0 *[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + 1 * {-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = 0 ……… B79式 <a name=9503a025> 變為 -sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] = 0 ……B42式 這正是大圓通式。B42式。 驗證一﹕令地偏角α等於零度,得到大圓通式。合理。 <a name=9503a026> 驗證二﹕令地偏角α等於九十度,預期小圓變為一點。 (α等於九十度時,小圓平面與地球相切於甲城一點) sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sinα ……… B79式 <a name=9503a027> B79式在令地偏角α等於九十度之後變為 sin90*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + cos90*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sin90 <a name=9503a028> 也就是 1*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + 0 = 1 <a name=9503a029> 也就是 cosΛ*cosλ*cosφ*cosΦ +cosΛ*cosλ*sinφ*sinΦ +sinλ*sinΛ = 1 也就是 cosΛ*cosλ*[cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ] +sinλ*sinΛ = 1 <a name=9503a030> 也就是 1= cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) +sinλ*sinΛ <= cosΛ*cosλ*1 +sinλ*sinΛ = cos(λ-Λ) <= 1 <a name=9503a031> 現在 1=cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*sinΛ<= 1 必須有 cos(φ-Φ) = 1 及 必須有 cos(λ-Λ) = 1 否則 「1=cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*sinΛ」 中之等於一不能成立,會得到小於一之結果, 因為 cos(0) = 1 ,所以 必須有 φ-Φ=0 λ-Λ=0 必須有 φ=Φ (變數 φ= 常數Φ) λ=Λ (變數 λ= 常數Λ) 驗證二﹕令地偏角α等於九十度,得到 φ=Φ 及 λ=Λ 這是位於討論城市之一點(半徑為零的小圓)。 驗證二得到合理結果。 95,03,28,21,43此 <a name=9503a032> 驗證三﹕令地偏角α等於討論城市之緯度Λ     及令東偏角Δ為零度,預期得到等緯小圓。 驗證三是「小圓公式01 (錯!)」不能通過的驗證。 驗證三是「B79式(小圓公式11)」可以通過的驗證。 下圖有「令地偏角α等於討論城市之緯度Λ」 同時等緯小圓之東偏角Δ必須為零度。 tc9501ah sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sinα ……… B79式 <a name=9503a033> 上面小圓通式中,令 α=Λ 及令 Δ=0 得到 (95,03,28,10,21草稿工作於此步) (95,03,28,21,49此) sinΛ*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ ] + cosΛ*{-sin0*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) +cos0*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sinΛ <a name=9503a034> [[ sinΛ*cosΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ) +sinλ*sinΛ*sinΛ -sinΛ +cosΛ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] = 0 ]] <a name=9503a035> [[ sinΛ*cosΛ*cosλ*cosφ*cosΦ +sinΛ*cosΛ*cosλ*sinφ*sinΦ +sinλ*sinΛ*sinΛ -sinΛ -sinΛ*cosΛ*cosλ*cosφ*cosΦ -sinΛ*cosΛ*cosλ*sinφ*sinΦ +cosΛ*sinλ*cosΛ = 0 ]] 上式之(故意)右移項相消為零。 <a name=9503a036> [[ [sinΛ*sinΛ]*sinλ -sinΛ +[cosΛ*cosΛ]*sinλ = 0 ]] [[ [sinΛ*sinΛ+cosΛ*cosΛ]*sinλ -sinΛ = 0 ]] <a name=9503a037> sinλ-sinΛ = 0 最後得到 λ = Λ 小寫 λ 是變數, 大寫 Λ 是常數,是討論城市之緯度角 變數 λ 等於討論城市之緯度角,等緯常數。 另外一個變數(經度角 φ)不受限制, 這正是等緯小圓之特徵。 驗證三﹕令地偏角α等於討論城市之緯度     及令東偏角Δ為零度,實際得到等緯小圓。 小圓公式11通過三組驗證,代表小圓公式11可能正確, 因為三組驗證是小圓公式11正確的必要條件,不是充分 條件。 95,03,28,22,08止 <a name="9504a001"> 95,04,09,14,22始 下面的說明與上面的說明有部份重複。下面說明之重點是 有系統的圖解。 下面說明小圓轉動方法。首先看小圓對討論城市(甲城) 及小圓對赤道位置。 tc9501ai.gif 圖 圖中的「零點」是非洲幾內亞灣(Gulf of Guinea) 中的一點,是全世界之經度零點及緯度零點處。 95,04,08,18,28,35 http://www.nvcc.edu/home/driley/thesphere/earthgeometryfacts.htm 由零點開始,沿赤道向東轉,經度逐漸增加。圖示甲城位 於經度等於Φ之處。 由零點開始,沿等經線向北轉,緯度逐漸增加。圖示甲城 位於緯度等於Λ之處。 甲城在地球上之坐標(位置)為經度等於Φ及緯度等於Λ 之處。 指定一個通過甲城的小圓,需要甲城坐標〔Φ,Λ〕,同時 需要知道小圓在甲城的方向,否則有無限多組答案。 小圓在甲城的方向需要兩個角度,一為東偏角,二為地偏 角。 <a name="9504a002"> tc9501aj.gif 圖說明東偏角Δ 東偏角的意思是對正東的偏向角,若指向正東,則東偏角 為零度。定義向北偏之角度為正角,向南偏之角度為負角 。偏角之正負是由右手律決定,由地心指向甲城的坐標軸 穿過地面射向天空,右手作頂好手勢,大拇指指向坐標軸 正向(天空),四指繞轉方向定義為正轉,反之為負轉。 故,若謂東偏角為正二十度,意為由正東向北偏二十度。 東偏角不論正負,都在水平面上。 由甲城一點及乙城另外一點可以決定一個大圓。或者, 由甲城一點及甲城的東偏角可以決定一個大圓。(但是 不能確定小圓) <a name="9504a003"> tc9501ak.gif 圖說明地偏角α 因為拋物體只能走大圓軌跡,不能走小圓,所以小圓參數 比較不常用。地偏角是決定小圓之參數,小圓專用參數。 站在甲城低頭望向地心,這一條視線是圖示之PO線。此線 是地偏角為零之基準線。當小圓面通過地心時,此小圓之 地偏角為零度,同時此小圓變為大圓。地偏角之正負仍然 由右手律決定,拇指指向東偏角之正軸方向,四指轉向為 地偏角之正向,地偏角不論正負都在地面以下轉動。地下 轉動?誰轉的動呢?好問題,所以,地偏角是難以處理的 參數。但是小圓通式需要使用地偏角轉動,因此必須面對 地偏角。在實際應用上最方便的小圓參數是指定三個城市 之坐標,下面將會利用三個城市之坐標求得等值之東偏角 及等值之地偏角。 95,04,09,15,21止 <a name="9504a004"> 95,04,09,17,26始 上面是轉前簡介,下面開始討論轉動。 轉動有兩種,一種是坐標軸不動,討論點轉動;另外一種 是坐標軸轉動,討論點不動。 下面所述之第一轉、第二轉、第三轉、第四轉都是坐標軸 轉動、討論點不動。第五轉是坐標軸不動,討論點轉動。 因為坐標軸與討論點相對運動,所以,兩種轉動之關係為 轉角反向。 轉動不是向量,轉動之先後次序有密切關係,如果轉動次 序錯誤,答案錯誤,正確轉動次序如下﹕ 由x,y,z軸系對 z軸轉 Φ P點經度角至x',y',z' 由x',y',z'對 y'軸轉 Λ P點緯度角至x",y",z" 由x",y",z"對 x"軸轉 Δ P點東偏角至x"',y"',z"' 由x"',y"',z"'對 y"'軸轉α P點地偏角至x"",y"",z"" 完成 由地球基準坐標x,y,z軸系至小圓傾斜坐標x"",y"",z"" 之轉動。還有一點需要事先注意, 此處所論者為由x,y,z軸系轉至x"",y"",z""軸系, 不是另外一種由x"",y"",z""軸系轉至x,y,z軸系。 各有應用。現在談由x,y,z軸系轉至x"",y"",z""軸系 之逐步分解。 <a name="9504a005"> 第一轉 tc9501al.gif 圖 由x,y,z軸系對 z軸轉 Φ P點經度角至x',y',z' 第一轉,繞z 軸轉Φ度,Φ是甲城之經度。轉後x',y',z' 坐標系之零點移至甲城正下方赤道上之D點。第一轉z軸及 z'軸重合。所有轉動都是相對於x y z坐標系.圖示之轉動 為正角轉動,轉軸為z 軸,右手作頂好手勢,拇指指向北 極,四指指向正轉方向,由地球經度零點轉正Φ度至甲城正 下方赤道上之D點。 <a name="9504a006"> 第一步沿z 軸轉經度角Φ [x']  [ cosΦ sinΦ 0] [x] [y'] = [-sinΦ cosΦ 0]*[y]   ………B25式 [z'] [  0   0 1] [z] 雖然全世界的人都使用 x,y,z軸系, 現在甲城的人可以說﹕ 「根據x',y',z'軸系,我們甲城是經度之零點。」 <a name="9504a007"> 下面請看第二轉 tc9501am.gif 圖 由x',y',z'對 y'軸轉 Λ P點緯度角至x",y",z" 第二轉,繞y'軸轉Λ度,Λ是甲城之緯度。轉後x" y" z" 坐標系之零點移至甲城所在之P點,同時甲城是紅線大圓 之最北(南)點。第二轉y'軸及y"軸重合。右手大拇指指 向y'軸,四指曲向與Λ反向,Λ角為負轉。 地球坐標之定義關於緯度坐標有兩種方法, 一是以赤道為零點,向北為正角,向南為負角。   角度範圍由正九十度(北極)至負九十度(南極) 二是以北極為零點,向南角度增加。   角度範圍由零度(北極)至一百八十度(南極) 就導航、氣象而言,採用以赤道為零點, 就數學及其他而言,採用以北極為零點。 本文使用以赤道為零點,由赤道走向北極為正角。第二轉 以y'軸為轉軸,用右手律比較,拇指指向y'軸正向, 四指曲向由北極至赤道, 這與前述由赤道至北極為正角方向剛好相反,解決方法為 在公式中加入負號。 第二轉之轉動公式使用負緯度角,北半球緯度仍然以正角 表示,南半球緯度仍然以負角表示,轉動公式中之負號自 動調節。 <a name="9504a008"> 第一次轉後坐標系統x′y′z′的x′軸沿緯度角做第 二次轉動Λ度。以下述公式表示﹕ [x"]  [cos() 0 -sin()] [x'] [y"] = [   0  1   0  ]*[y'] ……B26式 [z"] [sin() 0  cos()] [z'] 至此甲城的人可以說﹕ 「根據x",y",z"軸系,我們甲城是經度之零點及緯度 之零點。」 現在,討論城市位於圓上最北(南)點,可以得到大圓 特例公式, tan(λ)=tan(Λ_max)*cos(φ-Φ。) <a name="9504a009"> 九十四年七月間第一次看見此文 「使用大圓說明在轉動地球上之運動」 Using great circles to understand motion on a rotating sphere by D. H. McIntyre 九十四年九月二十三日購買此文(美金十八元五角) 94,09,23,15,59,31 https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001 94,09,23,16,03,35 https://commerce.aip.org/jsp/Lookup.jsp?item=AJPIAS000068000012001097000001&ident=null&src=null 94,09,23,16,15,32 按「購買」鈕 https://commerce.aip.org/theamericaninstituteofphysi-66/mck-cgi/directpaycredit.cgi <a name="9504a010"> 閱讀時發覺大圓公式 tan(λ)=tan(Λ_max)*cos(φ-Φ。) 這是自由人大圓工作之起點。這個公式之限制條件為 假設東偏角為零度〔論點必須位於圓上極北、極南點〕 假設大圓不通過南北極〔所以出現tan(),除以cos()〕 以下的轉動,跨出上述限制。 9504091901此 <a name="9504a011"> 下面請看第三轉 tc9501an.gif 圖 由x",y",z"對 x"軸轉 Δ P點東偏角至x"',y"',z"' 第三轉,繞x"軸轉Δ度,Δ是目標小圓在甲城之東偏角。 x"軸是由地心在甲城冒出指向天空的坐標軸。原向東切 線改向偏北或偏南。轉後大圓切線方向與目標小圓切線 方向同向。x"'軸與x"軸重合。 第一轉吻合經度,第二轉吻合緯度,第三轉使得通過甲城 的大圓或小圓可以不必硬性要求指向正東。回頭看第二轉 tc9501am.gif 圖 紅線大圓與傾斜灰線小圓相割、不相切, 紅線大圓與等緯灰線小圓相切、不相割,但是我們需要 紅線大圓與傾斜灰線小圓相切、不相割,如此才可能根據 甲城轉動傾斜紅線大圓至平行於傾斜灰線小圓,為此,需 要轉動傾斜紅線大圓至與傾斜灰線小圓相切於甲城。 問題是轉動多少度?轉軸是那一根線? 轉動多少度?可以由第三轉 tc9501an.gif 圖之 下端插圖找到答案。 <a name="9504a012"> 第二轉之紅線大圓在插圖內指向正東,與等緯小圓相切, 第三轉之紅線大圓在插圖內指向東南,與傾斜小圓相切, 二者角度為通過甲城大圓(或小圓)之東偏角Δ。 所以,第三轉需要轉動Δ度。 轉軸是那一根線?因為由正東轉至東南是在水平面轉動 ,因此轉軸必須在甲城垂直於水平面,唯一的答案是 x",y",z"軸系的x"軸。 是啊,他們剛剛才說過「甲城是經度之零點及緯度之零點 。」唯有x 軸、x'軸、x"軸等才俱雙零點性質。 (y"軸及z"軸離甲城十萬八千里) 轉軸指向天空,右手拇指指向天空,四指繞向正的東偏角 。即東北方向為正值東偏角,因定義之正角方向(東北) 與右手律一致,所以轉動公式不必額外增添負號。 第三轉 tc9501an.gif 圖轉向東南,轉角自身為負值 。 <a name="9504a013"> 95,04,09,21,02始 完成三轉之後得到大圓通式,討論城市可以在大圓極北點 、極南點及在大圓上任何點,大圓通式也可以通過南北極 。 下面請看第四轉 tc9501ao.gif 圖 由x"',y"',z"'對 y"'軸轉α P點地偏角至x"",y"",z"" 第四轉小圓專用。y"',y""重合,繞y""軸轉動地偏角 α,使灰色大圓脫離甲城(轉離),轉至紅色大圓,自 紅色大圓提升仰角=地偏角,圓又返回甲城,這是目標 小圓,每次轉動獲得對基準坐標資料,至此完成轉動。 <a name="9504a014"> 如果我們要找小圓,第三轉之後的大圓在甲城與小圓相切 ,適合於做此特定小圓之基準大圓。 「小圓之基準大圓」是一個與小圓平行的大圓,每個小圓 只有一個基準大圓,請看 tc9501ah.gif 圖 上面兩張圖大圓小圓關係一樣,只要二者平行即可。 我們費了九牛二虎之力,經過一轉、二轉、三轉、四轉, 主要目的就是確定目標小圓之基準大圓。完成四轉之後, 在x"",y"",z""坐標系統內決定小圓是易如反掌之事, 只要指定z""坐標等於地偏角之正弦即可,數學公式為 z""=sin(α) 但是我們使用 z坐標,不用 z""坐標,四轉之辛勞成果 在此開花,引用z""對x,y,z關係,得到小圓通式<a name="9504a015"> z""=sin(α) 的意義是在x"",y"",z""坐標系統內, 每一點的 z"" 坐標值都是 sin(α), α是地偏角,對 一個指定的小圓而言,地偏角是常數,z""=常數 代表 等高,球面一點之緯度是該點對赤道大圓之緯度角,也就 是z""坐標 (tc9501ah.gif 圖之 QR),圓上每一點 的緯度角相等(z""坐標=常數),這就是等緯小圓。 四轉完畢,找到小圓通式,可以說告一段落,不過小圓通 式只轉動小圓上的一點至地面基準坐標,若要找小圓軌跡 ,還需要加一轉,第五轉,讓動點在小圓上走一圈,畫出 一條軌跡。 95,04,09,21,38止 <a name="9504a016"> 95,04,10,10,10始 下面請看第五轉 tc9501ap.gif 圖 異於前三轉,第四轉小圓專用,建立傾斜小圓基準大圓。 異於前四轉,第五轉坐標軸靜止,討論點移動(轉動)。 前面四轉把坐標軸轉至與小圓同等傾斜,討論點(甲城 )沒有轉動。第五轉需要畫小圓軌跡,動點Q由甲城開始 在x""y""z""軸系內沿小圓轉動,於是得到xyz軸系 內的小圓軌跡坐標。在x""y""z""坐標系紅線大圓與目 標小圓平行,畫軌跡十分簡單,Q點是小圓上動點,由 <a name="9504a017"> x""y""z""坐標系統,可以使用下述簡單的公式 x"" = r*cos(λ)*cos(φ)………B13式 y"" = r*cos(λ)*sin(φ)………B14式 z"" = r*sin(λ)       ………B15式 其中 r是球體半徑,本文令球體半徑為一。 <a name="9504a018"> λ是小圓上起點甲城(P點)之緯度角。 (此處λ用於x""y""z""坐標系,不是xyz坐標系) 緯度角λ=地偏角α是小圓平行於赤道之充分必要條件, 四轉之後小圓平行於x""y""z""的赤道,所以在 x""y""z""軸系中,緯度角λ=地偏角α,二者互通。 (請注意﹕x, x', x", x"'軸系都不平行於小圓) φ是小圓轉動角度,是建立軌跡之唯一自變數。 <a name="9504a019"> 只有在x""y""z""坐標系統可以使用上述公式,因為 只有x""y""z""坐標系統之x""y""面與小圓平行。 執行坐標軸一轉、二轉、三轉、四轉之目的為建立與小圓 平行的x""y""坐標面。 建立軌跡的方法是在上述公式中 令變數φ等於一度,算出一度的x""y""z""坐標值, 再轉至xyz坐標系統(大地坐標系統、基準坐標系統) 令變數φ等於二度,算出二度的x""y""z""坐標值, 令變數φ等於三度,算出三度的x""y""z""坐標值, …………… 令變數φ等於某度,算出某度的x""y""z""坐標值, 一一轉換至xyz坐標系統。 <a name="9504a020"> 如何由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統?請看 [x""] = cosα*{cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ} -sinα*{-sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]}     ………B76式 [y""] = {cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]}    ………B77式 [z""] = sinα*{cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ} +cosα*{-sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]}    ………B78式 <a name="9504a021"> 在這三個公式中,x""y""z""是已知,xyz是未知。東偏 角Δ已知,地偏角α已知,起點坐標[Φ,Λ]已知。 如果不能求出傾斜坐標中移動點在大地基準坐標系統的xyz 坐標值,那麼就不能畫出小圓軌跡!如何求上面三個公式的 未知xyz? 請注意,如果x"",y"",z""為未知,其餘已知,上述三 公式十分完美,套入所有已知,直接求得未知。但是!現 在情況反轉,x"",y"",z""為已知,x,y,z為未知, 未知深埋於大堆三角函數中,如何析出明確的x,y,z? 95,04,10,11,38此 在解決「如何析出明確的x,y,z」之前,再看一個相關的 問題。 小圓動點Q點由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統 及 小圓軸與球面交點B點由x""y""z""轉至xyz坐標系統 是相同的問題 <a name="9504a022"> 下面請看 tc9501ar.gif 圖 若能求出小圓軸與球面交點B點的位置以已知數據表示, 那不是更方便嗎?已知數據是起點坐標[Φ,Λ]已知、東偏 角Δ已知、地偏角α已知,B點的位置 x""=0, y""=0, z""=1 已知(圓軸與球面交點是傾斜坐標的「北極」)。 請特別注意,此處是傾斜坐標值x""y""z""已知,但是 大地坐標值 x, y, z 未知。這也涉及 由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統。 <a name="9504a023"> 由xyz坐標系統轉至x""y""z""坐標系統公式為 [w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w]………BB96式 由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統公式為 [w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""]………BB97式 原本是很繁雜的公式,此處以精簡代符表示,容易觀察兩 式之重要差別。 令 [w] 表示縱列向量 [x] [y] [z] 所以,[w] 是基準坐標(大地坐標),    [w] 是正坐標(不是球面坐標 r, φ, λ)。 令 [w""]表示縱列向量 [x""] [y""] [z""] 所以,[w""] 是平行於傾斜小圓之坐標,    [w""] 也是正坐標(不是球面坐標 r"", φ"", λ"")。 <a name="9504a024"> [w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w]………BB96式 簡稱為順轉。 以基準坐標[w]為起點,按照一轉[M1]、二轉[M2]、 三轉[M3]、四轉[M4]之次序轉換至傾斜坐標[w""] 每一次轉動之轉軸及轉角已經在上面敘述過。 下面再看倒回過程。 [w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""]………BB97式 簡稱為逆轉。 以傾斜坐標[w""]為起點,按照四轉[-M4]、三轉[-M3]、 二轉[-M2]、一轉[-M1]之次序轉換至基準坐標[w] 逆轉轉動之先後次序與順轉相反。 逆轉每一次轉動之轉角與順轉相反。 逆轉每一次轉動之轉軸與順轉相同。 [-M1]中之負號代表轉角異號。 <a name="9504a025"> 展開BB97式,得到清晰的 x=f(x"",y"",z"") y=g(x"",y"",z"") z=h(x"",y"",z"") 函數。這個返轉計算過程是電腦程式算出小圓軌跡的方法。 在x"",y"",z""坐標系中使用最簡單的公式計算軌跡, 求得軌跡之後,利用返轉計算找到大地坐標的軌跡位置。 得到返轉計算函數之後,求小圓軸與球面交點B點,只需要 令 [x"",y"",z""] = [0,0,1] 就可以得到答案。 <a name="9504a026"> 95,04,10,12,30此 <a name="hide04"> 請讀者先手動計算,展開 [x] [ cos(-Φ) sin(-Φ) 0] [cos(Λ) 0 -sin(Λ)] [ 1   0   0] [cos(-α) 0 -sin(-α)] [x""] [y]=[-sin(-Φ) cos(-Φ) 0]*[   0  1   0  ]*[ 0 cos(-Δ) sin(-Δ)]*[  0 1   0]*[y""] [z] [  0   0 1] [sin(Λ) 0  cos(Λ)] [ 0 -sin(-Δ) cos(-Δ)] [sin(-α) 0  cos(-α)] [z""] 然後點擊 協助核對自由人之計算
<a name="9504a040"> 95,04,10,17,07始 以上由第五轉開始至此,都是為電腦計算小圓軌跡、計算小 圓圓心的說明。以下討論如何 由三個城市坐標決定小圓(工作類型一 jobType==1) 由兩個城市坐標及第一城市東偏角決定小圓(工作類型二 jobType==2) 由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓(工作類型三 jobType==3) 由一個城市坐標及其東偏角地偏角決定小圓(工作類型四 jobType==4) 前三者都要轉換至第四者,唯有工作類型四可以直接代入 小圓通式。 (jobType 是電腦程式中使用的變數  中文程式﹕http://freeman2.com/jscirclc.htm  英文程式﹕http://freeman2.com/jscircle.htm<a name="9504a041"> 請再看小圓通式 z"" = sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*sinΛ ] + cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ +cosλ*sinφ*cosΦ ) +cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ +cosλ*sinφ*sinΦ ) +sinλ*cosΛ ] } = sinα ………B79式 (小圓公式11) <a name="9504a042"> 小圓通式變數說明﹕ Φ是討論點P位置之經度角,常數, Λ是討論點P位置之緯度角,常數。 φ是小圓上任意點之經度角,變數, λ是小圓上任意點之緯度角,變數。 Δ稱為東偏角 -90°<Δ<90° 決定大、小圓方向。 α稱為地偏角 -90°<α<90° 決定是大圓或小圓,   α=0時是大圓。 變動Δ及α指定不同的大圓或小圓,Δ及α類似變數, Δ及α確定之後,如同常數,描述指定的大圓或小圓。 <a name="9504a043"> 東偏角Δ不容易量度,希望不要用東偏角決定小圓, 地偏角α不可能量度,希望不要用地偏角決定小圓, 三個城市坐標容易決定,所以下面的工作是﹕ 已知三城市坐標,求東偏角Δ,求地偏角α。 <a name="9504a044"> 首先計算東偏角Δ,容易的一種。(麻煩的一種二選一) 小圓通式有地偏角α,第一步考慮如何消除地偏角α,只留 東偏角Δ及三城坐標。 小圓通式有 sinα*[某子項] + cosα*{某丑項} = sinα ………B79式 (小圓公式11) 可以改寫為 sinα*[某子項-1] + cosα*{某丑項} =0 <a name="9504a045"> 又可以改寫為 sinα*[某子項-1] = -cosα*{某丑項} 假設cosα不等於零、α不等於九十度、不要走近南北極, 又可以改寫為 sinα/cosα = -{某丑項}/[某子項-1] 又可以改寫為 tan(α) = -{某丑項}/[某子項-1] <a name="9504a046"> 所以, 令甲城坐標為 Φ1 Λ1 令乙城坐標為 Φ2 Λ2 tanα = -B/A 令甲城坐標為 Φ1 Λ1 令丙城坐標為 Φ3 Λ3 tanα = -D/C 因為乙城不是丙城,所以 B 不等於 D 及 A 不等於 C 因為甲乙丙三城在同一個小圓上,甲城只有一個地偏角α -D/C = tanα = -B/A 由此消除地偏角α,剩下的關係式 -D/C = -B/A 有三個城市坐標,也有甲城的東偏角Δ,請注意﹕東偏角Δ 是唯一的未知!(假設三個城市坐標皆已知),由 -D/C = -B/A 可以求得東偏角Δ。 以上是簡述過程,所有數學公式都以最簡單的 A,B,C,D 代表。瞭解思路之後,下面是實際求解東偏角Δ 95,04,10,17,44此 下面直接套用以前工作記錄,所以有十天以前的時間標記。 <a name="9504a047"> 95,03,30,08,23 令 甲城坐標為 Φ1 Λ1 乙城坐標為 Φ2 Λ2,取代自變數 φ,λ 小圓通式變為 sinα*[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] + cosα*{-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] } = 0 <a name="9504a048"> 移項產生地偏角α之正切 tanα*[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] = - {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] } <a name="9504a049"> 移項使地偏角α之正切孤居左側。 tanα = - {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] } / [cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] ………B84式 <a name="9504a050"> 上面公式含甲城坐標 Φ1 Λ1 及乙城坐標 Φ2 Λ2(上下差別) 下面公式含甲城坐標 Φ1 Λ1 及丙城坐標 Φ3 Λ3(上下差別) 同理,令 甲城坐標為 Φ1 Λ1 丙城坐標為 Φ3 Λ3,取代自變數 φ,λ 小圓通式變為 tanα = - {-sinΔ*(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1 ) +sinΛ3*cosΛ1 ] } / [cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1) +sinΛ3*sinΛ1 -1 ] ………B85式 95,03,30,08,30 此 95,04,10,17,57 此 <a name="9504a051"> 因為兩個公式都等於 tanα ,所以可以在拋棄 tanα 之後,令上面兩個公式直接相等。得到 - {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] } / [cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] = - {-sinΔ*(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1 ) +sinΛ3*cosΛ1 ] } / [cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1) +sinΛ3*sinΛ1 -1 ] ………B86式 Δ 是討論城市 (Φ1、Λ1) 之東偏角Δ, 所以全式對討論城市 (Φ1、Λ1) 優惠。 B86式 沒有通式必備之自變數(φ、λ) 自變數(φ、λ)都已經代入乙城或丙城經緯坐標。 95,03,30,08,36 此 <a name="9504a052"> B86式中,東偏角Δ是甲乙丙三城定位之後唯一的未知數, 可以由B86式求討論城市 (Φ1、Λ1) 之東偏角Δ 95,03,30,08,39 止 95,03,30,09,26 始 整理公式, {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] } * [cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1 ) +sinΛ3*sinΛ1 -1 ] = {-sinΔ*(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1 ) + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1 ) +sinΛ3*cosΛ1 ] } * [cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] ………B87式 <a name="9504a053"> 95,03,30,09,39 此 簡化上式如下 {-sinΔ*A2 +cosΔ*B2 } *C2 = {-sinΔ*A3 +cosΔ*B3 } *C3 ………簡化B87式 <a name="9504a054"> 其中 A2,B2,C2; A3,B3,C3 是小段公式之代符, B87式突出東偏角Δ,不納入代符,因為要求解東偏角Δ。 95,04,10,18,06此 定義 A2 = (-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) ………B88式 定義 B2 = [-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] ………B89式 定義 C2 = [cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1 ) +sinΛ3*sinΛ1 -1 ] ………B90式 <a name="9504a055"> 定義 A3 = (-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1 ) ………B91式 定義 B3 = [-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1 +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1 ) +sinΛ3*cosΛ1 ] ………B92式 定義 C3 = [cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] ………B93式 <a name="9504a056"> 95,03,30,09,41 此 B87式簡化如下 -sinΔ*A2*C2 +cosΔ*B2*C2 = -sinΔ*A3*C3 +cosΔ*B3*C3 改寫為 sinΔ*[A2*C2-A3*C3] = cosΔ*[B2*C2-B3*C3] <a name="9504a057"> 再改寫為 tanΔ=[B2*C2-B3*C3]/[A2*C2-A3*C3] 最後得到甲城東偏角Δ Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)] ………B94式 <a name="hide05"> 比較長,需要有耐心。
<a name="9504a069"> 上面以一個特例核對B94式, Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)] ………B94式 結果合理。 特例合理是公式正確的必要條件,萬一有他例得到不合理 的結果,公式仍然錯誤,所以根據一個特例合理,只能結論 95,03,30,11,03 B94式可能正確。 以上求甲城東偏角Δ。 <a name="9504a070"> 95,03,30,13,23 以下求甲城地偏角α,已知三城經緯坐標。 甲城坐標為 Φ1 Λ1 乙城坐標為 Φ2 Λ2,取代自變數 φ,λ 小圓通式變為 sinα*[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*sinΛ1 ] + cosα*{-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) +cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] } = sinα ………B80式 <a name="9504a071"> 以 A2,B2,C3及東偏角Δ(此處已知東偏角Δ)精簡表示 B80式如下, sinα*[C3+1] + cosα*{-sinΔ*A2 +cosΔ*B2 } = sinα 此式突出地偏角α,因為要求解地偏角α。 左右同時刪除 sinα ,簡化如下。 sinα*[C3] + cosα*{-sinΔ*A2 +cosΔ*B2 } = 0 <a name="9504a072"> 繼續簡化。 sinα*[C3]=cosα*{+sinΔ*A2-cosΔ*B2} 假設不地偏至九十度(假設小圓不退化至一點), 全式除以 cosα 得到 tanα={+sinΔ*A2-cosΔ*B2}/[C3] 小圓地偏角 α 為(必須已知東偏角Δ) α= arctan{[sinΔ*A2-cosΔ*B2]/C3} ………B95式 95,03,30,13,36 <a name="hide06"> 令甲城之地偏角α為零會得到大圓嗎?
<a name="9504a079"> 特例核對合理,所以地偏角 α= arctan[(sinΔ*A2-cosΔ*B2)/C3] ………B95式 可能正確。 95,03,30,13,52 同時 東偏角的公式為 Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)] ………B94式 <a name="9504a080"> 95,03,30,13,55 現在三個城市決定小圓公式完全解決 A2 ………B88式 B2 ………B89式 C2 ………B90式 A3 ………B91式 B3 ………B92式 C3 ………B93式 Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)]………B94式 α= arctan[(sinΔ*A2-cosΔ*B2)/C3] ………B95式 小圓公式11 B79式 95,04,10,20,41 此 <a name="9504a081"> 以下求甲城東偏角Δ,已知二城經緯坐標,已知甲城地偏 角α,這是麻煩的一種,二選一。(容易的一種唯一值) 輸入資料四類型 由三個城市坐標決定小圓(工作類型一 jobType==1) 由兩個城市坐標及第一城市東偏角決定小圓(工作類型二 jobType==2) 由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓(工作類型三 jobType==3) 由一個城市坐標及其東偏角地偏角決定小圓(工作類型四 jobType==4) 其中 由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓(工作類型三 jobType==3) 尚未解決,因為,此類輸入資料,缺少第三個城市,不能由 三個城市的坐標建立第一城市東偏角。必須由兩個城市及 第一城市之地偏角α決定第一城市東偏角Δ。 95,04,10,20,53此 95,04,01,11,48此 <a name="9504a082"> 前面定義 A2 B2 C3 如下,(重錄於此) 定義 A2 = (-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1 ) ………B88式 定義 B2 = [-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1 ) +sinΛ2*cosΛ1 ] ………B89式 定義 C3 = [cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1 +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1) +sinΛ2*sinΛ1 -1 ] ………B93式 <a name="9504a083"> 定義A2,B2,C3只含甲城、乙城坐標,不含丙城坐標。 甲城地偏角α已知,下面公式唯一未知是甲城東偏角Δ。 以下是解決步驟 α = arctan((sin(Δ)*A2 -cos(Δ)*B2)/C3 ) ......B95式 消除反正切函數 tan(α) = (sin(Δ)*A2 -cos(Δ)*B2)/C3 C3*tan(α) = sin(Δ)*A2 -cos(Δ)*B2 α 已知; Δ 未知 95,04,01,11,57 此 <a name="9504a084"> C3*tan(α)+cos(Δ)*B2 = sin(Δ)*A2 此式唯一未知Δ 陷身於正弦、餘弦函數中,因為左手側兩項 相加,不能除以cos(Δ)。解決方法是全式平方,利用 cos(Δ)*cos(Δ)+sin(Δ)*sin(Δ)=1 消除一個三角函數。平方結果如下﹕ C3*C3*tan(α)*tan(α) 2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2 +B2*B2*cos(Δ)*cos(Δ) = A2*A2*sin(Δ)*sin(Δ) <a name="9504a085"> 利用 cos(Δ)*cos(Δ)+sin(Δ)*sin(Δ)=1 消除 sin(Δ) 得到 C3*C3*tan(α)*tan(α) 2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2 +B2*B2*cos(Δ)*cos(Δ) = A2*A2*(1-cos(Δ)*cos(Δ)) <a name="9504a086"> 唯一未知是 cos(Δ),展開得到 C3*C3*tan(α)*tan(α) 2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2 +B2*B2*cos(Δ)*cos(Δ) = A2*A2-A2*A2*cos(Δ)*cos(Δ) 移項得到 C3*C3*tan(α)*tan(α)-A2*A2 2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2 +(B2*B2+A2*A2)*cos(Δ)*cos(Δ) = 0 <a name="9504a087"> 令未知 cos(Δ) 為 X 令已知 tan(α) 為 M 全式改寫為 C3*C3*M*M-A2*A2 2*C3*M*B2*X +(B2*B2+A2*A2)*X*X = 0 <a name="9504a088"> 這是X 的二次方公式,兩個解答為 X1=(-2*C3*M*B2 +sqrt(2*C3*M*B2*2*C3*M*B2 -4*(B2*B2+A2*A2)*(C3*C3*M*M-A2*A2) ) )/2/(B2*B2+A2*A2) 及 X2=(-2*C3*M*B2 -sqrt(2*C3*M*B2*2*C3*M*B2 -4*(B2*B2+A2*A2)*(C3*C3*M*M-A2*A2) ) )/2/(B2*B2+A2*A2) 95,04,01,12,29 找到兩個答案 X1 及 X2 <a name="9504a089"> 前面令未知 cos(Δ) 為 X,找到X 之後, 東偏角 Δ1 = arccos(X1) 或者 東偏角 Δ2 = arccos(X2) 那一個正確? 為了做正確取捨,回頭看 α= arctan[(sinΔ*A2-cosΔ*B2)/C3] ………B95式 其中地偏角α 已知, 東偏角 Δ1 代入B95式得 α1 東偏角 Δ2 代入B95式得 α2 α1及α2中,只有一者吻合已知的地偏角α ,選擇吻合的 Δ1 或 Δ2,得到合理解答。 至此,輸入資料四類型之處理方法全部解決。 95,04,10,21,22止 <a name="9504a090"> 95,04,11,08,03始 輸入資料四類型 由三個城市坐標決定小圓(工作類型一 jobType==1) 由兩個城市坐標及第一城市東偏角決定小圓(工作類型二 jobType==2) 由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓(工作類型三 jobType==3) 由一個城市坐標及其東偏角地偏角決定小圓(工作類型四 jobType==4) 其中「工作類型四」之輸入資料直接套入小圓通式,無需 轉換。其餘三者都要轉換。 工作類型三可能會造成無效輸入資料,因為工作類型三 由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓(jobType==3) 當地偏角為零度時,「小圓」變大圓,含蓋全球,不會產 生問題。 當地偏角為九十度時,「小圓」變為一點,會產生嚴重問 題。如果使用由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓 ,同時, 如果指定的兩個城市距離遙遠,及 如果指定的地偏角接近九十度,得到矛盾輸入資料,無解。 地偏角幾乎不可能量度,所以,實際應用時只有 工作類型一﹕由三個城市坐標決定小圓 是可行之方法。為求程式完備才添加工作類型二、三、四 。 <a name="9504a091"> 大圓、小圓電腦程式網址為 中文 http://freeman2.com/jscirclc.htm 英文 http://freeman2.com/jscircle.htm 英文版已經接近完成,中文版尚未開始。上載本自修卷 http://freeman2.com/tutc0002.htm 之後,開始整理電腦程式英文版,上載英文版之後,再開 始寫中文版。 95,04,11,08,24止 <a name="9504a092"> 95,04,18,17,27始 自由人要求讀者協助核對計算公式 由大地坐標轉至四轉後坐標 順轉[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w] ………BB96式 及由四轉後坐標轉至大地坐標 逆轉[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""] …BB97式 在 95,04,18,11,00 注意到 上面兩個公式互為逆轉,所以兩個轉動矩陣 [M4]*[M3]*[M2]*[M1] 及 [-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4] 互為調矩陣,也就是一者之行與列對調,就是第二者。 95,04,18,11,54 計算確定為真。 <a name="9504a093"> 現在簡述如下﹕ 順轉[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w] ………BB96式 把同類項集中在一起,展開如下﹕ [x""] = x*cosα*cosΛ*cosΦ -x*sinα*sinΔ*sinΦ +x*sinα*cosΔ*sinΛ*cosΦ +y*cosα*cosΛ*sinΦ +y*sinα*sinΔ*cosΦ +y*sinα*cosΔ*sinΛ*sinΦ +z*cosα*sinΛ -z*sinα*cosΔ*cosΛ     ………B76驗式 <a name="9504a094"> [y""] = -x*cosΔ*sinΦ -x*sinΛ*sinΔ*cosΦ +y*cosΔ*cosΦ -y*sinΛ*sinΔ*sinΦ +z*sinΔ*cosΛ    ………B77驗式 [z""] = x*sinα*cosΛ*cosΦ +x*cosα*sinΔ*sinΦ -x*sinΛ*cosα*cosΔ*cosΦ +y*sinα*cosΛ*sinΦ -y*cosα*sinΔ*cosΦ -y*sinΛ*cosα*cosΔ*sinΦ +z*sinα*sinΛ +z*cosα*cosΔ*cosΛ    ………B78驗式 <a name="9504a095"> 再回過頭來看 逆轉[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""] …BB97式 把 x""、y""、z""放在左端,展開如下﹕ [x]= ………C01驗式 x""*cos(Φ)*cos(Λ)*cosα +x""*cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα -x""*sin(Φ)*sinΔ*sinα -y""*cos(Φ)*sin(Λ)*sinΔ -y""*sin(Φ)*cosΔ +z""*cos(Φ)*cos(Λ)*sinα -z""*cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα +z""*sin(Φ)*sinΔ*cosα <a name="9504a096"> [y]= ………C02驗式 x""*sin(Φ)*cos(Λ)*cosα +x""*sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα +x""*cos(Φ)*sinΔ*sinα -y""*sin(Φ)*sin(Λ)*sinΔ +y""*cos(Φ)*cosΔ +z""*sin(Φ)*cos(Λ)*sinα -z""*sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα -z""*cos(Φ)*sinΔ*cosα [z]= ………C03驗式 x""*sin(Λ)*cosα -x""*cos(Λ)*cosΔ*sinα +y""*cos(Λ)*sinΔ +z""*sin(Λ)*sinα +z""*cos(Λ)*cosΔ*cosα <a name="9504a097"> B76驗式、B77驗式、B78驗式三式 由 x,y,z 至 x"",y"",z"" C01驗式、C02驗式、C03驗式三式 由 x"",y"",z"" 至 x,y,z x"" 關連 x 之係數為 [x""] = x*cosα*cosΛ*cosΦ -x*sinα*sinΔ*sinΦ +x*sinα*cosΔ*sinΛ*cosΦ + ..... ……B76驗式 x"" 關連 x 之係數又為 [x]= x""*cos(Φ)*cos(Λ)*cosα +x""*cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα -x""*sin(Φ)*sinΔ*sinα + ..... ………C01驗式 令 Mxx = cos(Φ)*cos(Λ)*cosα +cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα -sin(Φ)*sinΔ*sinα x"" 關連 x 之係數在兩組公式堛滬(用代符 Mxx )相同。 B76驗式為 [x""] = Mxx*[x]+..... C01驗式為 [x] = Mxx*[x""]+..... 這是互為對調矩陣之必然關係。 <a name="9504a098"> 再看第二組,y 關連 z"" 之係數為 [z""] = ..... +y*sinα*cosΛ*sinΦ -y*cosα*sinΔ*cosΦ -y*sinΛ*cosα*cosΔ*sinΦ +.....    ………B78驗式 及 [y]= ………C02驗式 .....+ +z""*sin(Φ)*cos(Λ)*sinα -z""*sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα -z""*cos(Φ)*sinΔ*cosα 令 Myz = sin(Φ)*cos(Λ)*sinα -sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα -cos(Φ)*sinΔ*cosα y 關連 z"" 之係數在兩組公式堛滬(用代符 Myz )相同。 B78驗式為 [z""] = Myz*[y]+..... C02驗式為 [y] = Myz*[z""]+..... 在不同的轉動矩陣堙Ay 關連 z"" 之係數相同!! 這是互為對調矩陣之必然關係。 <a name="9504a099"> 再看第三組,y"" 關連 z 之係數為 [y""] = ..... +z*sinΔ*cosΛ    ………B77驗式 [z]= ………C03驗式 ..... +y""*cos(Λ)*sinΔ +..... 在不同的轉動矩陣堙Ay"" 關連 z 之係數 sinΔ*cosΛ 相同!! 這是互為對調矩陣之必然關係。 總共九組,如此逐一檢查,確定 順轉[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w] ………BB96式 及 逆轉[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""] …BB97式 兩個公式之轉動矩陣互為調矩陣。 這是轉動矩陣必須具有的性質,根據此性質,其他的轉動公式 ,在求逆轉時 因變數、自變數對換, 轉動矩陣改為調矩陣就完成了。 95,04,18,18,30止 95,04,18,18,36始 95,04,17,21,05第一次上載本卷入網,自己下載存卷 發覺有兩張圖片不能存卷,因為這兩張只在 http://freeman2.com/slide002.htm 使用,這兩張圖片必須在本卷 http://freeman2.com/tutc0002.htm 露面!下面是廬山真面目。 95,04,18,18,42止 <a name="9505a001"> 95,05,06,11,20始 本卷所論之地球坐標都由經緯度零點開始,經緯度零點在 那堙H請看下面地圖。 圖源﹕ISBN 0-8135-2363-x 第二十四頁。 紅點在非洲西岸幾內亞灣 Gulf of Guinea <a name="9505a002"> 上面有小圓通式之變貌公式。 下面討論小圓通式之常貌公式。 變貌公式與常貌公式都是描述小圓的公式, 變貌公式之建構基於圓上起點城市,圓上任何一點都可以 作為起點城市,故一個圓的變貌公式有無限多種表示法。 常貌公式之建構基於圓心所在位置,一個圓只有一個圓心 ,故一個圓的常貌公式有一種表示法。 95,05,06,11,33此 <a name="9505a003"> 請看下圖 [xb,yb,zb] 是由地心通過小圓圓心的直線在地面之 坐標。此直線不通過小圓,這是上圖的 OB 直線。 [xq,yq,zq] 是由地心通過小圓圓上一點的直線在地 面之坐標。此直線不通過圓心,這是上圖的 OQ 直線。 OQ 直線沒有畫出來,有畫 OP 直線 P,Q都是圓上 的一點。 <a name="9505a004"> 向量 [xb,yb,zb] 與向量 [xq,yq,zq] 之點積 為 [xb,yb,zb] • [xq,yq,zq] = sin(alpha) ... C07式 sin(alpha) 是上圖的 OA 直線, OA 直線是小圓圓心A 到地心O 之距離。 C07式是小圓通式之常貌公式,因為圓心在地面位置 [xb,yb,zb]不因起點位置而改變。 <a name="9505a005"> 上面討論小圓圓心軸在地面之位置(B點)如下 [xb]= ………C04式 +cos(Φ)*cos(Λ)*sinα -cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα +sin(Φ)*sinΔ*cosα [yb]= ………C05式 +sin(Φ)*cos(Λ)*sinα -sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα -cos(Φ)*sinΔ*cosα [zb]= ………C06式 +sin(Λ)*sinα +cos(Λ)*cosΔ*cosα <a name="9505a006"> C07式中 [xq,yq,zq] 是變數,描述任何在圓上的點。 xq =cos(λ)*cos(φ)………B13式 yq =cos(λ)*sin(φ)………B14式 zq =sin(λ)       ………B15式 (已經令 r 等於一) <a name="9505a007"> 當討論球面問題時,都使用經緯度坐標,沒有人使用 xyz 坐標,現在把 C04式、C05式、C06式 及 B13式、B14式、B15式 代入 C07式,得到下述 公式 [+cos(Φ)*cos(Λ)*sinα -cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα +sin(Φ)*sinΔ*cosα] * cos(λ)*cos(φ) + [ sin(Φ)*cos(Λ)*sinα -sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα -cos(Φ)*sinΔ*cosα] *cos(λ)*sin(φ) + [ sin(Λ)*sinα +cos(Λ)*cosΔ*cosα] *sin(λ) =sin(alpha) ....... C08式 <a name="9505a008"> C08式是小圓通式之常貌公式(細目內容) 其中 [φ,λ] (小寫)是圓上任意點坐標 [Φ,Λ] (大寫)是圓上起點城市坐標 Δ 是小圓在起點城市之東偏角 α 是小圓在起點城市之地偏角 <a name="950725a1"> 小圓常貌公式 特別注意 95,07,25,06,39 加入始 使用明確敘述性質的變數名稱, phi1Lon 起點城市經度值 lam1Lat 起點城市緯度值 angEarth 小圓在起點城市之地偏角(偏離地心的角度) eastRad 小圓在起點城市之東偏角(偏離正東的角度) 第二城市、第三城市之經緯度決定第一城市之 地偏角及東偏角,所以小圓可以通過三個城市。 Var0Lon 圓上任意點經度值 Var0Lat 圓上任意點緯度值 「圓上任意點」包括三個城市,因為三個城市都在圓上。 <a name="950725a2"> 小圓常貌公式表達法如下 [ +cos(phi1Lon)*cos(lam1Lat)*sin(angEarth) -cos(phi1Lon)*sin(lam1Lat)*cos(eastRad)*cos(angEarth) +sin(phi1Lon)*sin(eastRad)*cos(angEarth) ] *cos(Var0Lon)*cos(Var0Lat) + [ +sin(phi1Lon)*cos(lam1Lat)*sin(angEarth) -sin(phi1Lon)*sin(lam1Lat)*cos(eastRad)*cos(angEarth) -cos(phi1Lon)*sin(eastRad)*cos(angEarth) ] *sin(Var0Lon)*cos(Var0Lat) + [ +sin(lam1Lat)*sin(angEarth) +cos(lam1Lat)*cos(eastRad)*cos(angEarth) ] *sin(Var0Lat) - [sin(angEarth)] = 0 ....... C08B式 <a name="950725a3"> 對於一個已經由三點確定的小圓而言, 方括號內的值都是常數,只有 Var0Lon 及 Var0Lat 二者是變數。 95,07,25,07,09加入止 <a name="950725a4"> 95,07,25,16,24 當您套用 C08B式C08式時,請特別注意﹕ 直接套用公式,只能保證小圓通過起點城市, 不會通過第二城市!不會通過第三城市! 唯有使用由三城坐標求東偏角 唯有使用由三城坐標求地偏角 這兩道手續之後的東偏角及地偏角,代入 C08B式或C08式才能得到通過三點的小圓公式。 95,07,25,16,31 <a name="9505a009"> 至此,讀者可能會問﹕ 公式仍然使用起點城市坐標、     使用起點城市東偏角、     使用起點城市地偏角 小圓公式與起點城市密切相關,起點城市改變公式改變, 怎能說是「常貌」公式? <a name="9505a010"> 請回頭看C04式、C05式、C06式,這三個公式是 由起點城市坐標、起點城市東偏角、起點城市地偏角決定 小圓圓心軸在地面之位置,因為小圓軸不變,所以 C04式、C05式、C06式是三個不變量, 任何起點城市參數代入C04式、C05式、C06式都 得到小圓圓心軸在地面之坐標,所以 C08式 是小圓通式之常貌公式! 95,05,06,12,25此 <a name="9505a011"> 還有一點請讀者注意﹕ 起點城市參數有 [Φ,Λ] (大寫)是圓上起點城市坐標 Δ 是小圓在起點城市之東偏角 α 是小圓在起點城市之地偏角 在圓上任意取一個不同點為起點城市,則 起點城市坐標[Φ,Λ]改變 起點城市東偏角Δ 改變 但是 起點城市地偏角α 不變!! 因為cos(α)是小圓半徑,只要小圓半徑不變,地偏角α 不變。 小圓常貌公式中令地偏角α 為零得到大圓常貌公式, 大圓常貌公式已經在電腦程式 http://freeman2.com/jscircle.htm 核對,無誤。 95,05,06,12,37止 <a name="9506a001"> 95,06,18,08,21始 請參考小圓公式軌跡計算卷 http://freeman2.com/jscircl1.htm 在第一城市輸入方格及第二城市輸入方格之間有東偏角 之輸入方格,旁白文字如下 [[ [    ] 小圓在第一城市東偏角,用角度,不用弧度。        零度為正東;正角為東北向;負角為東南向。 [臨界東偏角] [+/-] 城市1,2 對小圓圓心相距180°,看 夾角值 ]] 現在討論如何求得「臨界東偏角」。 95,06,18,08,29開始做圖 <a name="9506a002"> 9506a1 圖 95,06,18,11,12始 請看 9506a1 圖,甲城及乙城為指定點。通過甲乙兩城 有無限多個小圓,但是只有一個最小小圓,其特徵為甲城 、圓心、乙城三點共線。確定一個小圓需要三個已知條件 ,現在已知甲城及乙城經緯度坐標,仍然缺少一個條件。 第三個條件必須是小圓在甲城之東偏角,或者指定第三城 市坐標。小圓公式軌跡計算卷選擇計算臨界東偏角。 臨界東偏角的「臨界」表示邊界值,東偏角再偏遠一點, 甲乙兩城之間就返回至甲城、圓心、乙城三點不共線的小 圓。(比最小小圓大的小圓) <a name="9506a003"> 9506a1 圖所示為甲城、圓心、乙城三點共線,及在甲 城切於最小小圓之向量(藍色箭頭) 藍色箭頭之絕對位置比較容易求得。因為甲城坐標已知 ,所以,地心至甲城之向量可以計算。 (藍色箭頭相對於甲城正東之方向比較困難求得) 求臨界東偏角之指令如下 向量 (v1x, v1y, v1z) 為甲城之絕對坐標。 也就是 9506a1 圖中由地心至甲城直線 O甲 //9505121525 var v1x=c1x; var v1y=c1y; var v1z=c1z; <a name="9506a004"> 向量 (v2x, v2y, v2z) 為乙城對甲城之絕對坐標。 也是圖中由甲城至乙城直線 甲心乙(三點共線) var v2x=c2x-c1x; var v2y=c2y-c1y; var v2z=c2z-c1z 9506a1 圖 向量 (v3x, v3y, v3z) 為在甲城垂直於前面兩個向量 之絕對坐標。也是圖中之藍色向量。此處使用兩個向量之 叉積,結果為垂直於前二者之第三向量。 var v3x=c1y*(c2z-c1z)-c1z*(c2y-c1y); var v3y=c1z*(c2x-c1x)-c1x*(c2z-c1z); var v3z=c1x*(c2y-c1y)-c1y*(c2x-c1x); <a name="9506a005"> 求藍色向量之長度,然後調整藍色向量長度至一。只要方 向因素,不要大小因素。(下面四行指令可以略除) var v3l=Math.sqrt(v3x*v3x+v3y*v3y+v3z*v3z); v3x=v3x/v3l; v3y=v3y/v3l; v3z=v3z/v3l; 至此藍色向量分量值是相對於大地坐標、絕對坐標,但是 我們需要藍色向量分量值相對於甲城之正東方向。需要調 整、需要轉動,先把藍色向量分量值存入一個代表向量的 數列變數。 PtRDXYZ[0]=v3x; // 把向量3 坐標存入數列變數 PtRDXYZ[1]=v3y; // 準備做坐標轉換。 PtRDXYZ[2]=v3z; <a name="9506a006"> // // 向量3 不動,地球坐標轉動,將經緯度零點轉至 // 第一城市正南(或正北)赤道上。 PtRDXYZ=rotateRad(PtRDXYZ,+phi1Lon,3); 上面指令把坐標零點(非洲西岸幾內亞灣 Gulf of Guinea) 轉至丙點 9506a1 圖 // // 向量3 不動,地球坐標轉動,將經緯度零點轉至 // 第一城市所在位置。 PtRDXYZ=rotateRad(PtRDXYZ,-lam1Lat,2); 上面指令把坐標零點由丙點轉至甲城。請注意﹕ 只有坐標系統轉動,藍色向量不轉。 雖然向量不轉,對不同的坐標系統,藍色向量有不同的分 量。 <a name="9506a007"> 轉後坐標系統在甲城指向正東(圖中甲城之黑色箭頭), 正是需要的基準方向。至此數列變數 PtRDXYZ 存的 藍色向量之三個分量是相對於兩轉之後的坐標系統 (不是相對於大地坐標),也就是 藍色向量之三個分量是相對於甲城之正東方向, // // 向量3 不動,在轉後坐標系統有下面數值 // (v6x 應該為 0) v6x=PtRDXYZ[0]; v6y=PtRDXYZ[1]; v6z=PtRDXYZ[2]; // 9505122107 上述指令取出藍色向量之三個分量。 <a name="9506a008"> 兩次轉動之後,x 軸由地心在甲城冒出指向天空。 甲城之東偏角在甲城水平面上,所以向天分量 v6x 應該為零。水平分量 v6y 及 v6z非零。 下述指令求出正確臨界東偏角 // 甲點最小小圓之東偏角(答案) crEastRad=Math.atan(v6z/v6y); //9505122108 若臨界東偏角為正確,必須有圓心至甲乙兩城之夾角為 一百八十度的結果。 (或微小誤差 +179° 59' 58" 算是正確) 否則計算錯誤!! (不是使用者錯誤輸入,而是編程者使用錯誤指令) 這婼耵漱ㄛO臨界東偏角為一百八十度, 這婼耵漪O圓心至甲乙兩城之夾角為一百八十度。 <a name="9506a009"> 9506a1 圖 圖中之甲城黑色正東向量沒有直接應用於計算,只是便 利說明而已。 現在注意到「調整藍色向量長度至一」的指令是不必要 的指令,因為 crEastRad=Math.atan(v6z/v6y); v6z/v6y 相除之後,向量大小實為無關。 95,06,18,12,47止 <a name="9506a010"> 95,06,18,13,04始 [[ [臨界東偏角] [+/-] 城市1,2 對小圓圓心相距180°, ]] 上面 [+/-] 表示臨界東偏角反向, +30° 減 180° 變為 -150° -30° 加 180° 變為 +150° 是減 180° 或是加 180° ? 由原有臨界東偏角決定, <a name="9506a011"> 若原有臨界東偏角為正30°,減 180° 得到 -150° 若原有臨界東偏角為負30°,加 180° 得到 +150° 調頭之後的角度必須在負 180° 至正 180° 之間。 95,06,18,13,10止 <a name="9506a012"> 95,06,18,15,24 為什麼在甲城之臨界東偏角是 crEastRad=Math.atan(v6z/v6y); 為什麼不是 crEastRad=Math.atan(v6y/v6z); 為什麼不是 crEastRad=Math.atan(v6x/v6z); ? 兩次轉動之後,新坐標系統 x軸通過甲城,指向天空。 y軸在甲城,指向正東, z軸在甲城,指向正北。 我們要求東偏角是指在水平面內轉動, x軸分量為零,不必考慮。 正東構成水平坐標軸。 正北構成縱向坐標軸。 東偏角的正切是正北分量v6z 除以正東分量v6y 所以,在甲城之臨界東偏角取反正切之後為 crEastRad=Math.atan(v6z/v6y); 95,06,18,15,36 <a name="950711a"> 95,07,11,06,51始 [[ 向量 (v1x, v1y, v1z) 為甲城之絕對坐標。 也就是 9506a1 圖中由地心至甲城直線 O甲 //9505121525 var v1x=c1x; var v1y=c1y; var v1z=c1z; 向量 (v2x, v2y, v2z) 為乙城對甲城之絕對坐標。 也是圖中由甲城至乙城直線 甲心乙(三點共線) var v2x=c2x-c1x; var v2y=c2y-c1y; var v2z=c2z-c1z 向量 (v3x, v3y, v3z) 為在甲城垂直於前面兩個向量 之絕對坐標。也是圖中之藍色向量。此處使用兩個向量之 叉積,結果為垂直於前二者之第三向量。 ]] <a name="950711b"> 問題是為何要求「垂直於前二者之第三向量」? 在執筆時,有的問題以為是太簡單、基本常識,所以略除 不談。但是,網路上讀者群範圍很廣,有的讀者仍然需要 提示。 「前二者」是指 向量 (v1x, v1y, v1z),由地心至甲城直線 O甲。 及 向量 (v2x, v2y, v2z),由甲城至乙城直線。 「垂直於前二者之第三向量」是指甲城之東偏角方向。 <a name="950711c"> 甲城之東偏角在甲城偏離正東,東偏角只有在甲城的水平 面上轉動才有意義。因為上偏或下偏,把通過甲城之小圓 傾斜拋至天空或傾斜埋入地下,這就不是球面問題,也是 不切實際的情況。本此,東偏角必須在甲城的水平面上轉 動。如何能夠確保東偏角在水平面上轉動?地心至甲城是 一條半徑,所有在甲城垂直於此半徑之直線都在甲城之水 平面上。所以,第一個必要條件是﹕ 甲城之東偏角在甲城垂直於地心至甲城之半徑,也就是 甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v1x, v1y, v1z) 下面談第二個必要條件。 <a name="950711d"> 在甲城之水平面上的直線有三百六十度轉動的自由,我們 要找到唯一的一個方向。 臨界東偏角的「臨界」表示這個東偏角對應於最小小圓。 甲乙兩城之間的小圓有無限多個,但是最小小圓只有一個 。 這就是以甲乙兩城之間連線為直徑的小圓。 東偏角在甲城切於通過甲城之小圓,所以, 東偏角向量是一個垂直於甲乙兩城之間連線的向量。 也就是 甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v2x, v2y, v2z) <a name="950711e"> 至此,我們得到, 甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v1x, v1y, v1z) 及 甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v2x, v2y, v2z) 向量一(v1x, v1y, v1z)及 向量二(v2x, v2y, v2z) 之叉積產生一個同時垂直於向量一及垂直於向量二的第三 向量。 如果甲乙兩城連線不通過地心,則第三向量(東偏角向量 )可以唯一確定。 如果甲乙兩城連線是通過地心,則第三向量(東偏角向量 )不可以唯一確定。在甲城水平面上,任何方向都是答案 。 95,07,11,07,39此 <a name="950711f"> 以上說明臨界東偏角相關問題。 以下說明自由人文章性質。 討論問題有兩種寫法。 一是課本式寫法, 二是思路式寫法。 課本式寫法精簡,沒有重複、沒有前後倒置、沒有錯誤思 維記錄。 思路式寫法繁雜,可能重複、可能前後倒置、可以記錄錯 誤思維。 <a name="950711g"> 自由人以思路式寫法寫自修網頁,大圓、小圓之第一轉都 是繞起點城市之經度角轉動,第二轉都是繞起點城市之緯 度角轉動。大圓特例轉動(起點為大圓最高點)、大圓通 則轉動,小圓轉動都要談及第一轉和第二轉,此處有重複 。 求小圓通式時,碰釘子,仍然留下記錄。這是思路式寫法 之特徵。思路式寫法把所有驗證步驟寫出來,才可以讓大 家「評理」。課本式寫法把多數驗證步驟列為習題,這才 像課本。 <a name="950711h"> 自由人寫自修網頁時,大致按照時間順序排列,有的問題 在隔了幾個星期之後,又再討論,與前面相關話題隔了一 大段其他話題(例如轉動矩陣第一、第二特徵與第三特徵 相隔很遠。所以,按照時間順序排列方法,一個前後討論 問題之連續性不是很好。 當讀者閱讀自由人文章時,請瞭解 自由人以思路式寫法寫自修網頁。 自由人  中國九十五年七月十一日 95,07,11,08,05止 小圓公式及軌跡,中文 http://freeman2.com/jscircl1.htm 小圓公式及軌跡,英文 http://freeman2.com/jscircl2.htm 大圓公式及軌跡,中文 http://freeman2.com/jscirclc.htm 大圓公式及軌跡,英文 http://freeman2.com/jscircle.htm 95,05,16,09,45
卷名 tutc0002.htm 表示 自修 TUTor 中文 Chinese 第二 0002 自修網頁目錄 http://freeman2.com/tutindex.htm 自修網頁第一頁,朗冠吉係數法解限制條件極小化問題。 http://freeman2.com/tutc0001.htm 自修網頁第二頁,球體大圓、小圓通式。 http://freeman2.com/tutc0002.htm 自修網頁第三頁,立體幾何,納皮爾規則 Napier's Rule http://freeman2.com/tutc0003.htm 本頁建立於中國九十五年一月六日 本頁上載於中國九十五年四月十七日 本卷為﹕自修網頁第二頁,球體大圓、小圓通式。 http://freeman2.com/tutc0002.htm 謝謝光臨 自由人 95,04,11,18,48
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