大圓 小圓參數公式   目錄   自修網頁目錄   Introduction
本卷由大圓特例至大圓通式至小圓通式，最後寫的圖解
最完整，建議讀者先由圖解開始看到卷尾，再從頭看起。
相同網路資料 小圓常貌公式 更新 95,07,25



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<a name=intro>
 
<a name=index>
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<a name=950415a>
95,04,15,18,42始
本卷原本使用「參考坐標」一詞，含義不明確。
靜止坐標、大地坐標、地球坐標、第一轉之前的坐標
，都是同一件事。
名詞「轉動坐標」是一個被轉動的坐標，
動詞「轉動坐標」是推動一個坐標，讓它轉動，
本想使用名詞「轉動坐標」，但是與動詞「轉動坐標」
混同，因此使用「參考坐標」，一個連連轉動的坐標。
仔細思考，大地坐標不也是終極「參考坐標」嗎？
「陶侃運磚」是一個歷史故事，現在使用代名詞
「陶侃坐標」表示一個連連轉動的坐標。
95,04,15,18,54止

95,04,16,09,12
就某一次特定轉動而言，「主軸系轉出至客軸系」
主軸系表示轉動矩陣之輸入值，即轉前坐標系統。
客軸系表示轉動矩陣之輸出值，即轉後坐標系統。
95,04,16,09,13

<a name=9501a001>
95,01,06,08,35 建立
c:\$fm\ph\ph9501a1.htm

95,01,06,09,01始
大圓是立體幾何使用的名詞，一個平面割過一個球體，二
者之交集（共有部份）是一個平面圓，移動平面，割過球
體不同部位，得到不同面積的交集圓，就一個已知的球體
而言，最大面積交集圓稱為該球體的大圓。以地球為例，
（假設地球是正圓，實際是略扁圓）地球的赤道是一個大
圓，任何通過南北極的割面，也得到交集大圓。
95,01,06,09,01止

<a name=9501a002>

圖源○一
http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html

95,01,06,19,49始
首先解釋本文使用名詞，便利繼續討論。
自由人無法找到通用中文名詞，下面名詞是自己定義者，
換言之，與一般使用的中文名詞不同。

<a name=9501a003>
坐標系ｘｙｚ稱為正坐標。三個軸互相垂直，ｘ軸、ｙ軸
、ｚ軸都為長度，沒有角度坐標。
正坐標在多數情況計算便利。本文討論球坐標，在計算時
，必須返回正坐標執行計算。
ｘ軸稱為正坐標系（及球坐標系）的標準方向，後面使用
的側角、仰角名詞都參考ｘ軸。
ｘ軸、ｙ軸構成的平面稱為零高面（即高度ｚ＝０平面）
，後面使用仰角以零高面為零點。
ｙ軸、ｚ軸構成的平面稱為零鼻面（即鼻長ｘ＝０平面）
ｚ軸、ｘ軸構成的平面稱為零翼面（即翼長ｙ＝０平面）
鼻向ｘ翼向ｙ是模擬坐標系ｘｙｚ放在飛行器上的情況，
假設ｘ軸指向飛機鼻端，
假設ｙ軸指向飛機左翼方向，
假設ｚ軸指向飛機上空方向。只是模擬，便利命名。

<a name=9501a004>
討論點是Ｐ點。
Ｐ點投影至ｘｙ平面，得到Ｑ點。
Ｑ點投影至ｘ軸，得到Ｒ點。
∠ＰＱＯ是直角（九十度）
∠ＱＲＯ是直角（九十度）
Ｐ點的ｘ軸分量是ＯＲ
Ｐ點的ｙ軸分量是ＲＱ（ＲＱ平行於ｙ軸）
Ｐ點的ｚ軸分量是ＰＱ（ＰＱ平行於ｚ軸）
圖○二。

圖源○二，變數修改為本文所需。
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

地球是一個圓球，人類在地球表面活動，如同Ｐ點遊走於
球面，Ｐ點的活動範圍有一個限制條件，這就是
Ｐ點至球心的距離為常數ｒ０。
由簡單的幾何，我們知道
距離平方　　ｒ＊ｒ＝ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ
開平方之後　ｒ＝√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）…Ｂ１０式
這是正坐標ｘｙｚ與球坐標ｒφλ中的ｒ之關係公式。

<a name=9501a005>
坐標系ｒφλ稱為球坐標。
ｒ是自坐標原點Ｏ到討論點Ｐ的直線向量，在球坐標（及
　　平面的極坐標）中，ｒ是半徑。
φ是相對於正前方向（鼻向）左右偏向角。簡稱為側角。
　　或稱為經度角，因為側角φ是經度的定義角。
λ是對於正前方向（鼻向）上下偏向角。簡稱為仰角。
　　或稱為緯度角，因為仰角λ是緯度的定義角。
　　南半球是俯角，但是使用負仰角（即南緯多少度）。

φ及λ是本文主要參考文獻
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001
使用的符號。

<a name=9501a006>
ｒ是半徑，ｒ物理單位為長度，
φ及λ是角度，物理單位為弧度，弧度是弧長除以半徑，
即，弧度是長度除以長度，所以弧度是純數。

請注意正坐標、球坐標二者的差別﹕
正坐標ｘ、ｙ、ｚ為長度、長度、長度，
球坐標ｒ、φ、λ為長度、純數、純數。
ｘ＋ｙ＋ｚ為合理運算，但是，
ｒ＋φ＋λ為錯誤運算（長度加純數？絕不犯錯！）
ｒ＋ｒ＊ｃｏｓλ＊ｓｉｎφ＋ｒ＊ｓｉｎλ為合理運算
因為　ｒ　及
ｒ＊ｃｏｓλ＊ｓｉｎφ　及
ｒ＊ｓｉｎλ　三者都是長度。

（合理運算表示三者都是長度，可以相加，
　然而，合理運算並不代表有意義的運算。）

<a name=9501a007>
仰角λ＝零度　表示討論點Ｐ在赤道上，
仰角λ＝九十度表示討論點Ｐ在北極。
如果仰角λ＝三十度，表示Ｐ在北緯三十度等緯線上，
此時Ｐ點相對於北極為六十度角距。
仰角（緯度角）在許多文獻中，有不同的定義，許多書籍
定義球坐標ｒφλ的λ為偏離北極的角度，指向正北為零
度，不是九十度。
定義「極偏角」為偏離北極的角度。
「極偏角」加「仰角」等於九十度，二者互補。
請看圖○二，極偏角是∠ＮＯＰ。

本文討論地球大圓，與經度、緯度密切相關，所以本文使
用仰角（緯度角），不用「極偏角」。
本文與主要參考文獻
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001
同步。
95,01,06,21,39止

<a name=section01>
╔════════════════════════╗
║　變更段落，以上與大圓、小圓相關之前言。　　　　║
║　變更段落，以下大圓公式，起點城市在大圓極北點　║
╚════════════════════════╝

<a name=9501a008>
95,01,07,12,35始
下面請看圖○三。

圖源○三，收費論文，本文主要參考資料。
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001

圖○三主要說明如何找出任意大圓之特徵參數 φ０、λ０

就全球而言，稱北極為最高點，南極為最低點。就粗線大圓
而言，稱

●　Ｐ點為最高點。

<a name=9501a009>
粗線大圓特徵為
圓上最高點Ｐ相對於ｘｙｚ坐標有側角φ０、仰角λ０。
任意大圓之定位方法為找出最高點。
（此處「側角」指經度角。 9504161255）
（九十五年一月上旬寫此段時，尚無東偏角觀念。任意大圓之
　定位方法不必用最高點，圓上任意點經緯度及該點之東偏角
　也可以決定大圓。 95,04,16,13,12）

φ０、λ０是常數，指定大圓。
φ、λ是變數，描述在球面移動的點。

以上是任意大圓特徵，
以下是任意球坐標特徵
就一個球坐標系而言，它有無限多個大圓，但是特徵大圓
只有一個，這就是仰角為零的大圓，又稱為赤道。

確定大圓需要指定圓上最高點之側角φ０及指定仰角λ０。
赤道大圓的特徵是仰角λ０為零，側角φ０任意。

一個球坐標系只有一個特徵大圓﹕赤道。反之，身為赤道
的特徵大圓卻對應無限多個球坐標系統，因為側角φ０任
意之故。

95,01,07,13,10此

<a name="hide07">














<a name=9501a010>
以下討論　便利的限制條件
　　與　不便利的限制條件。

一個點在三度空間移動，該點有三個自由度ｘ、ｙ、ｚ。
如果指定ｘ＝１，ｙ、ｚ仍然可以自由變動，
如果指定ｘ＝１及指定ｙ＝２，ｚ仍然可以自由變動，因
為ｘ、ｙ、ｚ互不相關。

如果我們指定ｘ、ｙ、ｚ必須服從一個關係公式，例如
√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）＝３
那麼當兩個變數確定之後，第三個變數立即確定。

如果指定ｘ＝１及指定ｙ＝２，依據
√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）＝３
結論必須　ｚ＝２　或　ｚ＝－２

<a name=9501a011>
所以，
指定ｘ、ｙ、ｚ必須服從一個關係公式，自由度減一。
指定ｘ、ｙ、ｚ必須服從兩個關係公式，自由度減二。
指定ｘ、ｙ、ｚ必須服從三個關係公式，自由度減三。

兩個關係公式必須互不相依，
三個關係公式必須互不相依，

什麼是「關係公式互不相依」？下面看簡單的相依限制公式。
如果指定
√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）＝３
及指定
２＊√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）＝６
這兩個公式相依，實際上只有一個限制公式，因為第一式乘
二就是第二式。

<a name=9501a012>
假設正坐標系統加以限制公式
√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）＝３
其含義是指定移動點與坐標原點之距離固定為三。
這是三變數限制公式，ｘ、ｙ、ｚ三者沒有任何一者完全
自由（不受限制公式約束）。

假設球坐標系統加以限制公式
ｒ＝３
這是單變數限制公式，ｒ、φ、λ三變數中只有ｒ被限定
，φ、λ二變數完全自由。
<a name=9501a013>

有完全自由的變數是　便利的限制條件，
無完全自由的變數是不便利的限制條件。

討論球面問題，正坐標系統不能提供完全自由的變數，
ｘ、ｙ、ｚ三者個個牽扯於限制公式
√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）＝３

討論球面問題，球坐標系統可以提供完全自由的變數，
ｒ、φ、λ三變數中只有ｒ被限定，φ、λ二變數完全
自由。

完全自由的變數是方便的，所以，討論球面問題大多使
用球坐標系統。

上面是球面問題使用球坐標系統最便利。
下面是處理大圓使用赤道大圓最理想。

現在考慮任意大圓之參數表示法。

我們知道在球坐標系統裏只有赤道大圓提供
仰角λ０為零，側角φ０任意的條件，
其中「側角任意」最為理想，我們要找出大圓，只要指定
仰角為零就可以完成任務，完全不必理會側角。

<a name=9501a014>
因為赤道大圓具有便利的限制條件關係式，所以我們利用
赤道大圓。

在正坐標ｘ、ｙ、ｚ系統裏，圖○三的粗線大圓是任意大
圓，不是該系統的赤道大圓，無論如何也要建立仰角及側
角的關係公式，我們的主題是「任意大圓之參數表示法」
側角跑不掉！

對！側角跑不掉！
但是求仰角及側角的關係公式，可以利用
<a name=9501a015>

●　粗線大圓是另外一個正坐標ｘ′、ｙ′、ｚ′系統的
●　赤道大圓，以簡化運算。

我們的主要工作是找出
轉前正坐標ｘ、ｙ、ｚ系統至
轉後正坐標ｘ′、ｙ′、ｚ′系統
的關係，然後進入轉後正坐標ｘ′、ｙ′、ｚ′系統，指
定該系統的仰角為零，就可以用最小的勞力找到解答。
95,01,07,14,09止

95,01,07,16,47始
當論及運算時，如果只在球面上移動，可以使用球坐標系
統的變數進行運算。現在主要工作是坐標軸的轉動，不是
球面運動，不能用球坐標系統完成工作，必須回到正坐標
系統，進行運算。

<a name=9501a016>
下面是
正坐標系統ｘ、ｙ、ｚ
與
球坐標系統ｒ、φ、λ
之間的關係。

圖○二

圖源○二，變數修改為本文所需。
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

找出兩個坐標系統之間的關係，其含義是說﹕
找出　ｒ＝ｇ１（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０１式
找出　φ＝ｇ２（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０２式
找出　λ＝ｇ３（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０３式
及
找出　ｘ＝ｆ１（ｒ，φ，λ）　　…Ｂ０４式
找出　ｙ＝ｆ２（ｒ，φ，λ）　　…Ｂ０５式
找出　ｚ＝ｆ３（ｒ，φ，λ）　　…Ｂ０６式
各是什麼函數。

<a name=9501a017>
首先找出　ｒ＝ｇ１（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０１式
中的　　ｇ１（ｘ，ｙ，ｚ）　　是什麼函數。

Ｂ０１式的
自變數ｘ是Ｐ點在ｘ軸上的分量
自變數ｙ是Ｐ點在ｙ軸上的分量
自變數ｚ是Ｐ點在ｚ軸上的分量
因變數ｒ是Ｐ點至坐標原點Ｏ的距離。

首先把向量ＯＰ投影至ｘｙ平面（零高面）上，
投影的意思是自Ｐ點拉一條直線ＰＱ到ｘｙ平面，並且要
求直線ＰＱ垂直於ｘｙ平面。
平面上的直線ＯＱ稱為向量ＯＰ在ｘｙ平面的投影。
這個投影的重點一方面是分量ＯＱ，另一方面是分量ＰＱ
，因為ＰＱ平行於ｚ軸，所以

ＰＱ是向量ＯＰ在ｚ軸的分量。以ｚ表示ＰＱ的長度。

<a name=9501a018>
上面析出了ｚ軸分量ＰＱ，那麼ＯＱ不含ｚ軸分量，
ＯＱ含ｘ軸及ｙ軸分量，找出ＯＱ平行於ｘ軸及平行於ｙ
軸分量就完成對三個坐標軸的分量分析。
自Ｑ點拉一條直線ＱＲ，令ＱＲ垂直於ｘ軸。
ｘ軸上的長度ＯＲ是向量ＯＰ在ｘ軸的分量，以ｘ表示。
垂線ＱＲ平行於ｙ軸，正好是ｙ軸分量，以ｙ表示。

令ｉ為ｘ軸上長度為一的向量，
令ｊ為ｙ軸上長度為一的向量，
令ｋ為ｚ軸上長度為一的向量。
ｉ、ｊ、ｋ為三個互相垂直、長度為一的向量組，
ｘ、ｙ、ｚ為純數，不帶方向資料，只有分量長度資料。

向量ＯＰ以分量表示為
ｘ＊ｉ＋ｙ＊ｊ＋ｚ＊ｋ

<a name=9501a019>
依據畢氏定理，直角三角形ＯＱＲ的三個邊長關係為﹕
ＯＱ＊ＯＱ＝ＱＲ＊ＱＲ＋ＯＲ＊ＯＲ
　　　　　＝　ｙ＊ｙ　＋　ｘ＊ｘ　　…Ｂ０７式

上面是平躺於ｘ、ｙ平面內的直角三角形，
下面是立出於ｘ、ｙ平面外的直角三角形。

依據畢氏定理，直角三角形ＯＰＱ的三個邊長關係為﹕
ＯＰ＊ＯＰ＝ＱＰ＊ＱＰ＋ＯＱ＊ＯＱ
　　　　　＝　ｚ＊ｚ　＋ＯＱ＊ＯＱ　…Ｂ０８式

Ｂ０７式的ＯＱ＊ＯＱ代入Ｂ０８式，得到
ＯＰ＊ＯＰ＝ｚ＊ｚ＋ｙ＊ｙ＋ｘ＊ｘ　…Ｂ０９式

<a name=9501a020>
ＯＰ就是球體半徑ｒ（Ｐ點至坐標原點Ｏ的距離）
Ｂ０９式可以改寫為
ｒ＊ｒ＝ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ

全式開平方得到
ｒ＝√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）　　………Ｂ１０式
對照
ｒ＝ｇ１（ｘ，ｙ，ｚ）　　　　　　…Ｂ０１式
知道
ｇ１（ｘ，ｙ，ｚ）＝√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）

Ｂ１０式是重要公式。
95,01,07,17,55止


<a name=9501a021>
95,01,07,18,22始
下面找出　φ＝ｇ２（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０２式
中的　　　　　ｇ２（ｘ，ｙ，ｚ）是什麼函數。

φ＝ｇ２（ｘ，ｙ，ｚ）的意思是φ以ｘ，ｙ，ｚ表示。
請看圖○二。

圖○二

圖源○二，變數修改為本文所需。
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

角度φ是直角三角形ＯＱＲ的一個銳角（小於九十度）
直角三角形ＯＱＲ的直角邊為ＯＲ及ＱＲ，分別為ｘ及ｙ
角度φ的正切剛好引用ｘ及ｙ，關係式如下﹕

<a name=9501a022>
ｔａｎ（φ）＝ｙ／ｘ
取其反函數，析出φ，得到

φ＝ａｒｃｔａｎ（ｙ／ｘ）　　　　　………Ｂ１１式

只需要ｘ及ｙ及ａｒｃｔａｎ（）就完全表達角度φ。


下面找出　λ＝ｇ３（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０３式
中的　　　　　ｇ３（ｘ，ｙ，ｚ）是什麼函數。

角度λ是直角三角形ＯＰＱ的一個銳角（小於九十度）
直角三角形ＯＰＱ的直角邊為ＯＰ及ＱＰ，分別為ｒ及ｚ
角度λ的正弦剛好引用ｒ及ｚ，關係式如下﹕

<a name=9501a023>
ｓｉｎ（λ）＝ｚ／ｒ
取其反函數，析出λ，得到

λ＝ａｒｃｓｉｎ（ｚ／ｒ）　　　　　………Ｂ１２式

Ｂ１２式中的ｒ可以從Ｂ１０式找到答案，因為ｒ是ｘ，
ｙ，ｚ三者的函數，所以λ也是ｘ，ｙ，ｚ三者的函數。


上面是
找出　ｒ＝ｇ１（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０１式
找出　φ＝ｇ２（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０２式
找出　λ＝ｇ３（ｘ，ｙ，ｚ）　　…Ｂ０３式


<a name=9501a024>
下面是
找出　ｘ＝ｆ１（ｒ，φ，λ）　　…Ｂ０４式
找出　ｙ＝ｆ２（ｒ，φ，λ）　　…Ｂ０５式
找出　ｚ＝ｆ３（ｒ，φ，λ）　　…Ｂ０６式

現在要找出ｘ、ｙ、ｚ，皆以ｒ、φ、λ表達

正坐標ｘ、ｙ、ｚ為長度、長度、長度，
球坐標ｒ、φ、λ為長度、純數、純數。

我們可以預期所有三個公式都必須含有ｒ，如此才能提供
ｘ、ｙ、ｚ所要求的長度物理單位。

請看圖○二。

<a name=9501a025>
圖○二

圖源○二，變數修改為本文所需。
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

前面已經討論向量ＯＰ投影至三個正坐標軸的分量ｘ、ｙ
、ｚ，這個分解步驟正好是此處所需要的分析。

向量ＯＰ使用仰角λ分解，投影至ｘｙ平面得ＯＱ分量及
ＰＱ分量﹕

ＰＱ＝ｒ＊ｓｉｎ（λ）
ＰＱ平行於ｚ軸，所以
ｚ　＝ｒ＊ｓｉｎ（λ）　　　　　　　………Ｂ１５式

ＯＱ稱為向量ＯＰ在ｘｙ平面的投影
ＯＱ＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）

<a name=9501a026>
ＯＱ不平行於任何坐標軸，需要繼續分解。
分量ＯＱ使用側角φ分解，投影至ｘ軸及ｙ軸得ＯＲ分量及
ＲＱ分量﹕

ＯＲ＝　　　ＯＱ　　　＊ｃｏｓ（φ）
　　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｃｏｓ（φ）

ｘ軸上的長度ＯＲ是向量ＯＰ在ｘ軸的分量，以ｘ表示。

ｘ　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｃｏｓ（φ）………Ｂ１３式

垂線ＱＲ平行於ｙ軸，正好是ｙ軸分量，以ｙ表示。
ＱＲ＝　　　ＯＱ　　　＊ｓｉｎ（φ）
　　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｓｉｎ（φ）

ｙ　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｓｉｎ（φ）………Ｂ１４式


<a name=9501a027>
「正球關係」是指正坐標與球坐標之關係。
下面綜合正坐標與球坐標之關係公式﹕

球坐標變數以正坐標變數表達
ｒ＝√（ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋ｚ＊ｚ）　　………Ｂ１０式
φ＝ａｒｃｔａｎ（ｙ／ｘ）　　　　　………Ｂ１１式
λ＝ａｒｃｓｉｎ（ｚ／ｒ）　　　　　………Ｂ１２式

正坐標變數以球坐標變數表達
ｘ　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｃｏｓ（φ）………Ｂ１３式
ｙ　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｓｉｎ（φ）………Ｂ１４式
ｚ　＝ｒ＊ｓｉｎ（λ）　　　　　　　………Ｂ１５式

x=r*cosλ*cosφ
y=r*cosλ*sinφ
z=r*sinλ
95,01,25,06,22使用簡便符號

<a name=9501a028>
圖○二

圖源○二，變數修改為本文所需。
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

不同的文章使用不同的標記，許多課本使用極偏角，不用
仰角，不論如何使用，只要在一篇文章內保持一致即可。

95,01,07,19,25止

<a name=9501a029>
95,01,08,09,57始
前面談到
〔〔
我們的主要工作是找出
轉前正坐標ｘ、ｙ、ｚ系統至
轉後正坐標ｘ′、ｙ′、ｚ′系統
的關係，然後進入轉後正坐標ｘ′、ｙ′、ｚ′系統，指
定該系統的仰角為零，就可以用最小的勞力找到解答。
〕〕
為此，我們必須要找出坐標軸轉動的關係公式。

「坐標軸轉動」是指坐標系統繞一個轉軸轉動若干角度。
取什麼軸為轉軸呢？複雜的轉動是由簡單的轉動相加而成
，所以，首先討論簡單的轉動。最簡單的轉動是繞正坐標
系統ｘ、ｙ、ｚ軸中任一軸轉動。當我們討論平面問題時
，都用ｘ、ｙ軸表達，這種情況，ｚ軸是立出紙面的一根
軸，我們選用繞ｚ軸轉動，這是最常見的平面問題。

<a name=9501a030>
ｚ軸是在原點Ｏ立出紙面的轉軸，因為立出紙面，所以畫
不出ｚ軸，因為ｚ軸不動，所以ｘ、ｙ、ｚ系統暫時簡稱
為ｘ、ｙ系統。

ｘ　、ｙ　坐標系（黑色）是轉動之前的坐標系統，
ｘ′、ｙ′坐標系（紅色）是轉動之後的坐標系統。

ｘ′軸相對於ｘ軸逆時鐘轉動θ度，
ｙ′軸相對於ｙ軸逆時鐘轉動θ度。

平面上任意點Ｐ是參考點。當我們討論坐標軸轉動時，參
考點Ｐ不能轉動！若Ｐ也轉動，那就失去了討論的主角。

問題一是﹕
轉動角度θ已知，
Ｐ點轉後坐標ｘ′、ｙ′已知，
如何以ｘ′、ｙ′、θ表達轉前坐標ｘ、ｙ？
<a name=9501a031>
圖○四


x = OA = BP
y = OB = AP
x'= OM = NP
y'= ON = MP

圖○四利用x = OA（沒有用x = BP）

x  = OA
   = OC + CA
   = OC - AC
   = OC - dM
   = OM*cosθ - MP*sinθ
   = OM*cosθ - ON*sinθ
   = x'*cosθ - y'*sinθ
所以
x  = x'*cosθ - y'*sinθ　　　　　　………Ｂ１６式

<a name=9501a032>
再看 y
圖○四利用y = AP（沒有用y = OB）

y  = OB = AP
   = Ad + dP
   = cM + dP
   = OM*sinθ + MP*cosθ
   = OM*sinθ + ON*cosθ
   = x'*sinθ + y'*cosθ
所以
y  = x'*sinθ + y'*cosθ　　　　　　………Ｂ１７式

並列兩個公式
x  = x'*cosθ - y'*sinθ　　　　　　………Ｂ１６式
y  = x'*sinθ + y'*cosθ　　　　　　………Ｂ１７式

<a name=9501a033>
改寫為矩陣形式
[x]　 [cosθ　　-sinθ] [x']
[y] = [sinθ　　 cosθ]*[y']　　　　………Ｂ１８式

矩陣形式便利後面有規則的計算。（用矩陣處理連續轉動）
95,01,08,11,06止

如何「改寫為矩陣形式」？下面是矩陣公式與線性公式之關係


95,01,08,11,28始

問題二是﹕
轉動角度θ已知，
Ｐ點轉前坐標ｘ、ｙ已知，
如何以ｘ、ｙ、θ表達轉後坐標ｘ′、ｙ′？

<a name=9501a034>
圖○五


x = OA = BP
y = OB = AP
x'= OM = NP
y'= ON = MP


圖○五利用 x'= OM （沒有用 x'= NP）

x'= OM = Os  +   sM
  =      Os  +   At
  = OA*cosθ + AP*sinθ
  =  x*cosθ +  y*sinθ
所以
x' =  x*cosθ +  y*sinθ　　　　　　………Ｂ１９式

<a name=9501a035>
再看 y'
圖○五利用 y'= vu = ON（沒有用 y'= MP）

y'= ON = vu
  = vB - Bu
  = OB*cosθ - Bp*sinθ
  = OB*cosθ - OA*sinθ
  =  y*cosθ -  x*sinθ

所以
y' = -x*sinθ +  y*cosθ　　　　　　………Ｂ２０式

並列兩個公式
x' =  x*cosθ +  y*sinθ　　　　　　………Ｂ１９式
y' = -x*sinθ +  y*cosθ　　　　　　………Ｂ２０式

<a name=9501a036>
改寫為矩陣形式
[x']　 [ cosθ　　sinθ] [x]
[y'] = [-sinθ　　cosθ]*[y]　　　　………Ｂ２１式

矩陣形式便利後面有規則的計算。（用矩陣處理連續轉動）

95,01,08,11,45止

95,01,08,13,37始
為什麼Ｂ１６式及Ｂ１７式可以改寫為Ｂ１８式？
為什麼Ｂ１９式及Ｂ２０式可以改寫為Ｂ２１式？
有什麼規則？

<a name=9501a037>
圖○六


老坐標、轉前坐標是 x ,y ,z。
新坐標、轉後坐標是 x',y',z' ，簡化為 u , v , w。

如果老坐標與新坐標關係公式只有自變數的一次方，換言
之，沒有自變數乘自變數，即沒有x*y 類關係、也沒有
u*u 類關係，此種關係公式稱為線性公式，並列的線性公
式可以寫為矩陣公式，方法為把轉換關係公式改寫為

新自變數 u = 　係數11乘老自變數 x 
　　　　　　　加係數12乘老自變數 y
　　　　　　  加係數13乘老自變數 z

新自變數 v = 　係數21乘老自變數 x 
　　　　　　　加係數22乘老自變數 y
　　　　　　  加係數23乘老自變數 z

新自變數 w = 　係數31乘老自變數 x 
　　　　　　　加係數32乘老自變數 y
　　　　　　  加係數33乘老自變數 z

「係數12」中的「12」是係數編號，不是係數值，餘同。

<a name=9501a038>
把 u , v , w放入三乘一的縱列
[u]
[v]
[w]

把 x , y , z放入三乘一的縱列
[x]
[y]
[z]

對照圖○六，把九個係數放入三乘三的矩陣，最後公式為

新自變數縱列等於三乘三係數矩陣乘老自變數縱列。

95,01,08,14,05止

<a name=9501a039>
95,01,08,14,54始

上面談三乘三矩陣，回頭看比較簡單的二乘二矩陣

並列兩個公式
x' =  x*cosθ +  y*sinθ　　　　　　………Ｂ１９式
y' = -x*sinθ +  y*cosθ　　　　　　………Ｂ２０式
右側都按照老自變數 x 及 y 的順序排列，
Ｂ１９式 x的係數是 cosθ
Ｂ１９式 y的係數是 sinθ
Ｂ２０式 x的係數是-sinθ
Ｂ２０式 y的係數是 cosθ

係數矩陣為
[ cosθ　　sinθ]
[-sinθ　　cosθ]
即
[ 第一式 x係數　　第一式 y係數 ]
[ 第二式 x係數　　第二式 y係數 ]

<a name=9501a040>
三度空間類推
[ 第一式 x係數　　第一式 y係數　　第一式 z係數 ]
[ 第二式 x係數　　第二式 y係數　　第二式 z係數 ]
[ 第三式 x係數　　第三式 y係數　　第三式 z係數 ]

把新自變數 x' 及 y'  並列，存入二乘一縱列矩陣
[x']
[y']

把老自變數 x  及 y   並列，存入二乘一縱列矩陣
[x]
[y]

綜合結果為矩陣形式
[x']　 [ cosθ　　sinθ] [x]
[y'] = [-sinθ　　cosθ]*[y]　　　　………Ｂ２１式

<a name=9501a041>
矩陣公式有什麼好處呢？

任意大圓之定位方法為找出最高點Ｐ，
Ｐ相對於ｘｙｚ坐標有側角φ０、仰角λ０。

ｘｙｚ坐標先對側角轉動φ０度，再對仰角轉動λ０度。
這兩個連續轉動，使用矩陣表示法最便利。

95,01,08,15,06止

<a name=9501a042>
95,01,08,17,14始
側角φ０是東西向轉動，轉軸是由南極向北極的直線。
仰角λ０是南北向轉動，轉軸是平躺於赤道面的直線。
這兩個轉動的兩個轉軸互相垂直，所以，平面之轉動公式
Ｂ１８式及Ｂ２１式必定踫見困擾，我們必須把平面轉動
公式進階至立體轉動公式，也就是必須把
二變數，二乘二矩陣公式轉為
三變數，三乘三矩陣公式！

這好像是無中生有的魔術，實際上

平面是立體的一部份，平面ｘｙ公式加入ｚ分量，就變成
立體公式，重點是
ｚ分量的改變對平面公式沒有影響，換言之
ｚ＝０的平面關係公式與
ｚ＝５的平面關係公式相同
處理方法為
ｘ對ｚ′的係數＝０（「０」表示二者沒有關係）
ｙ對ｚ′的係數＝０
ｚ對ｚ′的係數＝１（「１」表示二者是一回事）
在這種條件下可以完成二階升為三階的工作。

<a name=9501a043>
圖○七


二乘二的矩陣公式
[x']　 [ cosθ　　sinθ] [x]
[y'] = [-sinθ　　cosθ]*[y]　　　　　………Ｂ２１式

可以改為三乘三的矩陣公式
[x']　 [ cosθ　sinθ　０] [x]
[y'] = [-sinθ　cosθ　０]*[y]　　　　………Ｂ２２式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

矩陣公式進階之後，我們可以在三度空間裏先轉東西向的
經度角，再轉南北向的緯度角。否則在二度空間裏無法完
成三度空間之任務。
95,01,08,17,58止

<a name=9501a044>
95,01,08,19,11始

如果轉軸是ｚ軸，三乘三的矩陣公式為
[x']　 [ cosθ　sinθ　０] [x]
[y'] = [-sinθ　cosθ　０]*[y]　　　　………Ｂ２２式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

<a name=9501a045>
如果轉軸是ｙ軸，三乘三的矩陣公式為
[x']　 [cosθ　０　-sinθ] [x]
[y'] = [ 　０　１　　　０]*[y]　　　　………Ｂ２３式
[z']   [sinθ　０　 cosθ] [z]

<a name=9501a046>
如果轉軸是ｘ軸，三乘三的矩陣公式為
[x']　 [ １　　 ０　　 ０] [x]
[y'] = [ ０　cosθ　sinθ]*[y]　　　　………Ｂ２４式
[z']   [ ０ -sinθ　cosθ] [z]
〔〔
9501301011始
上述三公式是主題點不動，坐標軸轉動。
如果題目為　主題點轉動，坐標軸不動，如何解決？
因為點與軸是相對運動，此時把轉角θ異號為－θ即可，
請注意﹕cos(-θ)=cos(θ)、sin(-θ)=-sin(θ) 。
許多課本討論主題點轉動，坐標軸不動，這一類公式與本
頁公式差一負號。
9501301018止
〕〕

<a name=9501a047>
上面三個公式都是吻合右手律的公式。
轉動問題，轉軸的正向與轉角的正向必須要有一致性，如
果一個轉動符合右手律，另一個轉動符合左手律，答案肯
定錯誤！

右手律決定轉角之正負，
右手做頂好手勢，大拇指指向轉軸正向，
四根手指繞行方向為轉角之正向。

<a name=9501a048>
圖○八


95,01,08,19,23止


<a name=9501a049>
95,01,09,15,00始
下面請看圖○九。


上圖是ｚｘｙ方向，
第一個符號「ｚ」代表轉軸之正向，
第二個符號「ｘ」為轉動之起點軸，
第三個符號「ｙ」為轉動之終點軸，
由起點軸至終點軸的轉動只取小角九十度，不取大角兩百
七十度。

右手律之組合有三﹕ｘｙｚ、ｙｚｘ、ｚｘｙ

左手律之組合有三﹕ｘｚｙ、ｚｙｘ、ｙｘｚ

<a name=9501a050>
當解題時，所有轉動必須全部是右手律之轉動，才能得到
正確答案。（或者全部是左手轉動，但是不通用）

95,01,09,15,15此

在計算時，繞ｙ軸的轉動，容易出錯。

繞ｙ軸之轉動，按照右手律，從ｚ軸轉九十度至ｘ軸是正
轉，即使ｙ軸平躺於赤道大圓，仍然從ｚ軸轉九十度至ｘ
軸。不是從ｘ軸轉九十度至ｚ軸。

解平面問題時，因為我們習慣把ｘ軸當做水平軸，ｙ軸是
垂直軸，隱含的意思為ｚ軸是立出平面的軸。這是右手律
的ｚｘｙ系統。


<a name=9501a051>
根據右手律要求
●　當ｚ軸立出平面時，ｘ軸是水平軸，ｙ軸是紙面縱向軸。
●　當ｙ軸立出平面時，ｚ軸是水平軸，ｘ軸是紙面縱向軸。
●　當ｙ軸立出平面時，ｘ軸不是水平軸！

若我們仍然習慣性把ｘ軸當做水平軸、把ｚ軸當做垂直軸
，這就踏入ｙｘｚ的左手系統，而不是ｙｚｘ的右手系統
。

繞ｙ軸轉動右手律的ｙｚｘ公式為 x'=(-sinθ)*z+...
繞ｙ軸轉動左手律的ｙｘｚ公式為 x'=(+sinθ)*z+...

繞ｙ軸轉動右手律的ｙｚｘ公式為 z'=(+sinθ)*x+...
繞ｙ軸轉動左手律的ｙｘｚ公式為 z'=(-sinθ)*x+...

負號易位。


<a name=9501a052>
下面請看圖一○。

圖○五橫軸x 縱軸y ，縱軸'=-sinθ*橫軸→y'=(-sinθ)*x
圖一○橫軸z 縱軸x ，縱軸'=-sinθ*橫軸→x'=(-sinθ)*z
有單引號的「縱軸' 」是轉動之後的縱軸，
無單引號的「橫軸」  是轉動之前的橫軸。
95,01,09,15,39止


<a name=9501a053>
95,01,09,17,18始

下面請看圖一一。

此處說明
為什麼第二轉的轉角λ０使用負值。
第二轉以y'軸為轉軸，把x'軸由赤道轉向通過甲城的x"軸
，轉後的y"軸與轉前的y'軸重合，因為y'軸是轉軸。
根據右手律，y'軸轉動之正角是由北極轉至赤道。
現在為了導航之便利，定義赤道是緯度零點，由赤道向北
極，緯度逐漸增加，這個方向與「y'軸轉動之正角是由北
極轉至赤道」反向，我們以為的正值，在計算公式裏應該
使用負值，為了兩全其美，解決方法是在公式裏加入一個
負號。故圖一一的仰角λ０在圖一二中改為負值－λ０，以配
合右手律之要求。
處理北半球數據時，以正值代入λ０，－λ０自動調整為負值。
處理南半球數據時，以負值代入λ０，－λ０自動調整為正值。

<a name=9501a054>
下面請看圖一二。


95,01,09,18,02此

以上是準備工作、基礎材料。
以下是實際工作。

我們以北極為全球的最高點。球體之任意大圓有一個最高
點P，此點的經度、緯度坐標是該大圓之特徵值。
（註﹕九十五年一月自由人尚未考慮東偏角、地偏角
　　9504141436）

求任意大圓之參數表示法，本文使用方法為轉動坐標系統
，
令ｘ軸沿經度方向轉φ０度，再
令ｘ軸沿緯度方向轉λ０度，
使得任意大圓變為轉後坐標系統之赤道，
再令轉後坐標系統之仰角為零，以求解。

<a name=9501a055>
因為轉後之仰角關係以轉前參數表達，故令轉後仰角為零
，可以得到轉前系統任意大圓之參數表示法。

轉動坐標是配合側角φ０及仰角λ０
所有計算都應該有下標「０」

但是為簡化網頁指令，「０」全部省略，
側角φ０改為大寫「Φ」（常數）
仰角λ０改為大寫「Λ」（常數）
小寫的「φ、λ」是變數。

<a name=9501a056>
計算如下
首先是第一轉公式。

原坐標系統ｘｙｚ的ｚ軸指向北極。

原坐標系統ｘｙｚ的ｘ軸沿側角轉動Φ度
轉軸是ｚ軸，以下述公式表示﹕
[x']　 [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y'] = [-sinΦ　cosΦ　０]*[y]　　　………Ｂ２５式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

（上面的「側角」就是下面的「經度角」 9504161253）

上面是第一轉公式。
轉動之後，原坐標系統ｘｙｚ變為第一次轉後坐標系統
ｘ′ｙ′ｚ′

<a name=9501a057>
第二轉以第一次轉後坐標系統的ｘ′軸沿仰角轉動 -Λ度，
轉軸是ｙ′軸，以下述公式表示﹕（下面是第二轉公式）
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [x']
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[y']　……Ｂ２６式
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [z']

轉動之後，原坐標系統ｘｙｚ變為三次坐標系統ｘ〞ｙ〞ｚ〞


Ｂ２５式代入Ｂ２６式，消去ｘ′ｙ′ｚ′得到下述公式
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２７式

<a name=9501a058>
對Φ矩陣及ｘｙｚ變數執行矩陣之展開，得到下述公式
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ x*cosΦ+y*sinΦ+0]
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[-x*sinΦ+y*cosΦ+0]
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [    0   +    0  +z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２８式

對Λ矩陣及ｘｙｚ及Φ執行矩陣之展開，得到下述公式
[x"]　 [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ)  + 0         +  z*sinΛ ]
[y"] = [ 　  0          +  (-x*sinΦ+y*cosΦ) +    0     ]
[z"]   [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ)  +0          +  z*cosΛ ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２９式

這是三個並列的公式，第三個公式為
z" = -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ …Ｂ３０式

95,01,09,18,49此

<a name=9501a059>
Ｂ３０式左側ｚ〞指明全式為轉後坐標的ｚ〞值
Ｂ３０式右側全為轉前坐標之變數，
以轉前坐標之變數表示轉後坐標的ｚ〞值。
轉後x"y"z"系統的大圓公式是 z"=0
經由Ｂ３０式得到以轉前坐標之變數表示的大圓公式。
恰為所求。
Φ是轉前坐標任意大圓最高點之經度角，常數，
Λ是轉前坐標任意大圓最高點之緯度角，常數。

Ｂ３０式右側有變數 x, y, z，
ｘ　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｃｏｓ（φ）………Ｂ１３式
ｙ　＝ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｓｉｎ（φ）………Ｂ１４式
ｚ　＝ｒ＊ｓｉｎ（λ）　　　　　　　………Ｂ１５式
三公式聯係轉前正坐標 x, y, z與轉前球坐標　ｒ、φ、λ，
所以轉前坐標參數可以完全描述轉後坐標ｚ〞。

同理，轉前坐標參數可以完全描述轉後坐標ｘ〞、ｙ〞。

因為指定仰角λ等於零可以完全描述赤道大圓，所以，
現在討論球坐標的仰角λ
λ＝ａｒｃｓｉｎ（ｚ／ｒ）　　　　　………Ｂ１２式

<a name=9501a060>
Ｂ１２式對轉後坐標系統照樣適用，對轉後坐標有
λ〞＝ａｒｃｓｉｎ（ｚ〞／ｒ〞）　　………Ｂ３１式

請注意，Ｂ３１式之參數全部有「〞」，表示為轉後系統
之變數

我們要求轉後坐標系統的仰角λ〞等於零，就是指定粗線
大圓是轉後坐標系統的赤道大圓。由Ｂ３１式知道
λ〞＝０
就是
ｚ〞＝０

所以，我們要求
z" = -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ …Ｂ３０式
等於零，也就是指定
 -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ＝０ …Ｂ３２式
Ｂ３２式混用球坐標變數Φ、Λ及變數x、y、z，需要消除
x、y、z。

<a name=9501a061>
球坐標轉至正坐標有下述關係公式
x = r*cosλ*cosφ　　　　………Ｂ１３式
y = r*cosλ*sinφ　　　　………Ｂ１４式
z = r*sinλ　　　　　　　………Ｂ１５式

把Ｂ１３式、Ｂ１４式、Ｂ１５式代入Ｂ３２式，消除
正坐標自變數 x, y, z

Ｂ３２式變為
-sinΛ*(r*cosλ*cosφ*cosΦ+r*cosλ*sinφ*sinΦ)
 +  r*sinλ*cosΛ =0 　　　　　………Ｂ３３式

這個公式Λ、λ及Φ、φ同時出現，請注意

<a name=9501a062>
Φ是任意大圓最高點之經度坐標，是常數，
Λ是任意大圓最高點之緯度坐標，是常數。
φ是球面任意點之經度坐標，是變數，
λ是球面任意點之緯度坐標，是變數。

常數與變數不可混同！

Ｂ３３式全式含有半徑r ，因為半徑不為零，消除 r

-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ+cosλ*sinφ*sinΦ)
 +  sinλ*cosΛ =0

觀察
(cosλ*cosφ*cosΦ + cosλ*sinφ*sinΦ)
可以析出cosλ，剩下部份是
(cosφ*cosΦ + sinφ*sinΦ)
正好是
cos(φ-Φ)

<a name=9501a063>
故公式變為

-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+ sinλ*cosΛ =0 …Ｂ３４式

Ｂ３４式是經過目標點（城市）東西方向的大圓公式，
Ｂ４２式是經過目標點（城市）任意方向的大圓通式，
Ｂ４２式中令Δ等於零度得到Ｂ３４式，Δ是偏離正東的
角度。
若大圓通過南北極必須使用Ｂ４２式，令Δ等於九十度求解。

Ｂ３４式只適於指向正東的大圓，不能通過南北極，同時，
Ｂ３４式使用的起點不能放在南北極，所以，緯度角Λ及λ
都不為九十度，（cosΛ*cosλ）不等於零，
Ｂ３４式全式除以（cosΛ*cosλ）可以簡化為正切表示法
結果為

[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)]/（cosΛ*cosλ）
+ sinλ*cosΛ/（cosΛ*cosλ） =0

簡化為
-tanΛ*cos(φ-Φ)+tanλ=0

<a name=9501a064>
移項得到 McIntyre 教授論文的公式
tanλ = tanΛ*cos(φ-Φ)　　………Ｂ３５式

此式是地球上，除南北極以外，通過任何點（城市）東西
方向大圓公式。通過南北極的大圓不能使用，因為南北極
的仰角為正、負九十度，九十度的正切為無限大。
通過南北極大圓公式用Ｂ４２式。
（令東偏角 Δ=90 度。 95,04,16,10,52）

再次，請注意
Φ是常數，
Λ是常數，
φ是變數，
λ是變數。

Ｂ３５式，兩個變數φ及λ，一個公式，使兩度空間運動
變為一度空間運動，

Ｂ３５式，兩個常數Φ及Λ指定這個一度空間運動通過任
意大圓之最高點。

95,01,09,19,57止


<a name=9501a065>
95,01,09,20,24始
根據Ｂ３４式寫「通過南北極大圓公式」，結果不當。
[[
95,04,14,17,50　根據Ｂ４２式重寫始
最後得到通用的大圓公式
 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
 -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ
 +cosΔ*sinλ*cosΛ = 0　　……Ｂ４２式

甲城不在北極時 Λ不為九十度，
東偏角Δ等於九十度時，大圓通過北極，此時 Ｂ４２式
變為
 -1*cosλ*sin(φ-Φ)
 -0*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ
 +0*sinλ*cosΛ = 0

得到
cosλ*sin(φ-Φ)= 0

若 cosλ = 0

λ= 九十度，北極一點，不是大圓，棄置。

若 sin(φ-Φ)= 0　　得到

<a name=9501a066>
φ-Φ = 0° 　　　　……Ｂ３６甲式
φ-Φ = 180° 　　　……Ｂ３６乙式

這是通過南北極大圓公式！！
φ 是大圓上移動點經度變數，指定為 Φ，或指定為 Φ+180°
Φ 是大圓上甲城經度坐標，常數。
φ-Φ = 0° 　　　是與甲城同側之等經半大圓
φ-Φ = 180° 　　是與甲城異側之等經半大圓
南北極大圓上移動點緯度變數λ 隨意，無限制。
95,04,14,17,54重寫止
]]

<a name=9501a067>
如果寫電腦程式，只能使用Ｂ４２式
因為Ｂ４２式在南北極、在全球通用。

至此，「任意大圓之參數表示法」論述完畢。

95,01,09,21,00止

<a name=950416b>
95,04,16,18,01始
「Ｂ３４式使用的起點不能放在南北極」？為什麼？請看
-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+ sinλ*cosΛ =0 …Ｂ３４式
假設起點在北極，Λ=90°　　cosΛ=0，　sinΛ=1
（大寫Λ是起點的緯度，常數。小寫是λ移動點的緯度，變數）
Ｂ３４式變為
-1*cosλ*cos(φ-Φ)+ sinλ*0 =0
變為
cosλ*cos(φ-Φ) =0
通過南北極大圓要求 φ=Φ
cos(φ-Φ)=cos(0)=1 不=0
上式 cosλ*cos(φ-Φ) =0
無法達到此要求（無法得到 φ=Φ 結論）

<a name=950416c>
另一方面，通用的大圓公式
 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
 -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ
 +cosΔ*sinλ*cosΛ = 0　　……Ｂ４２式
令 Λ=90°　　cosΛ=0，　sinΛ=1 得到
 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
 -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*1
 +cosΔ*sinλ*0 = 0
得到
 cosλ*cos(Δ-φ+Φ) = 0
令 Δ-φ+Φ=90°
容許我們調節至
　 φ-Φ=0°
及 Δ =90°
及 λ 隨意
這三個情況正是通過南北極大圓之特徵。

特例公式　Ｂ３４式　不能處理通過南北極大圓，
通用公式　Ｂ４２式　可以處理通過南北極大圓。
95,04,16,18,17此

註﹕如果Ｂ３４式使用的起點不放在南北極，Ｂ３４式描
　　述的大圓絕對不會通過南北極，因為Ｂ３４式描述的
　　大圓限定東偏角為零度，但是通過南北極的大圓必須
　　有起點城市之東偏角為九十度。
95,04,16,18,33止

<a name=section02>
╔════════════════════════╗
║　變更段落，以上大圓公式，起點城市在大圓極北點　║
║　變更段落，以下大圓公式，起點城市在大圓任何點　║
╚════════════════════════╝

<a name=9501a068>
大約在 95,01,10,00,10 想到第三轉，解除起點城市
必須是大圓最高點的限制。 9504112042記錄

95,01,10,08,22始
如果轉軸是ｘ軸，三乘三的矩陣公式為
[x']　 [ １　　 ０　　 ０] [x]
[y'] = [ ０　cosθ　sinθ]*[y]　　　　………Ｂ２４式
[z']   [ ０ -sinθ　cosθ] [z]
這個矩陣公式可以用來調節東偏角Δ！

對經度角Φ及緯度角Λ兩次轉動，展開矩陣得到下述公式
[x"]　 [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ)  + 0         +  z*sinΛ ]
[y"] = [ 　  0          +  (-x*sinΦ+y*cosΦ) +    0     ]
[z"]   [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ)  +0          +  z*cosΛ ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２９式
如果再繞東偏角Δ轉一次，那不就是得到更通用的大圓公
式了嗎？（起點不必是大圓最南／北點）

本文使用東偏角Δ，源自McIntyre 教授
使用「初始方向δ」 "initial heading δ"
及「對東偏角δ」 "the angle δ with respect
 to local east."

<a name=9501a069>
下面請看圖一三，繞x"軸轉Δ角度。

9501ad圖第三次坐標軸 x"', y"', z"'沒有畫出，太擠。
第三次轉動繞 x" 軸轉Δ角度，東北為正角，圖示東南轉

假設站在大圓最高點以向東為零點、以向東偏北為正Δ角
則新的大圓需要再繞x"軸轉Δ角度，公式如下﹕

<a name=9501a070>
[x"']　 [ １　　 ０　　 ０] [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ)  + 0         +  z*sinΛ ]
[y"'] = [ ０　cosΔ　sinΔ]*[ 　  0          +  (-x*sinΦ+y*cosΦ) +    0     ]
[z"']   [ ０ -sinΔ　cosΔ] [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ)  +0          +  z*cosΛ ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３７式

<a name=9501a071>
95,01,10,08,47 展開得到
x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３８式

y"' = cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３９式

z"' = -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ４０式

<a name=9501a072>
三次轉動之後的赤道大圓可以令 z"'=0
（令 z"'=0之理由參考Ｂ３０式、Ｂ３１式、Ｂ３２式）

 -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)
+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ] = 0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ４１式

<a name=9501a073>
另一方面，球坐標至正坐標關係公式如下
x = r*cosλ*cosφ　　　　………Ｂ１３式
y = r*cosλ*sinφ　　　　………Ｂ１４式
z = r*sinλ　　　　　　　………Ｂ１５式

把Ｂ１３式、Ｂ１４式、Ｂ１５式代入Ｂ４１式，消除x,y,z

 -sinΔ*[-r*cosλ*cosφ*sinΦ+r*cosλ*sinφ*cosΦ]
+ cosΔ*[-sinΛ*(r*cosλ*cosφ*cosΦ+r*cosλ*sinφ*sinΦ) + r*sinλ*cosΛ] = 0

半徑r 是共有項，提出括號，
 -sinΔ*r*[-cosλ*cosφ*sinΦ+cosλ*sinφ*cosΦ]
+ cosΔ*r*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ+cosλ*sinφ*sinΦ) + sinλ*cosΛ] = 0

<a name=9501a074>
cosλ 是共有項，提出括號，
 -sinΔ*r*[-cosλ*cosφ*sinΦ+cosλ*sinφ*cosΦ]
+ cosΔ*r*[-sinΛ*cosλ*(cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ)
           +sinλ*cosΛ] = 0

利用恆等式，改用簡短的cos(φ-Φ)
 -sinΔ*r*[-cosλ*cosφ*sinΦ+cosλ*sinφ*cosΦ]
+ cosΔ*r*[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*cosΛ] = 0

<a name=9501a075>
半徑是常數，消除 r
 -sinΔ*cosλ*[-cosφ*sinΦ+sinφ*cosΦ]
+ cosΔ*[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*cosΛ] = 0

利用恆等式，改用簡短的sin(φ-Φ)
 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
+ cosΔ*[-sinΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*cosΛ] = 0

<a name=9501a076>
最後得到通用的大圓公式
 -sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
 -cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ
 +cosΔ*sinλ*cosΛ = 0　　……Ｂ４２式
95,01,10,09,07此

<a name=9501a077>
Ｂ４２式中，
φ是大圓上任意點之經度角，變數，
λ是大圓上任意點之緯度角，變數。
Φ是起點Ｐ位置之經度角，常數，
Λ是起點Ｐ位置之緯度角，常數。
Δ是通過討論點Ｐ點（城市）大圓之偏向角，常數。如果
通過Ｐ點大圓向東，Δ為零，偏北為正角，偏南為負角。
若偏向角Δ非零，（Φ、Λ）不是大圓之最高（北）點！

<a name=9501a078>
偏向角Δ有雙重含義﹕

如果討論通過Ｐ點、對正東偏Δ度的大圓，偏向角Δ為
正確值，可以直接使用。（此處沒有「拋物體」字眼）

如果分析站在Ｐ點、對正東偏δ度拋物，該拋物體走什
麼大圓？此時拋物偏向角δ不是飛行大圓的偏向角Δ！

拋物體飛行大圓的偏向角Δ必須已經納入地球自轉因素
。若向正北拋物，δ等於九十度，但是Δ小於九十度，
因為地球自轉，物體已經有向東的速度分量，只是我
們不察覺而已。

95,01,10,09,13止

95,04,16,18,54 註，在95,01,10寫此段時，
只有東偏角觀念，沒有地偏角觀念，無需區別那一個偏
角。所以當時沒有使用「東偏角」。此處之「偏角」是
九十五年三月使用的「東偏角」。
九十五年一月文字仍然有部份「東偏角」出現，這些都
是九十五年四月校對時加入的註解。
95,04,16,18,58止

<a name=9501a079>
95,01,10,09,24始
如果Ｂ４２式中，
Φ是拋物起點之經度角，已知
Λ是拋物起點之緯度角，已知
φ是拋物終點之經度角，已知
λ是拋物終點之緯度角，已知
Δ是拋物起點之偏向角，未知。向東為零，偏北為正角
需要使用Ｂ４２式求拋物起點之偏向角Δ，

95,01,10,09,29此

Ｂ４２式移項，改寫如下

 +sinΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
 +cosΔ*cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ
=
 +cosΔ*sinλ*cosΛ

<a name=9501a080>
全式除以cosΔ（要求cosΔ不為零，要求Δ不為九十度）

  tanΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
 +  1  *cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ
=
 +  1  *sinλ*cosΛ

  tanΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
=
  [sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]
　　　　　　………Ｂ４３式

  tanΔ
=
  [sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]/[cosλ*sin(φ-Φ)]

<a name=9501a081>
要求cosλ*sin(φ-Φ)不為零
也就是

要求λ不為九十度
要求φ-Φ不為零度、不為一百八十度

 Δ
=
 arctan{[sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]/[cosλ*sin(φ-Φ)]}

<a name=9501a082>
最後，已知兩個城市坐標(Φ,Λ), (φ,λ)，大圓在第一
城市(Φ,Λ)之東偏角為（小圓東偏角點此）
 Δ
=
 arctan{[tanλ*cosΛ-cos(φ-Φ)*sinΛ]/sin(φ-Φ)}
　　　　　　………Ｂ４４式

上式 tanλ 趨於無限大時，引起麻煩，
主導要求λ不為九十度 （從屬要求東偏角Δ不為九十度）

上式分母 sin(φ-Φ) 為零時，引起麻煩，
主導要求φ-Φ不為零度（從屬要求東偏角Δ不為九十度）

如果緯度角 λ=90度，　則為通過南北極的大圓，
如果經度差 φ-Φ=0 同經度，也是通過南北極的大圓。
通過南北極大圓的「東偏角」是令人頭痛的九十度！

95,01,10,09,42此

<a name=9501a083>
偏角Δ的定義。
如果我們向正北投物，我們以為相對於正東偏角Δ為偏北
九十度，這是錯誤的觀念，因為地球轉動，拋物體出手時
，除了有向北的速度，也有隨地球自轉的向東速度，這兩
個速度的向量和，使真正拋物角為正北偏東。也就是說，
Ｂ４４式得到的答案，還要再納入地球自轉速度，才能得
到真正的拋物體飛行軌跡大圓之對正東偏角Δ。

δ是忽略地球自轉的拋物角
Δ是包括地球自轉的飛行角

δ=arctan(Vn/Ve)
Δ=arctan[Vn/(Ve+Vr)]

Vn是拋物體對地的向北速度
Ve是拋物體對地的向東速度
Vr是拋物體隨地自轉的向東速度
Vr與起點的緯度有密切關係，越接近赤道，向東轉速越快

95,01,10,10,10止


<a name=9501a084>
95,01,10,19,51始
在導出Ｂ３４式及Ｂ４２式時，使用「消除 r」
因為半徑是常數，但是拋物體有上下運動，半徑確實在改
變。上下運動不影響球面運動，上下運動（半徑增減）決
定拋物體飛行時間。當拋物體與地心之距離等於地球半徑
時，拋物體落地，停止飛行。
95,01,10,20,02止


<a name=9501a085>
95,01,10,20,51始
Ｂ４４式是否正確？
Ｂ４４式是否產生矛盾結果？找一個例題測試。

Ｍ（Φ、Λ）及Ｎ（φ、λ）兩點在球面位置已知，使用
Ｂ４４式可以算出通過Ｍ點對正東偏角為Δ度的大圓，這
個大圓也通過Ｎ點。

如果Ｍ及Ｎ兩點直線通過地球中心，Ｍ及Ｎ兩點直線便為
地球轉軸，此時Δ有無限多組解，如何從數學公式看出端
倪？

<a name=9501a086>
Ｂ４４式來自Ｂ４３式，Ｂ４３式容易討論。

  tanΔ*cosλ*sin(φ-Φ)
=
  [sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ]
　　　　　　………Ｂ４３式

如果Ｂ４３式變為

  tanΔ*０＝０

那麼偏角Δ可以是任意值。

<a name=9501a087>
因此，Ｍ及Ｎ兩點直線通過地心的必要條件為

cosλ*sin(φ-Φ)＝０　　　　　　………Ｂ４５式
及
sinλ*cosΛ-cosλ*cos(φ-Φ)*sinΛ＝０　…Ｂ４６式

滿足Ｂ４５式的條件是
cosλ＝０　→　要求λ＝正負九十度，只容許南北極點，
不是通則，棄置。

或者
sin(φ-Φ)=0　→　要求　φ-Φ=0　或　φ-Φ=180

φ-Φ=0度 表示兩點同經度，不可能通過地心，棄置。

取用
φ-Φ=180度　　　　　　………Ｂ４７式

<a name=9501a088>
滿足Ｂ４６式的條件是
sinλ*cosΛ-cosλ*(-1)*sinΛ＝０
〔因為cos(φ-Φ)=cos(180)=-1〕

也就是
sinλ*cosΛ+cosλ*sinΛ＝０

sin(λ+Λ)=0　→　要求

λ= -Λ　　………Ｂ４８式

結論

<a name=9501a089>
φ-Φ=180度　　　　　　………Ｂ４７式
要求Ｍ及Ｎ兩點就經度言，相差一百八十度，一點在地球
前面，另一點在地球後面。

λ= -Λ　　………Ｂ４８式
要求Ｍ及Ｎ兩點就緯度言，緯度值相同，但是緯度異號，
一點在北半球，另一點在南半球，二者與赤道等距離。

這是正確描述Ｍ及Ｎ兩點連線通過地心的情況，表示導出
的Ｂ４４式合理，僅限於一個特例合理。

上述討論只是Ｂ４４式正確的必要條件，因為，

如果上述討論得到矛盾結果，Ｂ４４式必定錯誤，
如果上述討論得到正確結果，Ｂ４４式可能正確，
如果其他測試得到矛盾結果，Ｂ４４式仍然錯誤。
95,01,10,21,29止

<a name=9501a090>
95,01,12,15,08始
圖一三9501ad未能畫出紅粗大圓的x"', y"', z"' 坐標，
下面把三次轉動依次分解說明。

圖一四

第一次轉動之z 及 z' 二軸重合，繞z 軸轉動，
第二次轉動之y'及 y" 二軸重合，繞y'軸轉動。
第二次轉動之λ０角是負值，以赤道為零度比較便利。若以
北極為零度，沿極偏角轉動，則為正轉，赤道變為九十度。

<a name=9501a091>
黑色x  , y  , z   坐標是原始坐標，所有計算的sin()
　　　　　　　　　cos() 函數都是以此坐標為參考。
綠色x' , y' , z'  坐標是以黑色坐標為基準，繞z 軸轉
　　　　　　　　　經度角φ０之後的坐標。把x'軸帶至大圓
　　　　　　　　　最高點Ｐ點正下方。
藍色x" , y" , z"  坐標是以綠色坐標為基準，繞y'軸轉
　　　　　　　　　緯度角λ０之後的坐標。把x"軸帶至大圓
　　　　　　　　　最高點Ｐ點位置（x"軸穿過Ｐ點）。
紅色x"', y"', z"' 坐標是以藍色坐標為基準，繞x"軸轉
　　　　　　　　　對正東之偏向角Δ之後的坐標。正確
　　　　　　　　　描述通過Ｐ點偏向Δ角的大圓，因為
　　　　　　　　　Ｐ點任意、偏向Δ角任意（沒有限制
　　　　　　　　　），所以，紅色坐標為通用結果。

<a name=9501a092>
圖一五

第三次轉動之x"及 x"'二軸重合，繞x"軸轉動。
第三次轉動之Δ角是負值，如果畫正角轉動，Ｐ點右側的
紅大圓必須在黑大圓及等緯線（小圓）之間，太擁擠。
站在Ｐ點視之，x"軸自地面冒出，垂直指向天空。
所有軸系之原點皆在地心。

第二次轉動之後的藍色x" , y" , z"  坐標限定通過Ｐ點
的大圓必須以Ｐ點為大圓最高點。這個限制使得藍色坐標
不能通用。

第三次轉動之後的紅色x"', y"', z"' 坐標容許通過Ｐ點
的大圓不必以Ｐ點為大圓最高點，可以再轉動任意Δ角，
得到新的大圓表達公式。這個任意使得紅色坐標可以通用
，故第三次轉動後的紅色x"',y"',z"' 坐標是最後答案。

<a name=9501a093>
Ｂ１３式、Ｂ１４式、Ｂ１５式三式有自變數 r,φ,λ，
Ｂ３８式、Ｂ３９式、Ｂ４０式三式有大圓特徵參數
經度角φ０及緯度角λ０及偏向角Δ，
Ｂ３８式、Ｂ３９式、Ｂ４０式三式也有因變數x,y,z 。

將
Ｂ１３式、Ｂ１４式、Ｂ１５式
代入
Ｂ３８式、Ｂ３９式、Ｂ４０式
消去因變數x,y,z 之後為通用答案。
（令 Ｂ４０式=０ 得到通用大圓公式Ｂ４２式。）

（必須消除x,y,z，球坐標自變數是 r,φ,λ，不是x,y,z）

95,01,12,16,17止

<a name=9501a094>
95,01,12,16,59始
現在考慮另外一個問題﹕
甲城市經度坐標為Φ、緯度坐標為Λ，（Φ、Λ為大寫）
乙城市經度坐標為φ、緯度坐標為λ，（φ、λ為小寫）
假設Φ、Λ及φ、λ四個值都已經知道，
如何求出甲城市至乙城市的距離？

球面上任意兩點間最短距離是通過這兩點大圓的小角弧長
，小角指小於一百八十度的角度，大角大於一百八十度。

Ｂ３８式、Ｂ３９式、Ｂ４０式三式有Φ、Λ及φ、λ，
（φ、λ隱含於變數x,y,z 之中），剛好是已知數據。

<a name=9501a095>
再次列出
x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３８式

y"' = cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３９式

z"' = -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ４０式
及
x = r*cosλ*cosφ　　　　………Ｂ１３式
y = r*cosλ*sinφ　　　　………Ｂ１４式
z = r*sinλ　　　　　　　………Ｂ１５式

<a name=9501a096>
因為甲、乙兩城都在大圓上，我們把這個大圓轉為赤道大
圓，便利討論。在x"', y"', z"' 坐標系統中令z"' 為零
，使得甲、乙兩城都在x"', y"', z"' 坐標系統赤道大圓
上。在赤道大圓就容易辦事，因為令z"' 為零，所以z"' 
為立出紙面的轉軸，
右手律之組合有三﹕ｘｙｚ、ｙｚｘ、ｚｘｙ


根據右手系統ｚｘｙ，此時，
x"' 軸變為赤道大圓內平面坐標之橫軸，
y"' 軸變為赤道大圓內平面坐標之縱軸，

95,01,12,17,30止

95,01,12,18,58始

<a name=9501a097>
圖一六


圖一六把x"', y"'當作坐標軸，
圖一六用θ代表甲城與乙城之間的弧度

因為
指定z"' 軸坐標為零，所以x"', y"'在大圓(z"'=0)內
指定z"' 軸坐標為零，所以距離公式 r*r=x*x+y*y+z*z
　　　　　　　　　　　　　　變為 r*r=x*x+y*y
拋棄常數r 與指定 r=1具有相同效果，此處令 r=1
r*r=x*x+y*y　變為 1=x*x+y*y
也就是 1 = x"' * x"' + y"' * y"'

由圖一六知道
ｃｏｓ（θ） = x"'
同時
ｓｉｎ（θ） = y"'

<a name=9501a098>
因此，甲城與乙城之間的弧度θ可以由下面兩個公式之任
何一者求出。

θ＝arccos(x"')　　………Ｂ４９式
或
θ＝arcsin(y"')　　………Ｂ５０式

兩個公式是否同樣好用？有沒有取捨？

甲城與乙城之間的弧度θ可以由零度到一百八十度（π）


請看圖一六右半，在零到π之間，
Ｂ４９式一個x"' 值對應一個弧度值，明確、不含糊！
Ｂ５０式一個y"' 值對應兩個弧度值，取用那個弧度呢？

<a name=9501a099>
為求明確，取用Ｂ４９式，拋棄Ｂ５０式。

由Ｂ４９式求出甲城與乙城之間的弧度θ

把Ｂ３８式
x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ

代入Ｂ４９式
θ＝arccos(x"')
θ＝arccos[cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ]

並以Ｂ１３式、Ｂ１４式、Ｂ１５式消去 x, y, z

θ＝arccos[cosΛ*(r*cosλ*cosφ*cosΦ+r*cosλ*sinφ*sinΦ) + r*sinλ*sinΛ]

θ＝arccos[cosΛ*r*cosλ*(cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ) + r*sinλ*sinΛ]

<a name=9501a100>
解題步驟要求令半徑 r=1  以體現x"' = cos（θ），故
θ＝arccos[cosΛ*cosλ*(cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ) + sinλ*sinΛ]

利用餘弦兩角和之公式簡化

θ＝arccos[cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５１式

Ｂ５１式中，
Φ（大寫）是大圓上甲點（甲城市）的經度角，指定數，
Λ（大寫）是大圓上甲點（甲城市）的緯度角，指定數。

φ（小寫）是大圓上乙點（乙城市）的經度角，指定數，
λ（小寫）是大圓上乙點（乙城市）的緯度角，指定數。
<a name=9501a101>

西經角度取負值，南緯角度取負值。

θ是由地心指向甲點及由地心指向乙點兩條半徑的夾角。
口述時，夾角以角度敘述方便，
計算時，夾角必須以弧度表示。
<a name=9501a102>
角度／57.29577951308＝弧度　　　　………Ｂ５２式

Ｂ５１式可以求出甲城與乙城之間的弧度距離θ。
由甲城到乙城之弧度距離θ
與
由乙城到甲城之弧度距離θ
相同，旅行方向無關，Ｂ５１式必須體現此性質，把
Ｂ５１式分解為
cosΛ*cosλ
*
cos(φ-Φ) 
+
sinλ*sinΛ

<a name=9501a103>
我們知道
cosΛ*cosλ　與　cosλ*cosΛ　相同，沒有方向性。

同理
sinλ*sinΛ　與　sinΛ*sinλ　相同，沒有方向性。

另一方面 cos(+α) = cos(-α)　所以
cos(φ-Φ) 　與　cos(Φ-φ) 　相同，沒有方向性。

由此可知Ｂ５１式與旅行方向無關。

<a name=9501a104>
容易犯錯的一步是
甲城市經度坐標為Φ、緯度坐標為Λ，
乙城市經度坐標為φ、緯度坐標為λ，
都以角度表達，如果以角度代入Ｂ５１式，電腦當作弧度處
理，得到錯誤結果。

三角函數必須使用弧度，角度與弧度之關係為

180角度＝常數＊π弧度

π＝3.14159265358979323846264338

角度除以圓周率π得到
常數﹕每弧度之角度 57.29577951308角度／弧度

利用此常數把角度轉為弧度

<a name=9501a105>
角度／57.29577951308＝弧度　　　　………Ｂ５２式

Ｂ５１式中
θ＝arccos[cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ]
φ,λ,Φ,Λ 四者都必須轉為弧度，

Ｂ５１式的輸出θ也是弧度。

得到甲城與乙城之間的弧度距離θ之後，長度距離為

長度距離＝弧度距離θ＊地球半徑　　………Ｂ５３式

地球平均半徑為 6366.71公里　　　　………Ｂ５４式

<a name=9501a106>
下面舉一個實例。

94,09,26,18,00取閱
http://www.wcrl.ars.usda.gov/cec/java/lat-long.htm
存卷為
c:\$fm\ph\spherical\great-circle-wcrl.ars.usda.gov_cec_java_lat-long.htm


95,01,11,09,51開啟
c:\$fm\ph\spherical\great-circle-wcrl.ars.usda.gov_cec_java_lat-long.htm


<a name=9501a107>
台北北緯  25°: 5 m:0 s N= 25+ 5/60= 25.0833N
台北東經 121°:32 m:0 s E=121+32/60=121.5333E

洛杉磯北緯  34°: 3 m:15 s N= 34.0542N
洛杉磯西經 118°:14 m:28 s W=-118.2411W
　　(118 + 14/60 + 28/60/60 = 118.24111111)

以上角度
以下弧度

<a name=9501a108>
台北北緯  25°: 5 m:0 s N= 25+ 5/60= 0.4377861N =Λ
台北東經 121°:32 m:0 s E=121+32/60= 2.1211562E =Φ

洛杉磯北緯  34°: 3 m:15 s N= 0.5943579N =λ
洛杉磯西經 118°:14 m:28 s W=-2.0636965W =φ

●　西經弧度改為負值。
●　南緯弧度改為負值。

Ｂ５１式
θ＝arccos[cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ) + sinλ*sinΛ]
　＝arccos[cos(0.4377861)*cos(0.5943579)*cos(-2.0636965-2.1211562) + sin(0.5943579)*sin(0.4377861)]
　＝arccos(-0.140348640056)

<a name=9501a109>
台北、洛杉磯弧度距離θ＝1.71161弧度

θ是由地心指向台北及由地心指向洛杉磯兩條半徑的夾角
。

95,01,11,09,58由
great-circle-wcrl.ars.usda.gov_cec_java_lat-long.htm
得到距離
8806.692166838924 公里

<a name=9501a110>
95,01,11,13,42用本卷公式算出
台北、洛杉磯長度距離為 1.71161*6366.71 = 10897.3公里

求證此值是否正確。

94,09,26,18,16取閱
http://www.gb3pi.org.uk/great.html
存卷為
c:\$fm\ph\spherical\great-circle-gb3pi.org.uk-great.html

<a name=9501a111>
95,01,11,13,04用
great-circle-gb3pi.org.uk-great.html
計算得到 10901 公里

以上是第一組吻合的他人答案，
以下是第二組吻合的他人答案。

94,09,26,15,36取閱
http://www.ga.gov.au/geodesy/datums/distance.xls
存卷為
c:\$fm\ph\spherical\ga.gov.au-geodesy-datums-distance.xls

<a name=9501a112>
95,01,11,14,13開啟
ga.gov.au-geodesy-datums-distance.xls
計算得到 10897.314 公里


台北、洛杉磯長度距離有四個答案
用本卷公式算出為            10897.3 公里
gb3pi.org.uk/great.html     10901   公里
ga.gov.au/.../distance.xls  10897.314 公里
usda.gov/.../lat-long.htm    8806.692 公里

由此可以看出Ｂ５１式得到正確弧長（距離）結果。

95,01,12,21,03止

<a name=950416d>
95,04,16,20,50始
如果取用Ｂ４９式，面對x"'，沒有東偏角Δ，避免麻煩。
如果取用Ｂ５０式，面對y"'，多出東偏角Δ，額外麻煩。

θ 是甲城與乙城之間的弧度距離
θ＝arccos(x"')　　………Ｂ４９式
θ＝arcsin(y"')　　………Ｂ５０式

x"' = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３８式
y"' = cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ３９式
95,04,16,20,52止

<a name=9501a113>
95,01,13,08,46始
當讀者引用公式時，請注意﹕
Ｂ１８式將客軸系轉回至主軸系，
Ｂ２１式將主軸系轉出至客軸系。
如果用錯公式，那就是張飛打岳飛，打的滿天飛！

由(x  ,y  )轉至(x'",y'")歷經三次轉動
主軸系(x  ,y  ) 轉至客軸系(x' ,y' ) （繞z 軸轉）
主軸系(z' ,x' ) 轉至客軸系(z" ,x" ) （繞y 軸轉）
主軸系(y" ,z" ) 轉至客軸系(y"',z"') （繞x 軸轉）


<a name=9501a114>
圖○四，客軸系轉回至主軸系


[x]　 [cosθ　　-sinθ] [x']
[y] = [sinθ　　 cosθ]*[y']　　　　………Ｂ１８式

[x']　 [ cosθ　　sinθ] [x]
[y'] = [-sinθ　　cosθ]*[y]　　　　………Ｂ２１式

<a name=9501a115>
圖○五，主軸系轉出至客軸系


現在把Ｂ２１式代入Ｂ１８式，如下

[x]　 [cosθ　　-sinθ] [ cosθ　　sinθ] [x]
[y] = [sinθ　　 cosθ]*[-sinθ　　cosθ]*[y]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５５式

請看此式左側為(x, y)，同式最右端也是(x, y)，
(x, y) 乘什麼數會等於自己呢？唯一答案是「一」，
在此處必須是矩陣的「一」。我們展開

[cosθ　　-sinθ] [ cosθ　　sinθ]
[sinθ　　 cosθ]*[-sinθ　　cosθ]

看得到什麼結果？

<a name=9501a116>
上式有四個同號的cosθ，及四個異號的sinθ，太多類似
，先看一般矩陣的展開

[A　　B] [E　　F]
[C　　D]*[G　　H]　←一般矩陣

<a name=9501a117>
根據圖○六的規則，主軸系轉出至客軸系


<a name=9501a118>
求第一行、第一列之值
←　　←
[A　　B] [E↑　　F]
[C　　D]*[G↑　　H]
得到
[A*E+B*G 　　未知]
[未知　　　　未知]


<a name=9501a119>
求第一行、第二列之值
←　　←
[A　　B] [E　　F↑]
[C　　D]*[G　　H↑]
得到
[A*E+B*G 　A*F+B*H]
[未知　　　　未知]


<a name=9501a120>
求第二行、第一列之值
[A　　B] [E↑　　F]
←　　←
[C　　D]*[G↑　　H]
得到
[A*E+B*G 　A*F+B*H]
[C*E+D*G　　　未知]


<a name=9501a121>
求第二行、第二列之值
[A　　B] [E　　F↑]
←　　←
[C　　D]*[G　　H↑]
得到
[A*E+B*G 　A*F+B*H]
[C*E+D*G　 C*F+D*H]

<a name=9501a122>
所以一般矩陣展開得到
[A　　B] [E　　F]　[A*E+B*G 　A*F+B*H]
[C　　D]*[G　　H]＝[C*E+D*G　 C*F+D*H]　…Ｂ５６式

此時再回頭看
[cosθ　　-sinθ] [ cosθ　　sinθ]
[sinθ　　 cosθ]*[-sinθ　　cosθ]
展開得到
[cosθ*cosθ+(-sinθ)*(-sinθ)　　cosθ*sinθ+(-sinθ)*cosθ]
[sinθ*cosθ+cosθ*(-sinθ)　　　 sinθ*sinθ+cosθ*cosθ　 ]
也就是矩陣的「一」﹕
[1　　0]
[0　　1]
因為 sinθ*sinθ+cosθ*cosθ = 1
　　 sinθ*cosθ+cosθ*(-sinθ) = 0

<a name=9501a123>
這個結果告訴我們﹕
從主軸系用Ｂ２１式轉出去，再用Ｂ１８式轉回來，結果
還原。

是還原嗎？Ｂ５５式
[x]　 [cosθ　　-sinθ] [ cosθ　　sinθ] [x]
[y] = [sinθ　　 cosθ]*[-sinθ　　cosθ]*[y]

變為（注意﹕矩陣的「一」）
[x]　 [1　　0] [x]
[y] = [0　　1]*[y]

展開為
[x]　 [1*x + 0*y]   [x]
[y] = [0*x + 1*y] = [y]
確實還原。所以，

<a name=9501a124>
若用錯公式，本想順時鐘轉出去，結果是逆時鐘轉出去！
必須小心。

每到可以校對的一步時，立即校對，如果有誤，馬上追蹤
及更正。

本卷在Ｂ４７式前後校對Ｂ４４式，
本卷在台北、洛杉磯弧度距離處校對。
到目前還沒有矛盾。

95,01,13,09,47止


<a name=9501a125>
95,01,13,12,37始
幾個轉動矩陣相乘，會有何種結果？

第一轉﹕以z 軸為轉軸，轉（起點城市之）經度角Φ
[x']　 [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y'] = [-sinΦ　cosΦ　０]*[y]　　　………Ｂ２５式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

轉動之後，原坐標系統ｘｙｚ變為第一次轉後坐標系統
ｘ′ｙ′ｚ′

<a name=9501a126>
第二轉﹕以第一次轉後坐標系統ｘ′ｙ′ｚ′的y′軸為轉軸，
轉（起點城市之）緯度角-Λ度，以下述公式表示﹕
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [x']
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[y']　……Ｂ２６式
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [z']

<a name=9501a127>
Ｂ２５式代入Ｂ２６式，消去ｘ′ｙ′ｚ′得到下述公式
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２７式
此處改用簡單表示法

Ｂ２７式又為
[X"] = [M]*[X]
Ｂ２８式及Ｂ２９式從右端逐次展開
。

<a name=9501a128>
Ｂ３７式又為
[X"']= [N]*[X]
也是從右端逐次展開
。

●　現在如果維持最右端的
●　 [x]
●　*[y]
●　 [z]
●　不動，同時展開中間的方矩陣，
●　（本節改變處）

得到如下結果

<a name=9501a129>
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２７式
以上是兩個單轉矩陣之原形，
以上是兩個單轉矩陣之乘積，
[x"]　 [cos(-Λ)*cosΦ 　cos(-Λ)*sinΦ 　-sin(-Λ)] [x]
[y"] = [ -sinΦ　 　　　 cosΦ　 　　　　　　　　０]*[y]
[z"]   [sin(-Λ)*cosΦ　 sin(-Λ)*sinΦ　  cos(-Λ)] [z]

簡化
[x"]　 [cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)] [x]
[y"] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]*[y]
[z"]   [-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５７式

<a name=9501a130>
此式不同於Ｂ２８式、Ｂ２９式，在於Ｂ５７式右端有
●　 [x]
●　*[y]
●　 [z]

按照同樣的方法把Ｂ３７式改寫如下（保留 x, y, z）

[x"']　 [ １　　 ０　　 ０] [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y"'] = [ ０　cosΔ　sinΔ]*[ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z"']   [ ０ -sinΔ　cosΔ] [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５８式
將Ｂ５７式代入Ｂ５８式有（保留 x, y, z）

[x"']　 [ １　　 ０　　 ０] [cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)] [x]
[y"'] = [ ０　cosΔ　sinΔ]*[ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]*[y]
[z"']   [ ０ -sinΔ　cosΔ] [-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)] [z]

展開中間矩陣（保留 x, y, z）

<a name=9501a131>
[x"']　 [ cosΛ*cosΦ　　 　　 　　 　
[y"'] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ
[z"']   [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ

　　　　　　　　　　cosΛ*sinΦ
　　　　　　　　　　cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ
　　　　　　　　　 -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ

　　　　　　　　　　　　　sinΛ　　　] [x]
　　　　　　　　　　　　　sinΔ*cosΛ]*[y]
　　　　　　　　　　　　　cosΔ*cosΛ] [z]
　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５９式
95,01,13,13,18此

<a name=9501a132>
參考
[x']　 [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y'] = [-sinΦ　cosΦ　０]*[y]　　　………Ｂ２５全式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

令矩陣
　　　  [ cosΦ　sinΦ　０]
[Ｌz] = [-sinΦ　cosΦ　０]
　　　  [　　０ 　　０　１]

Ｂ２５式簡寫為
[X'] = [Lz]*[X]　　　　　　　　　………Ｂ２５簡式


<a name=9501a133>
參考
[x"]　 [cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)] [x]
[y"] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]*[y]
[z"]   [-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５７全式
令矩陣
　　　 [cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)]
[Ｍ] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]
　　　 [-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)]

Ｂ５７式簡寫為
[X"] = [M]*[X]　　　　　　　　　　　………Ｂ５７簡式


<a name=9501a134>
參考
[x"']　 [ cosΛ*cosΦ　　 　　 　　 　
[y"'] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ
[z"']   [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ

　　　　　　　　　　cosΛ*sinΦ
　　　　　　　　　　cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ
　　　　　　　　　 -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ

　　　　　　　　　　　　　sinΛ　　　] [x]
　　　　　　　　　　　　　sinΔ*cosΛ]*[y]
　　　　　　　　　　　　　cosΔ*cosΛ] [z]
　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５９全式

<a name=9501a135>
令矩陣
　　　 [ cosΛ*cosΦ　　 　　 　　 　
[Ｎ] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ
　　　 [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ

　　　　　　　　　　cosΛ*sinΦ
　　　　　　　　　　cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ
　　　　　　　　　 -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ

　　　　　　　　　　　　　sinΛ　　　]
　　　　　　　　　　　　　sinΔ*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　cosΔ*cosΛ]

<a name=9501a136>
Ｂ５９式簡寫為
[X"'] = [N]*[X]　　　　　………Ｂ５９簡式

Ｂ２５簡全、Ｂ５７簡全、Ｂ５９簡全三者最右端都保留
●　 [x]
●　*[y]
●　 [z]
是重點，下面分析轉動矩陣特徵 [x,y,z]不能介入。

轉動矩陣之特徵為
第一﹕轉動矩陣之行列式值為正一（右手轉動）
第二﹕轉動矩陣之任意二行互相垂直，任意二列互相垂直。
第三﹕轉動矩陣之調矩陣與其反矩陣相同。
首先核對一個轉動矩陣是否有性質一、二，然後分別說明三
個性質。

Ｂ２５式太簡單，
Ｂ５９式太繁雜，
以
Ｂ５７式為例。

95,01,13,13,39此

<a name=9501a137>
首先核對行列式值，確定計算無誤。

下面是Ｂ５７式的矩陣
　　　 [cosΛ*cosΦ 　　cosΛ*sinΦ 　　sinΛ]
[Ｍ] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　０]
　　　 [-sinΛ*cosΦ　 -sinΛ*sinΦ　 　cosΛ]

[Ｍ]行列式值為
 cosΛ*cosΦ*cosΦ*cosΛ+sinΛ*(-sinΦ)*(-sinΛ*sinΦ)
-sinΛ*cosΦ*(-sinΛ*cosΦ)-cosΛ*sinΦ*(-sinΦ)*cosΛ
=
cosΛ*cosΦ*cosΦ*cosΛ+sinΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ
sinΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ+cosΛ*sinΦ*sinΦ*cosΛ
=
 cosΛ*cosΦ*cosΦ*cosΛ
+sinΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ
+sinΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ
+cosΛ*sinΦ*sinΦ*cosΛ
=
 cosΛ*cosΛ*cosΦ*cosΦ
+sinΛ*sinΛ*sinΦ*sinΦ
+sinΛ*sinΛ*cosΦ*cosΦ
+cosΛ*cosΛ*sinΦ*sinΦ
=
 cosΛ*cosΛ*cosΦ*cosΦ
+sinΛ*sinΛ*cosΦ*cosΦ
+sinΛ*sinΛ*sinΦ*sinΦ
+cosΛ*cosΛ*sinΦ*sinΦ
=
 1*cosΦ*cosΦ
+1*sinΦ*sinΦ
=
 1
95,01,13,13,46此

<a name=9501a138>
以上核對[Ｍ]矩陣行列式值，
以下核對[Ｍ]矩陣各行是否正交。

　　　 [cosΛ*cosΦ 　　cosΛ*sinΦ 　　sinΛ]
[Ｍ] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　０]
　　　 [-sinΛ*cosΦ　 -sinΛ*sinΦ　 　cosΛ]

用向量之點積核對二行與三行正交性（忽略第一行）

略 cosΛ*cosΦ 　　cosΛ*sinΦ 　　sinΛ 略
 [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　０]
 [-sinΛ*cosΦ　 -sinΛ*sinΦ　 　cosΛ]

<a name=9501a139>
二行向量點積三行向量
(-sinΦ)*(-sinΛ*cosΦ)+cosΦ*(-sinΛ*sinΦ)+０*cosΛ
=
  sinΦ *  sinΛ*cosΦ -cosΦ*  sinΛ*sinΦ +０
=
  sinΦ*sinΛ*cosΦ
 -cosΦ*sinΛ*sinΦ
= ０
[Ｍ]的二行及三行正交為真。

<a name=9501a140>
以下看[Ｍ]的一行及三行正交性（忽略第二行）

 [cosΛ*cosΦ 　　cosΛ*sinΦ 　　sinΛ]
略 -sinΦ　  　  　 cosΦ  　　　　　０略
 [-sinΛ*cosΦ　 -sinΛ*sinΦ　 　cosΛ]

一行向量點積三行向量
cosΛ*cosΦ*(-sinΛ*cosΦ)+cosΛ*sinΦ*(-sinΛ*sinΦ)
+sinΛ*cosΛ
=
-cosΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ-cosΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ
+sinΛ*cosΛ
=
-cosΛ*cosΦ*sinΛ*cosΦ
-cosΛ*sinΦ*sinΛ*sinΦ
+sinΛ*cosΛ
=
-cosΛ*sinΛ*cosΦ*cosΦ
-cosΛ*sinΛ*sinΦ*sinΦ
+sinΛ*cosΛ
=
-cosΛ*sinΛ*(cosΦ*cosΦ+sinΦ*sinΦ)
+sinΛ*cosΛ
=
-cosΛ*sinΛ*1
+sinΛ*cosΛ
= ０
[Ｍ]的一行及三行正交為真。

<a name=9501a141>
以下看[Ｍ]的一行及二行正交性（忽略第三行）

 [cosΛ*cosΦ 　　cosΛ*sinΦ 　　sinΛ]
 [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　０]
略-sinΛ*cosΦ　 -sinΛ*sinΦ　 　cosΛ略

一行向量點積二行向量
cosΛ*cosΦ*(-sinΦ)+cosΛ*sinΦ*cosΦ+sinΛ*０
=
-cosΛ*cosΦ*sinΦ
+cosΛ*sinΦ*cosΦ+０
=
-cosΛ*sinΦ*cosΦ
+cosΛ*sinΦ*cosΦ
= ０
[Ｍ]的一行及二行正交為真。

矩陣[Ｍ]的正交為真，同時
矩陣[Ｍ]的行列式值為一，
所以導證無誤。
95,01,13,14,10止

<a name=9501a142>
95,01,13,15,10始
列出本卷使用之轉動矩陣如下﹕

繞x 軸轉動
　　　 [ １　　 ０　　 ０]
[Ｌx]= [ ０　cosθ　sinθ]　　　………Ｂ６０式
　　　 [ ０ -sinθ　cosθ]

繞y 軸轉動
　　　 [cosθ　０　-sinθ]
[Ｌy]= [ 　０　１　　　０]　　　………Ｂ６１式
　　　 [sinθ　０　 cosθ]

繞z 軸轉動
　　　 [ cosθ　sinθ　０]
[Ｌz]= [-sinθ　cosθ　０]　　　………Ｂ６２式
　　　 [　　０ 　　０　１]

<a name=9501a143>
先繞z 轉經度角Φ，再繞y'軸轉緯度角Λ
　　　 [cosΛ*cosΦ 　　cosΛ*sinΦ 　　sinΛ]
[Ｍ] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　０　]
　　　 [-sinΛ*cosΦ　 -sinΛ*sinΦ　 　cosΛ]
　　　………Ｂ６３式

<a name=9501a144>
先繞z 轉經度角Φ，再繞y'軸轉緯度角Λ，再繞x"軸轉Δ
　　　 [ cosΛ*cosΦ　　 　　 　　 　
[Ｎ] = [-cosΔ*sinΦ-sinΔ*sinΛ*cosΦ
　　　 [ sinΔ*sinΦ-cosΔ*sinΛ*cosΦ

　　　　　　　　　　cosΛ*sinΦ
　　　　　　　　　　cosΔ*cosΦ-sinΔ*sinΛ*sinΦ
　　　　　　　　　 -sinΔ*cosΦ-cosΔ*sinΛ*sinΦ

　　　　　　　　　　　　　sinΛ　　　]
　　　　　　　　　　　　　sinΔ*cosΛ]
　　　　　　　　　　　　　cosΔ*cosΛ]
　　　………Ｂ６４式

<a name=9501a145>
這幾個轉動矩陣共同特徵是
●　公式維持維持最右端的
●　 [x]
●　*[y]
●　 [z]
●　不變。

為什麼維持最右端的[X]矩陣不變呢？參考Ｂ５７式

[x"]　 [cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)] [x]
[y"] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]*[y]
[z"]   [-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ５７全式

[X"] = [M]*[X]　　　　　　　　　　　………Ｂ５７簡式

Ｂ５７式表示由原始坐標[X] 經一次轉動到達[X"]，

<a name=9501a146>
請對照　　　由原始坐標[X] 經兩次轉動到達[X"]的
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２７式

Ｂ６３式的[Ｍ]矩陣及Ｂ６４式的[Ｎ]矩陣都如同
Ｂ６０式、Ｂ６１式、Ｂ６２式基本轉動矩陣一樣，一次
從起點轉到終點。
<a name=9501a147>
這些轉動矩陣有什麼共同性質？
如何判別一個矩陣是否為轉動矩陣？
右手律轉動與左手律轉動區別何在？

我們可以從最簡單的轉動矩陣看出端倪，因為最簡單的轉
動矩陣與最複雜的轉動矩陣必須具有相同性質。

什麼是「最簡單的轉動矩陣」呢？
「轉動」角度為零度是「最簡單的轉動矩陣」。

以最常用的
　　　 [ cosθ　sinθ　０]
[Ｌz]= [-sinθ　cosθ　０]　　　………Ｂ６２式
　　　 [　　０ 　　０　１]
為例。（紙面上橫軸是 x軸，縱軸是 y軸，最常用）

<a name=9501a148>
Ｂ６２式中令θ＝０度，得到最簡單的轉動矩陣

　　　 [　１　　０　　０]
[Ｉ]=　[　０　　１　　０]　　　………Ｂ６５式
　　　 [　０　　０　　１]

這個最簡單的轉動矩陣的行列式值為正一，
這個最簡單的轉動矩陣的任何兩列互相垂直，也就是
任何兩列的點積為零，(1*0 + 0+1 + 0*0 = 0)
任何兩行的點積也為零。

95,01,13,16,05此

<a name=9501a149>
轉動矩陣的行列式值為正一，這是因為Ｂ６５式的主
對角線元素乘積為 1*1*1 = 1
任何其他的（副）對角線元素乘積皆為零，故
轉動矩陣的行列式值為正一。

可能有人會問，如果定義最簡單的轉動矩陣為
　　　 [　２　　０　　０]
[Ｊ]=　[　０　　３　　０]
　　　 [　０　　０　　４]
那麼它的矩陣行列式值就不是一了。
這種[Ｊ]矩陣除了轉動之外，同時有伸縮，因為
轉前的ｘ變為轉後的２ｘ
轉前的ｙ變為轉後的３ｙ
轉前的ｚ變為轉後的４ｚ
「轉動伴有伸縮」不符合物理現象。

最簡單的轉動矩陣[Ｉ]的行列式值為正一，轉動不會產生
伸縮，幾次轉動之後的復合矩陣（[Ｍ]及[Ｎ]矩陣）其行
列式值必須為正一。

<a name=9501a150>
所以轉動矩陣第一個判別條件是　（第二、第三特徵）
●　一個合理的右手轉動矩陣，其行列式值為正一
●　一個合理的左手轉動矩陣，其行列式值為負一
●　轉動矩陣之縱列向量、橫行向量長度為一。

<a name="hide01">













<a name=9501a151>
下面請看轉動矩陣第二個判別條件。

最簡單的轉動矩陣[Ｉ]及一次轉動之後的簡單轉動矩陣

　　　 [ cosθ　sinθ　０]
[Ｌz]= [-sinθ　cosθ　０]　　　………Ｂ６２式
　　　 [　　０ 　　０　１]

它們的橫行（縱列）實際上是轉後坐標軸以原始坐標系表
示的向量。

[Ｉ]矩陣就是它自己，不用說。

[Ｌz]矩陣請看

<a name=9501a152>
圖○七


[x']　 [ cosθ　sinθ　０] [x]
[y'] = [-sinθ　cosθ　０]*[y]　　　　………Ｂ２２式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

第一行 [ cosθ　sinθ　０] 是什麼？看不出來，展開
得到
x' = x*cosθ + y*sinθ + z*０

這是轉動前x,y,z 坐標軸在轉動後 x' 軸上的分量和！
轉動矩陣之坐標軸由轉後坐標軸在轉前坐標系統的分量組
成。

至此，得到關鍵條件﹕

坐標轉動，軸際夾角不變，保持九十度。物理現象、事實。

<a name=9501a153>
轉動矩陣第二個判別條件是　（第一、第三特徵）
●　一個合理的轉動矩陣，其各列之間互相垂直。
●　數學運算，反應事實。（各行之間也互相垂直）
<a name="hide02">














95,01,13,16,45止


<a name=9502a001>
95,02,05,08,42始
如何構成轉動矩陣？

轉動矩陣的觀念非常簡單，
轉動矩陣如同商店裏貨品的單價，表示長度為一的向量之
轉動結果，實際工作時，待轉動向量可以為任意值（我們
可以購買任意數量商品），這種方法使任意向量按照轉動
規則做正確的轉動。請看9502a1圖。

這是平面轉動，先看ｘ軸之單位長度（等於一）轉動。
此時令ｘ＝１及令ｙ＝０，代入轉動公式得到紅色縱列，
（藍色縱列乘以零消失，矩陣之展開請看9501a6圖）
●　紅色縱列是轉前坐標ｘ軸之單位長度在轉後坐標之
●　分量配置。
同理，令ｘ＝０及令ｙ＝１，得到
●　藍色縱列是轉前坐標ｙ軸之單位長度在轉後坐標之
●　分量配置。

<a name=9502a002>
[ cosθ]
[-sinθ]
[　　０]
是縱列向量，

[ cosθ　　-sinθ　　０]　是橫行向量。
在矩陣表示法中經常出現縱列向量。

矩陣之展開，參與向量是縱列向量？或是橫行向量？非常
重要，應該為縱列向量的地方如果誤置橫行向量，則無法
展開。請看三階矩陣矩陣之展開規則9501a6圖，
二階矩陣展開規則﹕第一行、第一列　第一行、第二列
第二行、第一列　第二行、第二列　一般二階矩陣展開

ｘｙｚ應該為縱列向量才能展開，若ｘｙｚ改為橫行向量
，則無法展開。
（Ａ可乘ｘ，但是Ｂ無ｙ可乘、Ｃ無ｚ可乘，無法展開）

<a name=9502a003>
平面轉動矩陣是立體轉動矩陣之特例，就立體轉動矩陣之
通則而言﹕

轉　〔轉前ｘ軸 | 轉前ｙ軸 | 轉前ｚ軸〕
動＝〔在轉後坐 | 在轉後坐 | 在轉後坐〕　…Ｂ６６式
矩　〔標系的分 | 標系的分 | 標系的分〕
陣　〔量向量。 | 量向量。 | 量向量。〕

轉動矩陣＝三個縱列向量之組合。
一次轉動的轉動矩陣請看Ｂ２２式、Ｂ２３式、Ｂ２４式
二次轉動的轉動矩陣請看Ｂ５７式
三次轉動的轉動矩陣請看Ｂ５９式

繞ｚ軸之一次轉動轉前ｘｙｚ坐標及轉後ｘ'ｙ'ｚ'坐標
共用ｚ軸，所以向量之ｚ軸分量不變。「ｚ軸分量不變」
在三度空間轉動矩陣表示為「１」，任何數乘１，其值不
變。請看9502a2圖。


95,02,05,09,54止

<a name=9502a004>
95,02,05,10,40始
建立轉動矩陣時，ｘｙｚ可有一者令為一，另二者必須為
零，因為「轉動矩陣」是針對向量長度為一而建立的基準
。
如果ｘｙ同時為一，向量長度變為√（１×１＋１×１）
＝√２＝１•４１４２１３６＞１，違反單位長度規則。
建立轉動矩陣後，ｘｙｚ可為任意值。

建立第一次轉動矩陣之轉前坐標ｘｙｚ可以令為一，
使用第二次轉動矩陣之轉前坐標x'不可直接令為一！
因為x'必須包括第一次轉動的信息。
x'y'必須有 sinφ及 cosφ
其中「φ」代表第一次轉動之轉角。

<a name=9502a005>
轉前坐標在兩次轉動之後的分量如何分布？

先繞ｚ軸轉Φ弧度，再繞ｙ軸轉 -Λ弧度
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２７式

兩次轉動之結果為Ｂ２９式
[x"]　 [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ)  + 0         +  z*sinΛ ]
[y"] = [ 　  0          +  (-x*sinΦ+y*cosΦ) +    0     ]
[z"]   [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ)  +0          +  z*cosΛ ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　………Ｂ２９式
<a name=9502a006>
如何理解二次轉動公式Ｂ２９式？

在Ｂ２９式中令ｘ＝１及令ｙ＝０及令ｚ＝０
（沿轉前ｘ軸長度為一的向量）得到

[x"]　 [cosΛ*( 1*cosΦ+0*sinΦ)  + 0         +  0*sinΛ ]
[y"] = [ 　  0          +  (-1*sinΦ+0*cosΦ) +    0     ]
[z"]   [-sinΛ*(1*cosΦ+0*sinΦ)  +0          +  0*cosΛ ]

故轉前ｘ軸長度為一的單位向量在兩次轉動之後在x"y"z"
軸系的分布為
[x"]　 [ cosΛ*cosΦ]
[y"] = [ -sinΦ     ]
[z"]   [-sinΛ*cosΦ]

（上面類似單價，糯米每斤二元； 9504170937
　下面類似需量，要五斤 x=5 ）
<a name=9502a007>
如果ｘ不＝１，填入「x*」得到
[x"]　 [ x*cosΛ*cosΦ]
[y"] = [ -x*sinΦ     ]
[z"]   [-x*sinΛ*cosΦ]

同理，在Ｂ２９式中令ｘ＝０及令ｙ＝ｙ及令ｚ＝０
（沿轉前ｙ軸長度為任意的向量）得到
[x"]　 [ y*cosΛ*sinΦ]
[y"] = [ +y*cosΦ     ]
[z"]   [-y*sinΛ*sinΦ]

同理，在Ｂ２９式中令ｘ＝０及令ｙ＝０及令ｚ＝ｚ
（沿轉前ｚ軸長度為任意的向量）得到
[x"]　 [ z*sinΛ]
[y"] = [   0    ]
[z"]   [ z*cosΛ]

<a name=9502a008>
轉前向量ｘ軸分量在轉後x"軸的分量為 x*cosΛ*cosΦ
轉前向量ｙ軸分量在轉後x"軸的分量為 y*cosΛ*sinΦ
轉前向量ｚ軸分量在轉後x"軸的分量為 z*sinΛ
因為三者都在轉後x"軸，可以相加，所以有Ｂ２９式第一
行公式
x" = cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + 0 + z*sinΛ

同理可以解釋Ｂ２９式第二行公式
轉前向量ｘｙｚ三軸分量在轉後y"軸的分量和為
y" =  0 + (-x*sinΦ+y*cosΦ) + 0

同理可以解釋Ｂ２９式第三行公式
轉前向量ｘｙｚ三軸分量在轉後z"軸的分量和為
z" = -sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) +0 + z*cosΛ

<a name=9502a009>
因為所有轉動都依照規則進行，所以Ｂ２９式是二次轉動
之正確表達公式。

假設向量在轉前坐標的分量為ｘ＝３、ｙ＝４、ｚ＝５
只要對原本長度為一之轉動矩陣乘以倍數就得到轉動結果
如下

[x"]　 [cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ)  + 0         +  z*sinΛ ]
[y"] = [ 　  0          +  (-x*sinΦ+y*cosΦ) +    0     ]
[z"]   [-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ)  +0          +  z*cosΛ ]

　 　  [cosΛ*( 3*cosΦ+4*sinΦ)  + 0         +  5*sinΛ ]
　   = [ 　  0          +  (-3*sinΦ+4*cosΦ) +    0     ]
　     [-sinΛ*(3*cosΦ+4*sinΦ)  +0          +  5*cosΛ ]


如果指定轉角Λ及Φ，代入上式，可以得到純數字解。

以上是如何理解二次轉動公式Ｂ２９式？

<a name=9502a010>
再走一步就可以找到大圓通式。

Ｂ３７式是繼先繞ｚ軸轉Φ弧度，再繞ｙ軸轉 -Λ弧度
之後，再繞ｘ軸轉Δ弧度的公式，推理相同，結果為
Ｂ３８式、Ｂ３９式、Ｂ４０式

在三次轉後坐標系中大圓為該系赤道，仰角λ"'＝０

根據
λ＝ａｒｃｓｉｎ（ｚ／ｒ）　　　　　………Ｂ１２式

在三次轉動之後傾斜大圓坐標系有
λ"'＝ａｒｃｓｉｎ（ｚ"'／ｒ"'）
λ"'＝０等於要求ｚ"'＝０

<a name=9502a011>
所以令Ｂ４０式
z"' = -sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]
為零，得到Ｂ４１式
略為整理之後得到通用的大圓公式。
95,02,05,12,10止

<a name=section03>
╔════════════════════════╗
║　變更段落，以上大圓公式，起點城市在大圓任何點　║
║　變更段落，以下大轉不是向量，小轉「算是」向量　║
╚════════════════════════╝

<a name=9502a012>
95,02,06,12,32始
下面討論﹕大轉不是向量，小轉算是向量？

如果一個物理量有長短也有方向，我們可以定義此物理量
為向量。向量有計算規則，這就是﹕
兩個向量和（下圖之OC）之沿軸（xyz三軸）分量（OM）
為兩個向量（OA, AC）沿軸分量之和。（OD+DM=OM）

95,02,06,12,40此

95,02,06,13,40始
<a name=9502a013>
請看9502a3圖


兩個向量和為綠線OC
兩個向量和之沿ｘ軸分量為綠線OM
兩個向量沿ｘ軸分量分別為OD及DM
沿ｘ軸分量有OD加DM等於OM，同理
沿ｙ軸分量有OE加EN等於ON。

以上是9502a3圖左側OA+OB=OC
<a name=9502a014>
以下是9502a3圖右側OB+OA=OC

兩個向量和為綠線OC
兩個向量和之沿ｙ軸分量為綠線ON
兩個向量沿ｙ軸分量分別為OG及GN
沿ｙ軸分量有OG加GN等於ON，同理
沿ｘ軸分量有OF加FM等於OM。

我們可以發現 OA+OB=OB+OA，也就是
兩個向量相加，先後次序無關，結果相同。

<a name=9502a015>
●　如果一個物理量有大小、有方向，但是，
●　相加時先後次序有關，結果不同，
●　這種物理量不能稱為向量！
●　因為這種物理量不遵循向量之基本規則。

<a name=9502a016>
下面請看9502a4圖，大轉不是向量。（坐標軸不轉動）

圖源9502a4, Principles of Physics and Chemestry
J.B.Brackenridge, R.M.Rosenberg; McGraw-Hill 1970
第 140頁

事實擺在眼前，不必多說，確定大轉不是向量！因為
先繞ｘ軸再繞ｚ軸轉動的結果與
先繞ｚ軸再繞ｘ軸轉動的結果不同。

<a name=9502a017>
上物理課，講到轉動時，老師可能會說﹕
「大角轉動不是向量，但是小角轉動算是向量。」

「算是」是一種勉強、近似的用詞。
為什麼大角轉動不是向量，但是小角轉動算是向量？
分界點在那裏？
分界點大角側與分界點小角側有什麼改變？
對初學者而言，這是非常困惑的問題。
95,02,06,14,10止

<a name=9502a018>
95,02,06,16,47始
如果只憑口述、或只畫小角轉動圖片，都不能澄清疑問。
為了瞭解為什麼從不是向量變為算是向量，最好的方法是
從數學著手，看那一步有什麼改變，才能達到轉變的目的
，從數學也可以瞭解﹕得到向量性質之後，又失去什麼？

為了數學分析小角轉動，需要計算
「先ｘ後ｚ」的轉動公式，Ｂ７０式及
「先ｚ後ｘ」的轉動公式，Ｂ７１式。
然後比較Ｂ７０式及Ｂ７１式之差異。小角轉動分析讓坐標
系統固定，令物體轉動，9502a4圖用一本書對固定坐標系
統轉動。但是，前面導出的公式是物體不動，坐標系統轉動。

Ｂ２２式是討論點不動，坐標軸系繞ｚ軸轉動的公式，
Ｂ２３式是討論點不動，坐標軸系繞ｙ軸轉動的公式，
Ｂ２４式是討論點不動，坐標軸系繞ｘ軸轉動的公式。

討論點與坐標軸系有相對運動，如果坐標軸系不轉，而是
轉動討論點，此時將上述三公式的角度θ改為負角－θ即
可。請注意﹕cos(-θ)=cosθ及sin(-θ)=-sinθ 。

<a name=9502a019>
Ｂ２２式將轉角θ異號之後為
[x']　 [ cosθ -sinθ　０] [x]
[y'] = [+sinθ　cosθ　０]*[y]　　　………Ｂ６７式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]
這是坐標軸不動，討論點繞ｚ軸轉動θ的公式。
<a name=9502a020>
Ｂ２３式將轉角θ異號之後為
[x']　 [ cosθ　０ +sinθ] [x]
[y'] = [  　０　１ 　　０]*[y]　　　………Ｂ６８式
[z']   [-sinθ  ０　cosθ] [z]
這是坐標軸不動，討論點繞ｙ軸轉動θ的公式。
<a name=9502a021>
Ｂ２４式將轉角θ異號之後為
[x']　 [ １　　 ０　　 ０] [x]
[y'] = [ ０　cosθ -sinθ]*[y]　　　………Ｂ６９式
[z']   [ ０ +sinθ　cosθ] [z]
這是坐標軸不動，討論點繞ｘ軸轉動θ的公式。

95,02,06,17,10此

<a name=9502a022>
我們按照9502a4圖的情況轉動


首先求「先ｘ後ｚ」的轉動公式。

<a name=9502a023>
先ｘ是（以α表示ｘ軸轉角，各軸轉角不必相同）
[x']　 [ １　　 ０　　 ０] [x]
[y'] = [ ０　cosα -sinα]*[y]　　　………Ｂ６９式
[z']   [ ０ +sinα　cosα] [z]

後ｚ是（以γ表示ｚ軸轉角，轉角可正可負）
[x"]　 [ cosγ -sinγ　０] [x']
[y"] = [+sinγ　cosγ　０]*[y'] 　　………Ｂ６７式
[z"]   [　　０ 　　０　１] [z']

以Ｂ６９式代入Ｂ６７式，消除x'y'z'
[x"]　 [ cosγ -sinγ　０] [ １　　 ０　　 ０] [x]
[y"] = [+sinγ　cosγ　０]*[ ０　cosα -sinα]*[y]
[z"]   [　　０ 　　０　１] [ ０ +sinα　cosα] [z]

<a name=9502a024>
請看三階矩陣矩陣之展開規則9501a6圖，
「先ｘ後ｚ」的轉動公式如下﹕
[x"]　 [ cosγ -sinγ*cosα　 sinγ*sinα] [x]
[y"] = [+sinγ　cosγ*cosα　-cosγ*sinα]*[y]
[z"]   [　　０ 　　sinα　 　　　cosα　 ] [z]
　　　………Ｂ７０式

以上Ｂ７０式是通式，角度γ，α隨意。
以下用特例核對公式，指定γ=90°，α=-90°如下。

9502a4圖左上圖表示﹕沿ｘ軸轉負九十度！因為右手握拳
，右手大拇指指向ｘ軸，另外四指為正角轉動方向，左上
角的圖轉角箭頭與四指轉向相反，故為沿ｘ軸轉負九十度
。Ｂ７０式中令α等於負九十度。

<a name=9502a025>
9502a4圖中上圖表示﹕沿ｚ軸轉正九十度。Ｂ７０式中令
γ等於正九十度。Ｂ７０式的數字公式為

[x"]　 [ cos90 -sin90*cos(-90)　 sin90*sin(-90)] [x]
[y"] = [+sin90　cos90*cos(-90)　-cos90*sin(-90)]*[y]
[z"]   [　　０ 　　sin(-90)　 　　　cos(-90)　 ] [z]

    　 [    ０ 　　０　　-１] [x]
     = [　　１　　 ０　　 ０]*[y]
       [　　０　　-１　 　０] [z]

簡化，得到
[x"]　 [-z]
[y"] = [+x]
[z"]   [-y]

<a name=9502a026>
9502a4圖中「甲」點（紅點）坐標為[x, y, z] = [1, 0, 0]

核對﹕轉前 [x, y, z] = [1, 0, 0] (x=1, y=0, z=0)
　　　轉後 [x",y",z"]= [0, 1, 0] (x"=0,y"=1,z"=0)

轉動之後「甲」點確實在正ｙ軸上。

95,02,06,18,11此

以上是「先ｘ後ｚ」的轉動公式，Ｂ７０式。

<a name=9502a027>
以下求「先ｚ後ｘ」的轉動公式。

仍然按照9502a4圖的情況轉動


<a name=9502a028>
先ｚ是（以γ表示ｚ軸轉角，轉角可正可負）
[x']　 [ cosγ -sinγ　０] [x]
[y'] = [+sinγ　cosγ　０]*[y] 　　………Ｂ６７式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

後ｘ是（以α表示ｘ軸轉角，各軸轉角不必相同）
[x"]　 [ １　　 ０　　 ０] [x']
[y"] = [ ０　cosα -sinα]*[y']　　　………Ｂ６９式
[z"]   [ ０ +sinα　cosα] [z']

以Ｂ６７式代入Ｂ６９式，消除x'y'z'

[x"]　 [ １　　 ０　　 ０] [ cosγ -sinγ　０] [x]
[y"] = [ ０　cosα -sinα]*[+sinγ　cosγ　０]*[y]
[z"]   [ ０ +sinα　cosα] [　　０ 　　０　１] [z]

<a name=9502a029>
「先ｚ後ｘ」的轉動公式如下

[x"]　 [cosγ　　 　 　　 -sinγ　　　　 ０] [x]
[y"] = [cosα*sinγ　　cosα*cosγ　 -sinα]*[y]
[z"]   [sinα*sinγ　 +sinα*cosγ　　cosα] [z]
　　　………Ｂ７１式

以上Ｂ７１式是通式，角度γ，α隨意。
以下用特例核對公式，指定γ=90°，α=-90°如下。

參考9502a4圖下列三圖，
Ｂ７１式中令α等於負九十度，
Ｂ７１式中令γ等於正九十度。
Ｂ７１式的數字公式為

[x"]　 [cos90　　 　 　　　　 -sin90　　　　　　　０] [x]
[y"] = [cos(-90)*sin90　　cos(-90)*cos90　 -sin(-90)]*[y]
[z"]   [sin(-90)*sin90　 +sin(-90)*cos90　　cos(-90)] [z]

    　 [０　 -１ 　０] [x]
     = [０　　０　 １]*[y]
       [-１　 ０ 　０] [z]

簡化，得到
[x"]　 [-y]
[y"] = [+z]
[z"]   [-x]

<a name=9502a030>
9502a4圖中「乙」點（藍點）坐標為[x, y, z] = [0, -1, 0]

核對﹕轉前 [x, y, z] = [0, -1, 0] (x=0, y=-1, z=0)
　　　轉後 [x",y",z"]= [1,  0, 0] (x"=1,y"=0,z"=0)

轉動之後「乙」點確實在正ｘ軸上。

95,02,06,18,33此

「甲」點及「乙」點只是用以核對公式是否正確，任何一
點錯誤，公式必定錯誤，甲乙兩點正確，公式可能正確。

<a name=9502a031>
為什麼小角轉動算是向量？這個問題必須參考

[x"]　 [ cosγ　-sinγ*cosα　 sinγ*sinα] [x]
[y"] = [+sinγ　 cosγ*cosα　-cosγ*sinα]*[y]
[z"]   [　　０　　　sinα　 　　　cosα　 ] [z]
　　　………Ｂ７０式（「先ｘ後ｚ」的轉動公式）
及
[x"]　 [cosγ　　 　 　　 -sinγ　　　　 ０] [x]
[y"] = [cosα*sinγ　　cosα*cosγ　 -sinα]*[y]
[z"]   [sinα*sinγ　 +sinα*cosγ　　cosα] [z]
　　　………Ｂ７１式（「先ｚ後ｘ」的轉動公式）

<a name=9502a032>
Ｂ７０式及Ｂ７１式對大角為真，對小角也為真。

Ｂ７０式及Ｂ７１式互不相同，大大的不同！

怎麼可能結論小角轉動「先ｘ後ｚ」及「先ｚ後ｘ」得到
相同的結果？不可能！

有的問題必須使用近似值，例如地球質量、地球半徑，無
人知道精確值，又如以任何計算機計算含有圓周率的公式
，圓周率是沒完沒了的值，圓周率等於
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164...
這些計算所得到的數值答案都是近似值。在數學、物理問
題中，經常使用近似法，現在我們用近似法簡化Ｂ７０式及
Ｂ７１式。

<a name=9502a033>
因為我們討論小角轉動，所以假設轉角α及γ都是小值。
所謂小值就是接近於零。

ｃｏｓ（小值）大約等於一
ｓｉｎ（小值）大約等於小值

例如﹕（使用弧度，不是角度）
ｃｏｓ（0.1）＝0.9950041大約等於一
ｓｉｎ（0.1）＝0.0998334大約等於0.1

因為我們討論小角轉動
在Ｂ７０式及Ｂ７１式中令所有cosα＝cosγ＝１
在Ｂ７０式及Ｂ７１式中令所有sinα＝α，sinγ＝γ
得到以下第一次簡化公式

<a name=9502a034>
[x"]　 [ １　-γ　 γ*α] [x]
[y"] = [ γ　 １　 　-α]*[y]
[z"]   [ ０　 α  　　１] [z]
　　　………Ｂ７２式（「先ｘ後ｚ」的「轉動」公式）
及
[x"]　 [１　　 -γ　　０] [x]
[y"] = [γ　　　１　 -α]*[y]
[z"]   [α*γ　 α　　１] [z]
　　　………Ｂ７３式（「先ｚ後ｘ」的「轉動」公式）

簡化之後的Ｂ７２式及Ｂ７３式是否相等呢？顯然不等！

「小角轉動算是向量」能夠成立嗎？

<a name=9502a035>
論者仍然有說詞！請觀察，

Ｂ７２式及Ｂ７３式主對角線都是一，兩旁的側對角線都
是小角一次方（沒有小角相乘），偏遠的右上角及左下角
元素為零，或者是小角相乘。如果小角是零點一，小角乘
小角變為零點零一，更接近零。所以，第二次簡化﹕

●　令α*γ為零。

這一步點到要害，在令α*γ為零之後Ｂ７２式及Ｂ７３式
都簡化為

<a name=9502a036>
[x"]　 [１　　 -γ　　０] [x]
[y"] = [γ　　　１　 -α]*[y]
[z"]   [０　　　α　　１] [z]
　　　………Ｂ７４式（兩次簡化的「轉動」公式）
〔〔
只憑目視就可以判別Ｂ７４式不是轉動矩陣！
〕〕

現在「先ｘ後ｚ」的轉動公式與「先ｚ後ｘ」的轉動公式
終於相同，符合向量相加先後次序無關的條件，所以，
我們可以說「小角轉動算是向量。」

使用「算是」，因為經過兩次簡化。

那麼，什麼角度開始算是小角？大約是零點一弧度吧。
這是沒有標準的事，如果在課堂老師說﹕「零點零二弧度
算是小角」，當然以老師意見為標準，因為老師評分呀！

對許多事情，我們經常患得患失，現在我們得到「小角轉
動算是向量。」的便利，有沒有損失呢？

<a name=9502a037>
大家必須知道﹕
Ｂ７０式及Ｂ７１式對大角為真，對小角也為真。
Ｂ７０式及Ｂ７１式符合轉動矩陣之要求

●　一個合理的右手轉動矩陣，其行列式值為正一
●　一個合理的左手轉動矩陣，其行列式值為負一
●　轉動矩陣之縱列向量、橫行向量長度為一。

●　一個合理的轉動矩陣，其各列之間互相垂直
●　（各行之間也互相垂直）
任何「簡化」，立即摧毀轉動矩陣之特徵，換言之

Ｂ７２式、Ｂ７３式、Ｂ７４式都不是轉動矩陣！

請讀者對照例題○一及例題○二
核對Ｂ７２式、Ｂ７３式、Ｂ７４式是否滿足轉動
矩陣之特徵條件？

至此，希望讀者能夠瞭解
「大角轉動不是向量，但是小角轉動算是向量。」
的理由，也希望讀者能夠瞭解
任何「簡化」，立即摧毀轉動矩陣之特徵！
95,02,06,19,48止

95,04,16,22,38 註始
由 [a name=9502a038] 至 [a name=9502a052]
是「轉動矩陣第三個特徵」，與「小角轉動算是向量」
沒有直接關係，本想把「第三特徵」移至他處，但是
[a name=9502a053]前後沒有時間指標。只有不分
割了。請點擊是不是向量跳過「轉動矩陣第三個特徵」。
95,04,16,22,45 註止

<a name=9502a038>
95,02,08,14,46始
現在討論轉動矩陣第三個特徵﹕　（第一、第二特徵）

由Ｂ５７式
[x"]　 [cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)] [x]
[y"] = [ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]*[y]
[z"]   [-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)] [z]
可以從已知[x, y, z] 計算 [x", y", z"]。
（Ｂ５７式在下面簡化為 [[x"]]=[Ａ]*[[x]]）

反過來，如果已知[x", y", z"]，如何計算[x, y, z]？
也就是
[x]　 [？？　　？？　　？？] [x"]
[y] = [？？　　？？　　？？]*[y"]
[z]   [？？　　？？　　？？] [z"]
問號應該填入什麼值？

定義「調矩陣」﹕
調矩陣是由
原矩陣第一列對調為第一行，
原矩陣第二列對調為第二行，
原矩陣第三列對調為第三行，
餘同。原矩陣可以是任何矩陣，不限於轉動矩陣。

<a name=9502a039>
例如
轉動矩陣
[ cosθ　sinθ　０]
[-sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]
之調矩陣為
[ cosθ -sinθ　０]
[ sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]

又如
[1  4  7]
[2  5  8]
[3  6  9]
之調矩陣為
[1  2  3]
[4  5  6]
[7  8  9]

如果矩陣不是方矩陣
[1  3  5]
[2  4  6]
之調矩陣為
[1  2]
[3  4]
[5  6]

<a name=9502a040>
定義「恆一矩陣」
「恆一矩陣」是主對角線元素全部為一、其餘元素全部為
零的矩陣。「恆一矩陣」必須是方矩陣，縱列數目與橫行
數目相等。
任何方矩陣前乘同階恆一矩陣、該方矩陣不變，
任何方矩陣後乘同階恆一矩陣、該方矩陣不變。

二階「恆一矩陣」如下
[1　　0]
[0　　1]

三階「恆一矩陣」如下
　　　 [　１　　０　　０]
[Ｉ]=　[　０　　１　　０]　　　………Ｂ６５式
　　　 [　０　　０　　１]
餘同。

<a name=9502a041>
定義「反矩陣」
任何方矩陣若其行列式值不為零，則可以找到另外一個方
矩陣與原矩陣相乘（前乘或後乘）得到恆一矩陣。
這種使原矩陣相乘之後變為恆一矩陣之「另外一個方矩陣
」稱為原矩陣之反矩陣。

轉動矩陣
[ cosθ　sinθ　０]
[-sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]
之反矩陣為
[ cosθ -sinθ　０]
[ sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]

<a name=9502a042>
因為原矩陣前乘反矩陣
[ cosθ -sinθ　０]   [ cosθ　sinθ　０]
[ sinθ　cosθ　０] * [-sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]   [　　０ 　　０　１]
得到
[ cosθ*cosθ+sinθ*sinθ  　cosθ*sinθ-sinθ*cosθ    ０]
[ sinθ*cosθ-sinθ*cosθ 　 sinθ*sinθ+cosθ*cosθ    ０]
[　　　　０ 　　　　　　　　　　　　　　０　　　　　　　１]
得到
[ １  　０    ０]
[ ０ 　 １    ０]
[ ０ 　 ０　　１]

<a name=9502a043>
原矩陣後乘反矩陣
[ cosθ  sinθ　０]   [ cosθ -sinθ　０]
[-sinθ　cosθ　０] * [ sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]   [　　０ 　　０　１]
得到
[ cosθ*cosθ+sinθ*sinθ   -cosθ*sinθ*sinθ*cosθ    ０]
[-sinθ*cosθ+cosθ*sinθ 　 sinθ*sinθ+cosθ*cosθ    ０]
[　　　　０ 　　　　　　　　　　　　　　０　　　　　　　１]
得到
[ １  　０    ０]
[ ０ 　 １    ０]
[ ０ 　 ０　　１]

<a name=9502a044>
所以
轉動矩陣
[ cosθ　sinθ　０]
[-sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]
之反矩陣為
[ cosθ -sinθ　０]
[ sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]

注意觀察，可以發覺﹕
轉動矩陣之調矩陣與轉動矩陣之反矩陣相同

<a name=9502a045>
轉動矩陣第三個特徵為﹕　（第一、第二特徵）
●　轉動矩陣之調矩陣與轉動矩陣之反矩陣相同。

因為轉動矩陣具有各縱列向量長度為一的性質，
同時轉動矩陣具有縱列向量互相垂直的性質，所以

轉動矩陣與其調矩陣相乘的結果只有兩類﹕
主對角線上元素自乘得一（坐標軸長為一），
主對角線外元素相乘得零（坐標軸互相垂直）。
轉動矩陣與其調矩陣相乘得到恆一矩陣，但是
轉動矩陣與其反矩陣相乘也得到恆一矩陣，故結論
●　轉動矩陣之調矩陣就是轉動矩陣之反矩陣。

這是非常特別的結論，只對坐標軸長為一、坐標軸互相垂
直的轉動矩陣為真，其他矩陣無此性質。

<a name=9502a046>
回到前面的問題，問號應該填入什麼值？
[x]　 [？？　　？？　　？？] [x"]
[y] = [？？　　？？　　？？]*[y"]
[z]   [？？　　？？　　？？] [z"]
答案是﹕問號應該填入反矩陣。

以[Ａ]代表原矩陣，
以[反Ａ]代表反矩陣，
以[[x]]代表（對調）[x, y, z]
以[[x"]]代表（對調）[x", y", z"]
以[Ｉ]代表恆一矩陣。

〔〔
註
[x, y, z] 是橫行向量

（對調）[x, y, z] 需要對橫行向量執行一次對調操作，
（對調）[x, y, z] 是縱列向量。

為了節省空間，使用佔用一行的「（對調）[x, y, z] 」
不用佔用三行的
[x]
[y]
[z]

95,02,08,20,23
〕〕

<a name=9502a047>
原題為Ｂ５７式
[[x"]]=[Ａ]*[[x]]

全式前乘[反Ａ]
[反Ａ]*[[x"]]=[反Ａ]*[Ａ]*[[x]]

根據定義，[反Ａ]*[Ａ]=[Ｉ]
[反Ａ]*[[x"]]=[Ｉ]*[[x]]

[Ｉ]*[[x]]就是[[x]]
[反Ａ]*[[x"]]=[[x]]

重新排列
[[x]]=[反Ａ]*[[x"]]

這是從已知[x", y", z"]，計算[x, y, z]的方法。
95,02,08,15,46止
從已知四次轉軸x""y""z""計算地坐標xyz之實例

<a name=9502a048>
95,02,08,19,08始
轉動矩陣
[ cosθ　sinθ　０]
[-sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]
之反矩陣為
[ cosθ -sinθ　０]
[ sinθ　cosθ　０]
[　　０ 　　０　１]

●　轉動矩陣之調矩陣就是轉動矩陣之反矩陣。
有什麼好處嗎？把正弦項 sinθ異號不就完成了嗎？
雖然簡單，不過，沒有麻煩就不能襯托簡單，看看麻煩吧！

<a name=9502a049>
請讀者比較無此特徵之一般矩陣之反矩陣運算如下

以三乘三矩陣為例，通用之原矩陣為
[a11  a12  a13]
[a21  a22  a23]
[a31  a32  a33]

原矩陣之反矩陣通式為
[a22*a33-a23*a32  a13*a32-a12*a33  a12*a23-a13*a22]
[a23*a31-a21*a33  a11*a33-a31*a13  a13*a21-a11*a23]
[a21*a32-a31*a22  a12*a31-a11*a32  a11*a22-a21*a12]
 / (det[A])

假設原矩陣為
[ 1  3  0]
[ 2  6  4]
[-1  0  2]

原矩陣之行列式值(det[A])為 -12

<a name=9502a050>
原矩陣之反矩陣為
[12  -6  12]
[-8   2  -4]
[ 6  -3   0]
 / (-12)

〔〔
 -8 來自
  a23*a31  -  a21*a33
=  4 *(-1) -   2 * 2

 -3 來自
  a12*a31  -  a11*a32
=  3 *(-1) -   1 * 0

餘類推。
95,02,08,23,59
〕〕

原矩陣乘反矩陣為
[ 1  3  0]   [12  -6  12]
[ 2  6  4] * [-8   2  -4]
[-1  0  2]   [ 6  -3   0]
 / (-12)
=
[12-24     -6+6        0 ]
[24-48+24  -12+12-12   0 ]
[-12+12     6-6       -12]
 / (-12)
=
[1    0    0]
[0    1    0]
[0    0    1]
（95,02,08,18,13開始計算三階反矩陣通式）
（95,02,08,19,06得到正確值）

<a name=9502a051>
由此可以看出一般矩陣之反矩陣運算非常複雜，三乘三矩
陣算是簡單題目，手算四乘四反矩陣，真會頭痛一陣，手
算十乘十反矩陣？不可能。

●　轉動矩陣之調矩陣就是轉動矩陣之反矩陣。
把縱列改為橫行就完成，這不是太簡單了嗎？這不是太方
便了嗎？

<a name=9502a052>
轉動矩陣之目視判別﹕
因為轉動矩陣由三個長度為一的單位向量開始，每個向量
之全長為一，
[1    0    0]
[0    1    0]
[0    0    1]

轉前坐標軸每個向量之全長為一，投向三個轉後坐標軸，
所以，每個轉後坐標軸上的分量必須在正一至負一之間。

兩次轉動得到
[cos(Λ)*cosΦ 　　cos(Λ)*sinΦ 　　sin(Λ)]
[ -sinΦ　 　　　  cosΦ  　　　　　　　　０]
[-sin(Λ)*cosΦ　 -sin(Λ)*sinΦ　 　cos(Λ)]
把數值代入Λ、Φ之後，
不能有一項大於一，
不能有一項小於負一！
不能有一列向量長度大於一，
不能有一行向量長度大於一，
否則必定計算錯誤。

[12  -6  12]
[-8   2  -4]
[ 6  -3   0]
不是轉動矩陣，因為縱列向量長度超過一！

<a name=9502a053>
兩次簡化的「轉動」公式
[x"]　 [１　　 -γ　　０] [x]
[y"] = [γ　　　１　 -α]*[y]
[z"]   [０　　　α　　１] [z]
　　　………Ｂ７４式
也不是轉動矩陣，因為縱列向量長度超過一！
第一縱列向量長度平方＝１×１＋γ×γ＋０×０
如果γ不為０，則第一縱列向量長度大於一！

我們設計的轉動矩陣沒有伸張、沒有收縮，只憑目視就可
以判別
[１　　 -γ　　０]
[γ　　　１　 -α]
[０　　　α　　１]
不是轉動矩陣！
<a name=whatloss>
失去什麼?
我們得到小轉算是向量的便利，但是，所得之矩陣
Ｂ７２式、Ｂ７３式、Ｂ７４式都不是轉動矩陣！

95,02,08,19,34止

<a name=950416a>
95,04,16,10,10始
大角轉動與小角轉動「分界點在那裏？」
由兩次簡化產生「算是向量」，不是由角度性質改變產生
「算是向量」，所謂「分界點」是沒有定義的事。

「分界點大角側與分界點小角側有什麼改變？」
沒有明確的分界點，大角與小角也沒有角度性質變更，
小角轉動仍然不是向量！
完全因為簡化轉動矩陣，才得到「算是向量」的結果。
95,04,16,10,16止

95,05,16,09,08始
關於小角轉動之參考書，自由人手邊有三本﹕
一、 Classical Dynamics of Particles and Systems
    second ed. Jerry B Marion. 
    Academic Press 1970  ISBN 0-12-472252-0
    第十五頁，只談大角轉動，未談小角轉動。
二、Principles of Dynamics, Donald T. Greenwood
    Prentice-Hall, Inc. 1965
    第三二八頁底至第三三二頁，談大角轉動，談小角
    轉動，印出簡化矩陣，談到略除高次項（三三一頁
    第三行），得到先後轉動次序無關的公式（三三一
    頁第八行）。
三、The Principles of Physics and Chemistry
    J.Bruce Brackenbridge, Robert M. Rosenberg
    McGraw-Hill 1970
    第一四○頁，有小角轉動圖，沒有矩陣公式。

請讀者注意﹕課本說「小角轉動算是向量」，是因為簡
化轉動矩陣，若沒有簡化步驟，不可能得到此結果。
95,05,16,09,37止

<a name=section04>
╔════════════════════════╗
║　變更段落，以上大轉不是向量，小轉「算是」向量　║
║　變更段落，以下小圓通式、小圓軌跡及偏角之計算　║
╚════════════════════════╝

<a name=9503a001>
95,03,28,13,42始
在
95,01,10,09,07
找到大圓通式。
當時希望求出小圓通式，在
95,01,26,20,39找到
[[
sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ)
              +sinλ*sinΛ
              - 1]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
                 +cosλ*sinφ*cosΦ)
        + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                        +cosλ*sinφ*sinΦ)
                        +sinλ*cosΛ]}
= 0   小圓公式01 （錯！）
]]
<a name=9503a002>
φ是大圓上任意點之經度角，變數，
λ是大圓上任意點之緯度角，變數。
Φ是起點Ｐ位置之經度角，常數，
Λ是起點Ｐ位置之緯度角，常數。
Δ是通過討論點Ｐ點（城市）大圓之偏向角，常數。如果
通過Ｐ點大圓向東，Δ為零，偏北為正角，偏南為負角。
若偏向角Δ非零，（Φ、Λ）不是大圓之最高（北）點！
Δ稱為東偏角 -90°<Δ<90° 決定大、小圓方向。
　　如果指向正東，Δ=0°，否則Δ是對正東之偏離角。
α稱為地偏角 -90°<α<90° 決定是大圓或小圓，
　　如果指向地心，α=0°，是為大圓，否則是小圓。
公式中的「- 1」是錯誤的，當時想用平移坐標，將坐標
原點由地球轉軸移至討論城市（Φ、Λ），因而產生「-1」

「討論城市」指大圓或小圓經過的城市，當討論兩個城市
決定一個大圓，或討論三個城市決定一個小圓時，「討論
城市」又稱為「第一城市」。決定大小圓之東偏角地偏角
都是相對於「第一城市」，第二、第三城市之偏角無用。
「討論城市」、「第一城市」、「甲城」、「甲點」都指
同一點。

<a name=9503a003>
，希望在討論城市轉動小圓如同翻書本頁數一樣的轉動
小圓。
小圓公式01只對兩個極端為真，即
α=0°  得到赤道大圓
α=90° 得到討論城市（Φ、Λ）一點，
中間值都不正確，特別是當地偏角α=討論城市緯度Λ
及東偏角Δ=0°時，應該得到等緯小圓公式 λ = Λ
這個必要條件不成立，表示小圓公式01是錯誤公式。

由
95,01,26,20,39（得到錯誤答案，小圓公式01）
至
95,03,28,10,49（確定正確答案，小圓公式11）
思考如何找到正確小圓公式。

<a name=9503a004>
95,03,22買了一本舊書「平面及球體三角」
Plane and spherical trigonometry
Alfred L. Nelson and Karl W. Folley
Harper & Brothers Publishers  1943

95,03,24,10,51開始閱讀及（在電腦內）筆記上述
平面及球體三角，希望能找到求正確小圓公式之提示。
95,03,28凌晨半夜思考，
95,03,28上午重新端正思路，
95,03,28,10,16 找到正確答案，小圓公式11
95,03,28,10,49 確定正確答案，小圓公式11 ！！！！！！！！

小圓公式正確答案與舊書「平面及球體三角」無關，不過，
閱讀「平面及球體三角」使我腦海裏充滿了對小圓公式之
好奇。
95,03,28,14,19此

<a name=9503a005>
95,03,28,14,36此
求小圓的方法如下﹕

先定義四個轉動矩陣，便利使用簡單數學公式。

第一轉[M1]，繞 z軸轉 Φ度，Φ是甲城經度角。
[M1] =
[ cosΦ　sinΦ　０]
[-sinΦ　cosΦ　０]
[　　０ 　　０　１]

第二轉[M2]，繞y'軸轉-Λ度，Λ是甲城緯度角。
[M2] =
[cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)]
[ 　　０　 １　　　０　 ]
[sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)]

<a name=9503a006>
第三轉[M3]，繞x"軸轉 Δ度，Δ是甲城東偏角。
[M3] =
[ １　　 ０　　 ０]
[ ０　cosΔ　sinΔ]
[ ０ -sinΔ　cosΔ]

第四轉[M4]，繞y"'軸轉 α度，α是甲城地偏角。
[M4] =
[cosα　０　-sinα]
[ 　０　１　　　０]
[sinα　０　 cosα]


<a name=9503a007>
陶侃坐標首先與地球坐標重合，
x軸由地心指向地面經緯度為( 0°, 0°)處，
y軸由地心指向地面經緯度為(90°, 0°)處，
z軸由地心指向北極。
陶侃坐標赤道零點與地球坐標赤道零點重合(0°,0°)，
陶侃坐標最終轉至可以定義小圓的便利角度，
地球坐標不轉，作為陶侃坐標轉動後方位改變之基準。

討論城市在地球位置之經度為Φ（大寫Φ。小寫φ是變數），
[M1]轉動矩陣，將坐標系統以南北極軸（z軸）轉動Φ度，
把地球坐標赤道經度零點轉至討論城市正南（或正北）
的赤道點上。請注意﹕只有陶侃坐標轉動，討論城市不
轉動，地球坐標不轉動。第一次以[M1]轉動之後得到
x'，y'，z'軸系，情況如下﹕
x'軸由地心指向地面經緯度為( Φ,   0°)處，
y'軸由地心指向地面經緯度為(Φ+90°, 0°)處，
z'軸由地心指向北極。（z'軸 = z軸）

95,03,28,15,13止

<a name=9503a008>
95,03,28,16,53始
討論城市在地球位置之緯度為Λ（大寫Λ，小寫λ是變數），
[M2]轉動矩陣，將x'，y'，z'坐標系統以y'軸轉動
Λ度，把地球坐標赤道緯度零點（及[M1]轉動之經度零
點）轉至討論城市位置。只有陶侃坐標轉動，討論城市
不轉動，地球坐標不轉動。第二次以[M2]轉動之後得
到x"，y"，z"軸系，情況如下﹕（y"軸 = y'軸）
x"軸由地心指向地面經緯度為( Φ, Λ)處，
y"軸由地心指向地面經緯度為(Φ+90°, 0°)處，
z"軸由地心偏離北極。（z"軸指向難以描述）
x"，y"，z"軸系的大圓通過討論城市，而且
以討論城市為大圓之極北點。也就是
大圓在討論城市指向正東。
為什麼位於極北點就是指向正東？

<a name=9503a009>
如果通過討論城市的大圓只許向東，這就不算通式。為求
通式，必須能夠處理不向正東的大圓。
[M2]轉動之後的x"，y"，z"軸系中的x"軸由地心指向討
論城市( Φ, Λ)處。也就是由地心指向天空，這一根
x"軸拿來轉動大圓，正好調整通過討論城市的大圓之對東
偏角Δ。
[M3]轉動矩陣，將x"，y"，z"坐標系統以x"軸轉動Δ度
，把通過討論城市指向正東的大圓轉動指向對東偏離Δ度
。只有陶侃坐標轉動，討論城市不轉動，地球坐標不轉動
。x"'，y"'，z"'軸系的大圓通過討論城市，但是不以
討論城市為大圓之極北點，因為大圓在討論城市不指向正
東。

至此得到大圓通式（不是小圓通式）。
95,03,28,17,23此

<a name=9503a010>
繼95,01,10,09,07找到大圓通式之後，希望也能求出
小圓通式。費了九牛二虎之力把大圓轉至討論城市，繼續
求小圓通式時，捨不得離開大圓（犯錯之處），於是想到
把轉軸平移至討論城市（前三次轉動轉軸皆通過地心），
以通過討論城市的軸為轉軸，像翻書一樣把大圓轉至小圓
，用意雖美，實際不通。

95,01,26,20,39得到的小圓公式01（錯誤）只有
在地偏角等於零度時吻合（大圓），及
在地偏角等於九十度時吻合（一點）
試探通過討論城市之等緯小圓，結果不合理。

<a name=9503a011>
正確處理之途為在大圓通式這一步，繼續以y"'軸轉動 α
度（α 為小圓對地心之偏角），這個轉動使大圓脫離討論
城市（轉離），同時正確步驟不使用平移，轉軸不通過討
論城市！
[M4]轉動矩陣，將x"'，y"'，z"'坐標系統以y"'軸
轉動α度，大圓脫離討論城市，成為目標小圓之基準大圓。
以x"",y"",z""軸系基準大圓再提升仰角α度，「圓」
又回到討論城市，不是大圓，而是小圓，恰為所需。
x""，y""，z""軸系的大圓是以高度z""=0描述
x""，y""，z""軸系通過討論城市的小圓是以高度
z""=sinα 描述
對x""，y""，z""軸系而言，z""軸高度恆等於 sinα 
是x""，y""，z""軸系的等緯小圓。
至此，找到通過討論城市(Φ, Λ)、東偏角Δ、地偏角α
的小圓通式　小圓公式11　。
95,03,28,17,57止

<a name="950417a">
95,04,17,13,48
為什麼位於極北點就是指向正東？
在大圓的極北點（大圓的極北點不是地球的北極點），不
能再向北移動，南北速度分量為零，只有東西速度分量，
因此，在大圓的極北點只能向東走或向西走。東、西兩個
方向可以任選一者為主要方向，正負易號之後就是另外一
個方向。習慣上選擇向東為正，所以，位於極北點就是走
向正東，向東走能夠不指向正東嗎？
95,04,17,13,54

<a name=9503a012>
95,03,28,19,10始
令 [w] 表示縱列向量
[x]
[y]
[z]

令 [w""]表示縱列向量
[x""]
[y""]
[z""]

<a name=9503a013>
小圓通式導證如下。

[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w]………ＢＢ９６式

展開之後取 z""，令

z"" = 任意常數　　得到任意小圓通式。

z"" = 特定常數 （sinα） 得到通過甲城之小圓通式。

tc9501ah


<a name=9503a014>
下面是小圓通式

z"" = 
sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
            +cosλ*sinφ*sinΦ
           )
     +sinλ*sinΛ
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
               +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        +cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                     +cosλ*sinφ*sinΦ
                     )
               +sinλ*cosΛ
              ]
       }
= sinα   ………Ｂ７９式  （小圓公式11）

<a name=9503a015>
其中「= sinα」是
以x""，y""，z""軸系之基準大圓再「提升仰角α度」
之表達項。
[M4]轉動使大圓對討論城市轉離α度（α=地偏角）
「= sinα」使以x""，y""，z""軸系之赤道大圓取該大
圓緯度為α度之等緯小圓，
轉離α度又轉回α度，討論城市又踏在小圓上，這個小圓正
是所求之小圓。

<a name=9503a016>
小圓通式變數說明﹕
Φ是討論點Ｐ位置之經度角，常數，
Λ是討論點Ｐ位置之緯度角，常數。
φ是小圓上任意點之經度角，變數，
λ是小圓上任意點之緯度角，變數。
Δ稱為東偏角 -90°<Δ<90° 決定大、小圓方向。
α稱為地偏角 -90°<α<90° 決定是大圓或小圓，α=0時是大圓。
變動Δ及α指定不同的大圓或小圓，Δ及α類似變數，
Δ及α確定之後，如同常數，描述指定的大圓或小圓。

<a name=9503a017> <a name="hide03">

請讀者先手動計算，展開
[x""] [cosα　０　-sinα] [ １　　 ０　　 ０] [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y""]=[ 　０　１　　　０]*[ ０　cosΔ　sinΔ]*[ 　　０　 １　　　０　 ]*[-sinΦ　cosΦ　０]*[y]
[z""] [sinα　０　 cosα] [ ０ -sinΔ　cosΔ] [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [　　０ 　　０　１] [z]
然後點擊
協助核對自由人之計算










<a name=9503a023>
95,03,28,21,19始
小圓通式是否合理？必須作試點驗證，任何一者得到不合
理結果，那麼小圓通式肯定錯誤。

驗證一﹕令地偏角α等於零度，預期得到大圓通式。

sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ)
              +sinλ*sinΛ
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
                 +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                        +cosλ*sinφ*sinΦ
                      )
                        +sinλ*cosΛ
               ]
       }
= sinα ……… Ｂ７９式

<a name=9503a024>
Ｂ７９式在令地偏角α等於零度之後變為


0 *[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ)
              +sinλ*sinΛ
     ]
+ 1 * {-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
                 +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                        +cosλ*sinφ*sinΦ
                      )
                        +sinλ*cosΛ
               ]
       }
= 0 ……… Ｂ７９式

<a name=9503a025>
變為
-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
       +cosλ*sinφ*cosΦ
      )
+ cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ
              )
        +sinλ*cosΛ
       ]
= 0  ……Ｂ４２式
這正是大圓通式。Ｂ４２式。

驗證一﹕令地偏角α等於零度，得到大圓通式。合理。


<a name=9503a026>
驗證二﹕令地偏角α等於九十度，預期小圓變為一點。
（α等於九十度時，小圓平面與地球相切於甲城一點）

sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ)
              +sinλ*sinΛ
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
                 +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                        +cosλ*sinφ*sinΦ
                      )
                        +sinλ*cosΛ
               ]
       }
= sinα ……… Ｂ７９式

<a name=9503a027>
Ｂ７９式在令地偏角α等於九十度之後變為

sin90*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ)
              +sinλ*sinΛ
     ]
+ cos90*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
                 +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                        +cosλ*sinφ*sinΦ
                      )
                        +sinλ*cosΛ
               ]
       }
= sin90

<a name=9503a028>
也就是
1*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
         +cosλ*sinφ*sinΦ)
         +sinλ*sinΛ
  ]
+ 0
= 1

<a name=9503a029>
也就是
 cosΛ*cosλ*cosφ*cosΦ
+cosΛ*cosλ*sinφ*sinΦ
+sinλ*sinΛ
= 1

也就是
 cosΛ*cosλ*[cosφ*cosΦ+sinφ*sinΦ]
+sinλ*sinΛ
= 1

<a name=9503a030>
也就是

1=
 cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ)
+sinλ*sinΛ
 <=
 cosΛ*cosλ*1
+sinλ*sinΛ
 =
cos(λ-Λ) <= 1

<a name=9503a031>
現在
1=cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*sinΛ<= 1

必須有 cos(φ-Φ) = 1
及
必須有 cos(λ-Λ) = 1
否則 「1=cosΛ*cosλ*cos(φ-Φ)+sinλ*sinΛ」
中之等於一不能成立，會得到小於一之結果，

因為 cos(0) = 1 ，所以
必須有
φ-Φ=0
λ-Λ=0

必須有
φ=Φ （變數 φ= 常數Φ）
λ=Λ （變數 λ= 常數Λ）

驗證二﹕令地偏角α等於九十度，得到 φ=Φ 及 λ=Λ
這是位於討論城市之一點（半徑為零的小圓）。
驗證二得到合理結果。

95,03,28,21,43此

<a name=9503a032>
驗證三﹕令地偏角α等於討論城市之緯度Λ
　　　　及令東偏角Δ為零度，預期得到等緯小圓。
驗證三是「小圓公式01 （錯！）」不能通過的驗證。
驗證三是「Ｂ７９式（小圓公式11）」可以通過的驗證。

下圖有「令地偏角α等於討論城市之緯度Λ」
同時等緯小圓之東偏角Δ必須為零度。
tc9501ah


sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
              +cosλ*sinφ*sinΦ)
              +sinλ*sinΛ
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
                 +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        + cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                        +cosλ*sinφ*sinΦ
                      )
                        +sinλ*cosΛ
               ]
       }
= sinα ……… Ｂ７９式

<a name=9503a033>
上面小圓通式中，令 α=Λ 及令 Δ=0 得到

（95,03,28,10,21草稿工作於此步）
（95,03,28,21,49此）

sinΛ*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
            +cosλ*sinφ*sinΦ)
            +sinλ*sinΛ
     ]
+ cosΛ*{-sin0*(-cosλ*cosφ*sinΦ
               +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        +cos0*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                     +cosλ*sinφ*sinΦ
                     )
               +sinλ*cosΛ
              ]
       }
= sinΛ


<a name=9503a034>
[[
sinΛ*cosΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
          +cosλ*sinφ*sinΦ)
+sinλ*sinΛ*sinΛ
-sinΛ

+cosΛ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
             +cosλ*sinφ*sinΦ
             )
       +sinλ*cosΛ
      ]
= 0
]]


<a name=9503a035>
[[
           sinΛ*cosΛ*cosλ*cosφ*cosΦ
          +sinΛ*cosΛ*cosλ*sinφ*sinΦ
+sinλ*sinΛ*sinΛ
-sinΛ
          -sinΛ*cosΛ*cosλ*cosφ*cosΦ
          -sinΛ*cosΛ*cosλ*sinφ*sinΦ
+cosΛ*sinλ*cosΛ
= 0
]]

上式之（故意）右移項相消為零。

<a name=9503a036>
[[
 [sinΛ*sinΛ]*sinλ
-sinΛ
+[cosΛ*cosΛ]*sinλ
= 0
]]

[[
 [sinΛ*sinΛ+cosΛ*cosΛ]*sinλ
-sinΛ
= 0
]]

<a name=9503a037>
sinλ-sinΛ = 0

最後得到
λ = Λ

小寫 λ 是變數，
大寫 Λ 是常數，是討論城市之緯度角

變數 λ 等於討論城市之緯度角，等緯常數。
另外一個變數（經度角 φ）不受限制，
這正是等緯小圓之特徵。

驗證三﹕令地偏角α等於討論城市之緯度
　　　　及令東偏角Δ為零度，實際得到等緯小圓。

小圓公式11通過三組驗證，代表小圓公式11可能正確，
因為三組驗證是小圓公式11正確的必要條件，不是充分
條件。

95,03,28,22,08止

<a name="9504a001">
95,04,09,14,22始
下面的說明與上面的說明有部份重複。下面說明之重點是
有系統的圖解。

下面說明小圓轉動方法。首先看小圓對討論城市（甲城）
及小圓對赤道位置。
tc9501ai.gif 圖

圖中的「零點」是非洲幾內亞灣(Gulf of Guinea)
中的一點，是全世界之經度零點及緯度零點處。
95,04,08,18,28,35
http://www.nvcc.edu/home/driley/thesphere/earthgeometryfacts.htm
由零點開始，沿赤道向東轉，經度逐漸增加。圖示甲城位
於經度等於Φ之處。
由零點開始，沿等經線向北轉，緯度逐漸增加。圖示甲城
位於緯度等於Λ之處。
甲城在地球上之坐標（位置）為經度等於Φ及緯度等於Λ
之處。
指定一個通過甲城的小圓，需要甲城坐標〔Φ，Λ〕，同時
需要知道小圓在甲城的方向，否則有無限多組答案。
小圓在甲城的方向需要兩個角度，一為東偏角，二為地偏
角。
<a name="9504a002">
tc9501aj.gif 圖說明東偏角Δ

東偏角的意思是對正東的偏向角，若指向正東，則東偏角
為零度。定義向北偏之角度為正角，向南偏之角度為負角
。偏角之正負是由右手律決定，由地心指向甲城的坐標軸
穿過地面射向天空，右手作頂好手勢，大拇指指向坐標軸
正向（天空），四指繞轉方向定義為正轉，反之為負轉。
故，若謂東偏角為正二十度，意為由正東向北偏二十度。
東偏角不論正負，都在水平面上。
由甲城一點及乙城另外一點可以決定一個大圓。或者，
由甲城一點及甲城的東偏角可以決定一個大圓。（但是
不能確定小圓）
<a name="9504a003">
tc9501ak.gif 圖說明地偏角α

因為拋物體只能走大圓軌跡，不能走小圓，所以小圓參數
比較不常用。地偏角是決定小圓之參數，小圓專用參數。
站在甲城低頭望向地心，這一條視線是圖示之PO線。此線
是地偏角為零之基準線。當小圓面通過地心時，此小圓之
地偏角為零度，同時此小圓變為大圓。地偏角之正負仍然
由右手律決定，拇指指向東偏角之正軸方向，四指轉向為
地偏角之正向，地偏角不論正負都在地面以下轉動。地下
轉動？誰轉的動呢？好問題，所以，地偏角是難以處理的
參數。但是小圓通式需要使用地偏角轉動，因此必須面對
地偏角。在實際應用上最方便的小圓參數是指定三個城市
之坐標，下面將會利用三個城市之坐標求得等值之東偏角
及等值之地偏角。
95,04,09,15,21止

<a name="9504a004">
95,04,09,17,26始
上面是轉前簡介，下面開始討論轉動。
轉動有兩種，一種是坐標軸不動，討論點轉動；另外一種
是坐標軸轉動，討論點不動。
下面所述之第一轉、第二轉、第三轉、第四轉都是坐標軸
轉動、討論點不動。第五轉是坐標軸不動，討論點轉動。
因為坐標軸與討論點相對運動，所以，兩種轉動之關係為
轉角反向。
轉動不是向量，轉動之先後次序有密切關係，如果轉動次
序錯誤，答案錯誤，正確轉動次序如下﹕
由x,y,z軸系對 z軸轉 Φ P點經度角至x',y',z'
由x',y',z'對 y'軸轉 Λ P點緯度角至x",y",z"
由x",y",z"對 x"軸轉 Δ P點東偏角至x"',y"',z"'
由x"',y"',z"'對 y"'軸轉α P點地偏角至x"",y"",z""
完成
由地球基準坐標x,y,z軸系至小圓傾斜坐標x"",y"",z""
之轉動。還有一點需要事先注意，
此處所論者為由x,y,z軸系轉至x"",y"",z""軸系，
不是另外一種由x"",y"",z""軸系轉至x,y,z軸系。
各有應用。現在談由x,y,z軸系轉至x"",y"",z""軸系
之逐步分解。

<a name="9504a005">
第一轉 tc9501al.gif 圖
由x,y,z軸系對 z軸轉 Φ P點經度角至x',y',z'

第一轉，繞z 軸轉Φ度，Φ是甲城之經度。轉後x',y',z'
坐標系之零點移至甲城正下方赤道上之D點。第一轉z軸及
z'軸重合。所有轉動都是相對於x y z坐標系.圖示之轉動
為正角轉動，轉軸為z 軸，右手作頂好手勢，拇指指向北
極，四指指向正轉方向，由地球經度零點轉正Φ度至甲城正
下方赤道上之D點。

<a name="9504a006">
第一步沿z 軸轉經度角Φ
[x']　 [ cosΦ　sinΦ　０] [x]
[y'] = [-sinΦ　cosΦ　０]*[y]　　　………Ｂ２５式
[z']   [　　０ 　　０　１] [z]

雖然全世界的人都使用 x,y,z軸系，
現在甲城的人可以說﹕
「根據x',y',z'軸系，我們甲城是經度之零點。」

<a name="9504a007">
下面請看第二轉 tc9501am.gif 圖
由x',y',z'對 y'軸轉 Λ P點緯度角至x",y",z"

第二轉，繞y'軸轉Λ度，Λ是甲城之緯度。轉後x" y" z"
坐標系之零點移至甲城所在之P點，同時甲城是紅線大圓
之最北（南）點。第二轉y'軸及y"軸重合。右手大拇指指
向y'軸，四指曲向與Λ反向，Λ角為負轉。
地球坐標之定義關於緯度坐標有兩種方法，
一是以赤道為零點，向北為正角，向南為負角。
　　角度範圍由正九十度（北極）至負九十度（南極）
二是以北極為零點，向南角度增加。
　　角度範圍由零度（北極）至一百八十度（南極）
就導航、氣象而言，採用以赤道為零點，
就數學及其他而言，採用以北極為零點。
本文使用以赤道為零點，由赤道走向北極為正角。第二轉
以y'軸為轉軸，用右手律比較，拇指指向y'軸正向，
四指曲向由北極至赤道，
這與前述由赤道至北極為正角方向剛好相反，解決方法為
在公式中加入負號。
第二轉之轉動公式使用負緯度角，北半球緯度仍然以正角
表示，南半球緯度仍然以負角表示，轉動公式中之負號自
動調節。

<a name="9504a008">
第一次轉後坐標系統ｘ′ｙ′ｚ′的ｘ′軸沿緯度角做第
二次轉動Λ度。以下述公式表示﹕
[x"]　 [cos(-Λ)　０　-sin(-Λ)] [x']
[y"] = [ 　　０　 １　　　０　 ]*[y']　……Ｂ２６式
[z"]   [sin(-Λ)　０　 cos(-Λ)] [z']

至此甲城的人可以說﹕
「根據x",y",z"軸系，我們甲城是經度之零點及緯度
之零點。」
現在，討論城市位於圓上最北（南）點，可以得到大圓
特例公式，
tan(λ)=tan(Λ_max)*cos(φ-Φ。)

<a name="9504a009">
九十四年七月間第一次看見此文
「使用大圓說明在轉動地球上之運動」
Using great circles to understand motion
on a rotating sphere 
by D. H. McIntyre 

九十四年九月二十三日購買此文（美金十八元五角）

94,09,23,15,59,31
https://commerce.aip.org/servlet/lookup6?cvips=AJPIAS000068000012001097000001

94,09,23,16,03,35
https://commerce.aip.org/jsp/Lookup.jsp?item=AJPIAS000068000012001097000001&ident=null&src=null

94,09,23,16,15,32 按「購買」鈕
https://commerce.aip.org/theamericaninstituteofphysi-66/mck-cgi/directpaycredit.cgi

<a name="9504a010">
閱讀時發覺大圓公式
tan(λ)=tan(Λ_max)*cos(φ-Φ。)
這是自由人大圓工作之起點。這個公式之限制條件為
假設東偏角為零度〔論點必須位於圓上極北、極南點〕
假設大圓不通過南北極〔所以出現tan()，除以cos()〕
以下的轉動，跨出上述限制。

9504091901此

<a name="9504a011">
下面請看第三轉 tc9501an.gif 圖
由x",y",z"對 x"軸轉 Δ P點東偏角至x"',y"',z"'

第三轉，繞x"軸轉Δ度，Δ是目標小圓在甲城之東偏角。
x"軸是由地心在甲城冒出指向天空的坐標軸。原向東切
線改向偏北或偏南。轉後大圓切線方向與目標小圓切線
方向同向。x"'軸與x"軸重合。
第一轉吻合經度，第二轉吻合緯度，第三轉使得通過甲城
的大圓或小圓可以不必硬性要求指向正東。回頭看第二轉
 tc9501am.gif 圖
紅線大圓與傾斜灰線小圓相割、不相切，
紅線大圓與等緯灰線小圓相切、不相割，但是我們需要
紅線大圓與傾斜灰線小圓相切、不相割，如此才可能根據
甲城轉動傾斜紅線大圓至平行於傾斜灰線小圓，為此，需
要轉動傾斜紅線大圓至與傾斜灰線小圓相切於甲城。
問題是轉動多少度？轉軸是那一根線？
轉動多少度？可以由第三轉 tc9501an.gif 圖之
下端插圖找到答案。
<a name="9504a012">
第二轉之紅線大圓在插圖內指向正東，與等緯小圓相切，
第三轉之紅線大圓在插圖內指向東南，與傾斜小圓相切，
二者角度為通過甲城大圓（或小圓）之東偏角Δ。
所以，第三轉需要轉動Δ度。
轉軸是那一根線？因為由正東轉至東南是在水平面轉動
，因此轉軸必須在甲城垂直於水平面，唯一的答案是
x",y",z"軸系的x"軸。
是啊，他們剛剛才說過「甲城是經度之零點及緯度之零點
。」唯有x 軸、x'軸、x"軸等才俱雙零點性質。
（y"軸及z"軸離甲城十萬八千里）
轉軸指向天空，右手拇指指向天空，四指繞向正的東偏角
。即東北方向為正值東偏角，因定義之正角方向（東北）
與右手律一致，所以轉動公式不必額外增添負號。
第三轉 tc9501an.gif 圖轉向東南，轉角自身為負值
。
<a name="9504a013">
95,04,09,21,02始
完成三轉之後得到大圓通式，討論城市可以在大圓極北點
、極南點及在大圓上任何點，大圓通式也可以通過南北極
。

下面請看第四轉 tc9501ao.gif 圖
由x"',y"',z"'對 y"'軸轉α P點地偏角至x"",y"",z""

第四轉小圓專用。y"',y""重合，繞y""軸轉動地偏角
α，使灰色大圓脫離甲城（轉離），轉至紅色大圓，自
紅色大圓提升仰角＝地偏角，圓又返回甲城，這是目標
小圓，每次轉動獲得對基準坐標資料，至此完成轉動。

<a name="9504a014">
如果我們要找小圓，第三轉之後的大圓在甲城與小圓相切
，適合於做此特定小圓之基準大圓。
「小圓之基準大圓」是一個與小圓平行的大圓，每個小圓
只有一個基準大圓，請看 tc9501ah.gif 圖

上面兩張圖大圓小圓關係一樣，只要二者平行即可。
我們費了九牛二虎之力，經過一轉、二轉、三轉、四轉，
主要目的就是確定目標小圓之基準大圓。完成四轉之後，
在x"",y"",z""坐標系統內決定小圓是易如反掌之事，
只要指定z""坐標等於地偏角之正弦即可，數學公式為
z""=sin(α)
但是我們使用 z坐標，不用 z""坐標，四轉之辛勞成果
在此開花，引用z""對x,y,z關係，得到小圓通式。

<a name="9504a015">
z""=sin(α) 的意義是在x"",y"",z""坐標系統內，
每一點的 z"" 坐標值都是 sin(α)， α是地偏角，對
一個指定的小圓而言，地偏角是常數，z""=常數 代表
等高，球面一點之緯度是該點對赤道大圓之緯度角，也就
是z""坐標 （tc9501ah.gif 圖之 QR），圓上每一點
的緯度角相等（z""坐標=常數），這就是等緯小圓。

四轉完畢，找到小圓通式，可以說告一段落，不過小圓通
式只轉動小圓上的一點至地面基準坐標，若要找小圓軌跡
，還需要加一轉，第五轉，讓動點在小圓上走一圈，畫出
一條軌跡。
95,04,09,21,38止

<a name="9504a016">
95,04,10,10,10始
下面請看第五轉 tc9501ap.gif 圖

異於前三轉，第四轉小圓專用，建立傾斜小圓基準大圓。
異於前四轉，第五轉坐標軸靜止，討論點移動（轉動）。

前面四轉把坐標軸轉至與小圓同等傾斜，討論點（甲城
）沒有轉動。第五轉需要畫小圓軌跡，動點Q由甲城開始
在x""y""z""軸系內沿小圓轉動，於是得到xyz軸系
內的小圓軌跡坐標。在x""y""z""坐標系紅線大圓與目
標小圓平行，畫軌跡十分簡單，Q點是小圓上動點，由
<a name="9504a017">
x""y""z""坐標系統，可以使用下述簡單的公式
x""　＝ ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｃｏｓ（φ）………Ｂ１３式
y""　＝ ｒ＊ｃｏｓ（λ）＊ｓｉｎ（φ）………Ｂ１４式
z""　＝ ｒ＊ｓｉｎ（λ）　　　　　　　………Ｂ１５式
其中 
ｒ是球體半徑，本文令球體半徑為一。


<a name="9504a018">
λ是小圓上起點甲城（P點）之緯度角。
（此處λ用於x""y""z""坐標系，不是xyz坐標系）
緯度角λ＝地偏角α是小圓平行於赤道之充分必要條件，
四轉之後小圓平行於x""y""z""的赤道，所以在
x""y""z""軸系中，緯度角λ＝地偏角α，二者互通。
（請注意﹕x, x', x", x"'軸系都不平行於小圓）

φ是小圓轉動角度，是建立軌跡之唯一自變數。

<a name="9504a019">
只有在x""y""z""坐標系統可以使用上述公式，因為
只有x""y""z""坐標系統之x""y""面與小圓平行。
執行坐標軸一轉、二轉、三轉、四轉之目的為建立與小圓
平行的x""y""坐標面。
建立軌跡的方法是在上述公式中
令變數φ等於一度，算出一度的x""y""z""坐標值，
再轉至xyz坐標系統（大地坐標系統、基準坐標系統）
令變數φ等於二度，算出二度的x""y""z""坐標值，
令變數φ等於三度，算出三度的x""y""z""坐標值，
……………
令變數φ等於某度，算出某度的x""y""z""坐標值，
一一轉換至xyz坐標系統。

<a name="9504a020">
如何由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統？請看

[x""]　= cosα*{cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ}
       -sinα*{-sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]}
　　　　………Ｂ７６式

[y""] = {cosΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ) + sinΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]}
　　　………Ｂ７７式

[z""] = sinα*{cosΛ*( x*cosΦ+y*sinΦ) + z*sinΛ}
       +cosα*{-sinΔ*(-x*sinΦ+y*cosΦ)+ cosΔ*[-sinΛ*(x*cosΦ+y*sinΦ) + z*cosΛ]}
　　　………Ｂ７８式

<a name="9504a021">
在這三個公式中，x""y""z""是已知，xyz是未知。東偏
角Δ已知，地偏角α已知，起點坐標[Φ,Λ]已知。
如果不能求出傾斜坐標中移動點在大地基準坐標系統的xyz
坐標值，那麼就不能畫出小圓軌跡！如何求上面三個公式的
未知xyz？
請注意，如果x"",y"",z""為未知，其餘已知，上述三
公式十分完美，套入所有已知，直接求得未知。但是！現
在情況反轉，x"",y"",z""為已知，x,y,z為未知，
未知深埋於大堆三角函數中，如何析出明確的x,y,z？
95,04,10,11,38此

在解決「如何析出明確的x,y,z」之前，再看一個相關的
問題。
小圓動點Q點由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統
及
小圓軸與球面交點B點由x""y""z""轉至xyz坐標系統
是相同的問題
<a name="9504a022">
下面請看 tc9501ar.gif 圖

若能求出小圓軸與球面交點B點的位置以已知數據表示，
那不是更方便嗎？已知數據是起點坐標[Φ,Λ]已知、東偏
角Δ已知、地偏角α已知，B點的位置 x""=0, y""=0,
z""=1 已知（圓軸與球面交點是傾斜坐標的「北極」）。
請特別注意，此處是傾斜坐標值x""y""z""已知，但是
大地坐標值 x, y, z 未知。這也涉及
由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統。

<a name="9504a023">
由xyz坐標系統轉至x""y""z""坐標系統公式為
[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w]………ＢＢ９６式

由x""y""z""坐標系統轉至xyz坐標系統公式為
[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""]………ＢＢ９７式

原本是很繁雜的公式，此處以精簡代符表示，容易觀察兩
式之重要差別。

令 [w] 表示縱列向量
[x]
[y]
[z]
所以，[w] 是基準坐標（大地坐標），
　　　[w] 是正坐標（不是球面坐標 r, φ, λ）。

令 [w""]表示縱列向量
[x""]
[y""]
[z""]
所以，[w""] 是平行於傾斜小圓之坐標，
　　　[w""] 也是正坐標（不是球面坐標 r"", φ"", λ""）。

<a name="9504a024">
[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w]………ＢＢ９６式
簡稱為順轉。
以基準坐標[w]為起點，按照一轉[M1]、二轉[M2]、
三轉[M3]、四轉[M4]之次序轉換至傾斜坐標[w""]
每一次轉動之轉軸及轉角已經在上面敘述過。

下面再看倒回過程。
[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""]………ＢＢ９７式
簡稱為逆轉。
以傾斜坐標[w""]為起點，按照四轉[-M4]、三轉[-M3]、
二轉[-M2]、一轉[-M1]之次序轉換至基準坐標[w]
逆轉轉動之先後次序與順轉相反。
逆轉每一次轉動之轉角與順轉相反。
逆轉每一次轉動之轉軸與順轉相同。
[-M1]中之負號代表轉角異號。

<a name="9504a025">
展開ＢＢ９７式，得到清晰的
x=f(x"",y"",z"")
y=g(x"",y"",z"")
z=h(x"",y"",z"")
函數。這個返轉計算過程是電腦程式算出小圓軌跡的方法。
在x"",y"",z""坐標系中使用最簡單的公式計算軌跡，
求得軌跡之後，利用返轉計算找到大地坐標的軌跡位置。

得到返轉計算函數之後，求小圓軸與球面交點B點，只需要
令 [x"",y"",z""] = [0,0,1]
就可以得到答案。

<a name="9504a026">
95,04,10,12,30此
<a name="hide04">

請讀者先手動計算，展開
[x] [ cos(-Φ)　sin(-Φ)　０] [cos(Λ)　０　-sin(Λ)] [ １　　 ０　　 ０] [cos(-α)　０　-sin(-α)] [x""]
[y]=[-sin(-Φ)　cos(-Φ)　０]*[ 　　０　 １　　　０　 ]*[ ０　cos(-Δ)　sin(-Δ)]*[ 　０　１　　　０]*[y""]
[z] [　　０ 　　０　１]      [sin(Λ)　０　 cos(Λ)] [ ０ -sin(-Δ)　cos(-Δ)] [sin(-α)　０　 cos(-α)] [z""]
然後點擊
協助核對自由人之計算










<a name="9504a040">
95,04,10,17,07始
以上由第五轉開始至此，都是為電腦計算小圓軌跡、計算小
圓圓心的說明。以下討論如何
由三個城市坐標決定小圓（工作類型一 jobType==1）
由兩個城市坐標及第一城市東偏角決定小圓（工作類型二 jobType==2）
由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓（工作類型三 jobType==3）
由一個城市坐標及其東偏角地偏角決定小圓（工作類型四 jobType==4）
前三者都要轉換至第四者，唯有工作類型四可以直接代入
小圓通式。
（jobType 是電腦程式中使用的變數
　中文程式﹕http://freeman2.com/jscirclc.htm
　英文程式﹕http://freeman2.com/jscircle.htm
）
<a name="9504a041">
請再看小圓通式

z"" = 
sinα*[cosΛ*( cosλ*cosφ*cosΦ
            +cosλ*sinφ*sinΦ
           )
     +sinλ*sinΛ
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosλ*cosφ*sinΦ
               +cosλ*sinφ*cosΦ
              )
        +cosΔ*[-sinΛ*(cosλ*cosφ*cosΦ
                     +cosλ*sinφ*sinΦ
                     )
               +sinλ*cosΛ
              ]
       }
= sinα   ………Ｂ７９式  （小圓公式11）

<a name="9504a042">
小圓通式變數說明﹕
Φ是討論點Ｐ位置之經度角，常數，
Λ是討論點Ｐ位置之緯度角，常數。
φ是小圓上任意點之經度角，變數，
λ是小圓上任意點之緯度角，變數。
Δ稱為東偏角 -90°<Δ<90° 決定大、小圓方向。
α稱為地偏角 -90°<α<90° 決定是大圓或小圓，
　　α=0時是大圓。
變動Δ及α指定不同的大圓或小圓，Δ及α類似變數，
Δ及α確定之後，如同常數，描述指定的大圓或小圓。

<a name="9504a043">
東偏角Δ不容易量度，希望不要用東偏角決定小圓，
地偏角α不可能量度，希望不要用地偏角決定小圓，
三個城市坐標容易決定，所以下面的工作是﹕
已知三城市坐標，求東偏角Δ，求地偏角α。

<a name="9504a044">
首先計算東偏角Δ，容易的一種。（麻煩的一種二選一）
小圓通式有地偏角α，第一步考慮如何消除地偏角α，只留
東偏角Δ及三城坐標。

小圓通式有
sinα*[某子項]
+
cosα*{某丑項}
= sinα   ………Ｂ７９式  （小圓公式11）

可以改寫為
sinα*[某子項-1]
+
cosα*{某丑項}
=0

<a name="9504a045">
又可以改寫為
sinα*[某子項-1]
=
-cosα*{某丑項}

假設cosα不等於零、α不等於九十度、不要走近南北極，
又可以改寫為
sinα/cosα
=
-{某丑項}/[某子項-1]

又可以改寫為
tan(α)
=
-{某丑項}/[某子項-1]

<a name="9504a046">
所以，
令甲城坐標為  Φ1 Λ1
令乙城坐標為  Φ2 Λ2
tanα = -B/A

令甲城坐標為  Φ1 Λ1
令丙城坐標為  Φ3 Λ3
tanα = -D/C

因為乙城不是丙城，所以 B 不等於 D 及 A 不等於 C
因為甲乙丙三城在同一個小圓上，甲城只有一個地偏角α
-D/C = tanα = -B/A
由此消除地偏角α，剩下的關係式
-D/C = -B/A
有三個城市坐標，也有甲城的東偏角Δ，請注意﹕東偏角Δ
是唯一的未知！（假設三個城市坐標皆已知），由
-D/C = -B/A
可以求得東偏角Δ。

以上是簡述過程，所有數學公式都以最簡單的 A,B,C,D
代表。瞭解思路之後，下面是實際求解東偏角Δ
95,04,10,17,44此
下面直接套用以前工作記錄，所以有十天以前的時間標記。

<a name="9504a047">
95,03,30,08,23
令
甲城坐標為  Φ1 Λ1
乙城坐標為  Φ2 Λ2，取代自變數 φ,λ
小圓通式變為
sinα*[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
              +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
              +sinΛ2*sinΛ1
      -1
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
                 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
              )
        + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
                        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
                      )
                        +sinΛ2*cosΛ1
               ]
       }
= 0 

<a name="9504a048">
移項產生地偏角α之正切

tanα*[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
              +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
              +sinΛ2*sinΛ1
      -1
     ]
=
- {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
                 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
              )
        + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
                        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
                      )
                        +sinΛ2*cosΛ1
               ]
  }

<a name="9504a049">
移項使地偏角α之正切孤居左側。

tanα
=
- {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
                 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
              )
        + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
                        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
                      )
                        +sinΛ2*cosΛ1
               ]
  }
/
[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
              +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
              +sinΛ2*sinΛ1
      -1
]
  ………Ｂ84式 

<a name="9504a050">
上面公式含甲城坐標 Φ1 Λ1 及乙城坐標 Φ2 Λ2（上下差別）
下面公式含甲城坐標 Φ1 Λ1 及丙城坐標 Φ3 Λ3（上下差別）

同理，令
甲城坐標為  Φ1 Λ1
丙城坐標為  Φ3 Λ3，取代自變數 φ,λ
小圓通式變為

tanα
=
- {-sinΔ*(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1
                 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1
              )
        + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
                        +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1
                      )
                        +sinΛ3*cosΛ1
               ]
  }
/
[cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
              +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1)
              +sinΛ3*sinΛ1
      -1
]
  ………Ｂ85式 

95,03,30,08,30 此
95,04,10,17,57 此

<a name="9504a051">
因為兩個公式都等於 tanα ，所以可以在拋棄 tanα
之後，令上面兩個公式直接相等。得到

- {-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
                 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
              )
        + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
                        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
                      )
                        +sinΛ2*cosΛ1
               ]
  }
/
[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
              +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
              +sinΛ2*sinΛ1
      -1
]

=

- {-sinΔ*(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1
                 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1
              )
        + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
                        +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1
                      )
                        +sinΛ3*cosΛ1
               ]
  }
/
[cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
              +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1)
              +sinΛ3*sinΛ1
      -1
]
  ………Ｂ86式 

Δ 是討論城市 （Φ1、Λ1） 之東偏角Δ，
所以全式對討論城市 （Φ1、Λ1） 優惠。
Ｂ86式 沒有通式必備之自變數（φ、λ）
自變數（φ、λ）都已經代入乙城或丙城經緯坐標。
95,03,30,08,36 此

<a name="9504a052">
Ｂ86式中，東偏角Δ是甲乙丙三城定位之後唯一的未知數，
可以由Ｂ86式求討論城市 （Φ1、Λ1） 之東偏角Δ
95,03,30,08,39 止

95,03,30,09,26 始
整理公式，

{-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
        +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
              )
 + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
                +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
                )
         +sinΛ2*cosΛ1
        ]
  }
*
[cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
        +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1
       )
 +sinΛ3*sinΛ1
 -1
]
=
{-sinΔ*(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1
        +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1
       )
 + cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
                +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1
                )
         +sinΛ3*cosΛ1
        ]
  }
*
[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
 +sinΛ2*sinΛ1
 -1
]
  ………Ｂ87式 

<a name="9504a053">
95,03,30,09,39 此
簡化上式如下

{-sinΔ*A2
 +cosΔ*B2
}
*C2
=
{-sinΔ*A3
 +cosΔ*B3
}
*C3
  ………簡化Ｂ87式 

<a name="9504a054">
其中 A2,B2,C2; A3,B3,C3 是小段公式之代符，
Ｂ87式突出東偏角Δ，不納入代符，因為要求解東偏角Δ。
95,04,10,18,06此

定義 A2 =
(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
)  ………Ｂ88式

定義 B2 =
[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
        )
 +sinΛ2*cosΛ1
]  ………Ｂ89式

定義 C2 =
[cosΛ1*( cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
        +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1
       )
 +sinΛ3*sinΛ1
 -1
]  ………Ｂ90式

<a name="9504a055">
定義 A3 =
(-cosΛ3*cosΦ3*sinΦ1
 +cosΛ3*sinΦ3*cosΦ1
)  ………Ｂ91式

定義 B3 =
[-sinΛ1*(cosΛ3*cosΦ3*cosΦ1
        +cosΛ3*sinΦ3*sinΦ1
        )
 +sinΛ3*cosΛ1
]  ………Ｂ92式

定義 C3 =
[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
 +sinΛ2*sinΛ1
 -1
]  ………Ｂ93式

<a name="9504a056">
95,03,30,09,41 此
Ｂ87式簡化如下

 -sinΔ*A2*C2
 +cosΔ*B2*C2
=
 -sinΔ*A3*C3
 +cosΔ*B3*C3

改寫為
 sinΔ*[A2*C2-A3*C3]
=
 cosΔ*[B2*C2-B3*C3]

<a name="9504a057">
再改寫為
 tanΔ=[B2*C2-B3*C3]/[A2*C2-A3*C3]

最後得到甲城東偏角Δ
 Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)]
  ………Ｂ94式

<a name="hide05">
比較長，需要有耐心。













<a name="9504a069">
上面以一個特例核對Ｂ94式，
 Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)]
  ………Ｂ94式
結果合理。

特例合理是公式正確的必要條件，萬一有他例得到不合理
的結果，公式仍然錯誤，所以根據一個特例合理，只能結論
95,03,30,11,03 Ｂ94式可能正確。

以上求甲城東偏角Δ。

<a name="9504a070">
95,03,30,13,23 
以下求甲城地偏角α，已知三城經緯坐標。

甲城坐標為  Φ1 Λ1
乙城坐標為  Φ2 Λ2，取代自變數 φ,λ
小圓通式變為

sinα*[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
             +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
            )
     +sinΛ2*sinΛ1
     ]
+ cosα*{-sinΔ*(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
               +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
              )
        +cosΔ*[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
                      +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
                      )
               +sinΛ2*cosΛ1
              ]
       }
= sinα   ………Ｂ80式 

<a name="9504a071">
以 A2，B2，C3及東偏角Δ（此處已知東偏角Δ）精簡表示
Ｂ80式如下，

sinα*[C3+1]
+ cosα*{-sinΔ*A2
        +cosΔ*B2
       }
= sinα

此式突出地偏角α，因為要求解地偏角α。
左右同時刪除 sinα ，簡化如下。

sinα*[C3]
+ 
cosα*{-sinΔ*A2
      +cosΔ*B2
     }
= 0

<a name="9504a072">
繼續簡化。
sinα*[C3]=cosα*{+sinΔ*A2-cosΔ*B2}

假設不地偏至九十度（假設小圓不退化至一點），
全式除以 cosα 得到
tanα={+sinΔ*A2-cosΔ*B2}/[C3]

小圓地偏角 α 為（必須已知東偏角Δ）
α= arctan{[sinΔ*A2-cosΔ*B2]/C3}
  ………Ｂ95式

95,03,30,13,36

<a name="hide06">
令甲城之地偏角α為零會得到大圓嗎？














<a name="9504a079">
特例核對合理，所以地偏角
α= arctan[(sinΔ*A2-cosΔ*B2)/C3]  ………Ｂ95式 
可能正確。
95,03,30,13,52
同時
東偏角的公式為
 Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)]
  ………Ｂ94式

<a name="9504a080">
95,03,30,13,55 現在三個城市決定小圓公式完全解決

A2  ………Ｂ88式
B2  ………Ｂ89式
C2  ………Ｂ90式
A3  ………Ｂ91式
B3  ………Ｂ92式
C3  ………Ｂ93式
Δ= arctan[(B2*C2-B3*C3)/(A2*C2-A3*C3)]………Ｂ94式
α= arctan[(sinΔ*A2-cosΔ*B2)/C3]  ………Ｂ95式
小圓公式11  Ｂ７９式
95,04,10,20,41 此

<a name="9504a081">
以下求甲城東偏角Δ，已知二城經緯坐標，已知甲城地偏
角α，這是麻煩的一種，二選一。（容易的一種唯一值）

輸入資料四類型
由三個城市坐標決定小圓（工作類型一 jobType==1）
由兩個城市坐標及第一城市東偏角決定小圓（工作類型二 jobType==2）
由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓（工作類型三 jobType==3）
由一個城市坐標及其東偏角地偏角決定小圓（工作類型四 jobType==4）
其中
由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓（工作類型三 jobType==3）
尚未解決，因為，此類輸入資料，缺少第三個城市，不能由
三個城市的坐標建立第一城市東偏角。必須由兩個城市及
第一城市之地偏角α決定第一城市東偏角Δ。
95,04,10,20,53此
95,04,01,11,48此

<a name="9504a082">
前面定義
A2
B2
C3
如下，（重錄於此）

定義 A2 =
(-cosΛ2*cosΦ2*sinΦ1
 +cosΛ2*sinΦ2*cosΦ1
)  ………Ｂ88式

定義 B2 =
[-sinΛ1*(cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1
        )
 +sinΛ2*cosΛ1
]  ………Ｂ89式

定義 C3 =
[cosΛ1*( cosΛ2*cosΦ2*cosΦ1
        +cosΛ2*sinΦ2*sinΦ1)
 +sinΛ2*sinΛ1
 -1
]  ………Ｂ93式

<a name="9504a083">
定義A2，B2，C3只含甲城、乙城坐標，不含丙城坐標。
甲城地偏角α已知，下面公式唯一未知是甲城東偏角Δ。

以下是解決步驟
α = arctan((sin(Δ)*A2
               -cos(Δ)*B2)/C3
              )  ......B95式

消除反正切函數
tan(α) = (sin(Δ)*A2
             -cos(Δ)*B2)/C3

C3*tan(α) =  sin(Δ)*A2
                -cos(Δ)*B2 
α 已知; Δ 未知
95,04,01,11,57 此

<a name="9504a084">
C3*tan(α)+cos(Δ)*B2 = sin(Δ)*A2

此式唯一未知Δ 陷身於正弦、餘弦函數中，因為左手側兩項
相加，不能除以cos(Δ)。解決方法是全式平方，利用
cos(Δ)*cos(Δ)+sin(Δ)*sin(Δ)=1
消除一個三角函數。平方結果如下﹕

C3*C3*tan(α)*tan(α)
2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2
+B2*B2*cos(Δ)*cos(Δ)
= A2*A2*sin(Δ)*sin(Δ)

<a name="9504a085">
利用
cos(Δ)*cos(Δ)+sin(Δ)*sin(Δ)=1
消除 sin(Δ) 得到

C3*C3*tan(α)*tan(α)
2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2
+B2*B2*cos(Δ)*cos(Δ)
= A2*A2*(1-cos(Δ)*cos(Δ))

<a name="9504a086">
唯一未知是 cos(Δ)，展開得到

C3*C3*tan(α)*tan(α)
2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2
+B2*B2*cos(Δ)*cos(Δ)
= A2*A2-A2*A2*cos(Δ)*cos(Δ)

移項得到

C3*C3*tan(α)*tan(α)-A2*A2
2*C3*tan(α)*cos(Δ)*B2
+(B2*B2+A2*A2)*cos(Δ)*cos(Δ)
= 0

<a name="9504a087">
令未知 cos(Δ) 為 X
令已知 tan(α) 為 M
全式改寫為

C3*C3*M*M-A2*A2
2*C3*M*B2*X
+(B2*B2+A2*A2)*X*X
= 0

<a name="9504a088">
這是X 的二次方公式，兩個解答為

X1=(-2*C3*M*B2
    +sqrt(2*C3*M*B2*2*C3*M*B2
    -4*(B2*B2+A2*A2)*(C3*C3*M*M-A2*A2)
         )
   )/2/(B2*B2+A2*A2)
及
X2=(-2*C3*M*B2
    -sqrt(2*C3*M*B2*2*C3*M*B2
    -4*(B2*B2+A2*A2)*(C3*C3*M*M-A2*A2)
         )
   )/2/(B2*B2+A2*A2)

95,04,01,12,29 找到兩個答案 X1 及 X2

<a name="9504a089">
前面令未知 cos(Δ) 為 X，找到X 之後，
東偏角 Δ1 = arccos(X1)
或者
東偏角 Δ2 = arccos(X2)

那一個正確？

為了做正確取捨，回頭看
α= arctan[(sinΔ*A2-cosΔ*B2)/C3]  ………Ｂ95式 

其中地偏角α 已知，
東偏角 Δ1 代入Ｂ95式得 α1
東偏角 Δ2 代入Ｂ95式得 α2
α1及α2中，只有一者吻合已知的地偏角α ，選擇吻合的
Δ1 或 Δ2，得到合理解答。

至此，輸入資料四類型之處理方法全部解決。
95,04,10,21,22止

<a name="9504a090">
95,04,11,08,03始
輸入資料四類型
由三個城市坐標決定小圓（工作類型一 jobType==1）
由兩個城市坐標及第一城市東偏角決定小圓（工作類型二 jobType==2）
由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓（工作類型三 jobType==3）
由一個城市坐標及其東偏角地偏角決定小圓（工作類型四 jobType==4）

其中「工作類型四」之輸入資料直接套入小圓通式，無需
轉換。其餘三者都要轉換。

工作類型三可能會造成無效輸入資料，因為工作類型三
由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓（jobType==3）
當地偏角為零度時，「小圓」變大圓，含蓋全球，不會產
生問題。
當地偏角為九十度時，「小圓」變為一點，會產生嚴重問
題。如果使用由兩個城市坐標及第一城市地偏角決定小圓
，同時，
如果指定的兩個城市距離遙遠，及
如果指定的地偏角接近九十度，得到矛盾輸入資料，無解。

地偏角幾乎不可能量度，所以，實際應用時只有
工作類型一﹕由三個城市坐標決定小圓
是可行之方法。為求程式完備才添加工作類型二、三、四
。

<a name="9504a091">
大圓、小圓電腦程式網址為
中文 http://freeman2.com/jscirclc.htm
英文 http://freeman2.com/jscircle.htm
英文版已經接近完成，中文版尚未開始。上載本自修卷
http://freeman2.com/tutc0002.htm
之後，開始整理電腦程式英文版，上載英文版之後，再開
始寫中文版。
95,04,11,08,24止


<a name="9504a092">
95,04,18,17,27始
自由人要求讀者協助核對計算公式

由大地坐標轉至四轉後坐標
 順轉[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w] ………ＢＢ９６式 

及由四轉後坐標轉至大地坐標
 逆轉[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""] …ＢＢ９７式

在 95,04,18,11,00 注意到
上面兩個公式互為逆轉，所以兩個轉動矩陣
[M4]*[M3]*[M2]*[M1]
及
[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]
互為調矩陣，也就是一者之行與列對調，就是第二者。

95,04,18,11,54 計算確定為真。

<a name="9504a093">
現在簡述如下﹕
 順轉[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w] ………ＢＢ９６式 
把同類項集中在一起，展開如下﹕

[x""]　=
 x*cosα*cosΛ*cosΦ
-x*sinα*sinΔ*sinΦ
+x*sinα*cosΔ*sinΛ*cosΦ

+y*cosα*cosΛ*sinΦ
+y*sinα*sinΔ*cosΦ
+y*sinα*cosΔ*sinΛ*sinΦ

+z*cosα*sinΛ
-z*sinα*cosΔ*cosΛ
　　　　………Ｂ７６驗式

<a name="9504a094">
[y""] = 
-x*cosΔ*sinΦ
-x*sinΛ*sinΔ*cosΦ

+y*cosΔ*cosΦ
-y*sinΛ*sinΔ*sinΦ

+z*sinΔ*cosΛ
　　　………Ｂ７７驗式

[z""] =
 x*sinα*cosΛ*cosΦ
+x*cosα*sinΔ*sinΦ
-x*sinΛ*cosα*cosΔ*cosΦ

+y*sinα*cosΛ*sinΦ
-y*cosα*sinΔ*cosΦ
-y*sinΛ*cosα*cosΔ*sinΦ

+z*sinα*sinΛ
+z*cosα*cosΔ*cosΛ
　　　………Ｂ７８驗式

<a name="9504a095">
再回過頭來看
 逆轉[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""] …ＢＢ９７式
把 x""、y""、z""放在左端，展開如下﹕

[x]= ………Ｃ０１驗式
 x""*cos(Φ)*cos(Λ)*cosα
+x""*cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα
-x""*sin(Φ)*sinΔ*sinα

-y""*cos(Φ)*sin(Λ)*sinΔ
-y""*sin(Φ)*cosΔ

+z""*cos(Φ)*cos(Λ)*sinα
-z""*cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
+z""*sin(Φ)*sinΔ*cosα

<a name="9504a096">
[y]= ………Ｃ０２驗式
 x""*sin(Φ)*cos(Λ)*cosα
+x""*sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα
+x""*cos(Φ)*sinΔ*sinα

-y""*sin(Φ)*sin(Λ)*sinΔ
+y""*cos(Φ)*cosΔ

+z""*sin(Φ)*cos(Λ)*sinα
-z""*sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
-z""*cos(Φ)*sinΔ*cosα

[z]= ………Ｃ０３驗式
 x""*sin(Λ)*cosα
-x""*cos(Λ)*cosΔ*sinα

+y""*cos(Λ)*sinΔ

+z""*sin(Λ)*sinα
+z""*cos(Λ)*cosΔ*cosα

<a name="9504a097">
Ｂ７６驗式、Ｂ７７驗式、Ｂ７８驗式三式
由 x,y,z 至 x"",y"",z"" 

Ｃ０１驗式、Ｃ０２驗式、Ｃ０３驗式三式
由 x"",y"",z"" 至 x,y,z

x"" 關連 x 之係數為
[x""]　=
 x*cosα*cosΛ*cosΦ
-x*sinα*sinΔ*sinΦ
+x*sinα*cosΔ*sinΛ*cosΦ
+ .....
 ……Ｂ７６驗式

x"" 關連 x 之係數又為
[x]=
 x""*cos(Φ)*cos(Λ)*cosα
+x""*cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα
-x""*sin(Φ)*sinΔ*sinα
+ .....
 ………Ｃ０１驗式

令 Mxx = cos(Φ)*cos(Λ)*cosα
         +cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*sinα
         -sin(Φ)*sinΔ*sinα

x"" 關連 x 之係數在兩組公式裏的值（用代符 Mxx ）相同。
Ｂ７６驗式為 [x""]　= Mxx*[x]+.....
Ｃ０１驗式為 [x]　= Mxx*[x""]+.....
這是互為對調矩陣之必然關係。

<a name="9504a098">
再看第二組，y 關連 z"" 之係數為

[z""] =
.....
+y*sinα*cosΛ*sinΦ
-y*cosα*sinΔ*cosΦ
-y*sinΛ*cosα*cosΔ*sinΦ
+.....
　　　………Ｂ７８驗式

及
[y]= ………Ｃ０２驗式
.....+
+z""*sin(Φ)*cos(Λ)*sinα
-z""*sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
-z""*cos(Φ)*sinΔ*cosα

令 Myz = sin(Φ)*cos(Λ)*sinα
         -sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
         -cos(Φ)*sinΔ*cosα

y 關連 z"" 之係數在兩組公式裏的值（用代符 Myz ）相同。
Ｂ７８驗式為 [z""]　= Myz*[y]+.....
Ｃ０２驗式為 [y]　= Myz*[z""]+.....
在不同的轉動矩陣裏，y 關連 z"" 之係數相同！！
這是互為對調矩陣之必然關係。

<a name="9504a099">
再看第三組，y"" 關連 z 之係數為

[y""] = 
.....
+z*sinΔ*cosΛ
　　　………Ｂ７７驗式

[z]= ………Ｃ０３驗式
.....
+y""*cos(Λ)*sinΔ
+.....

在不同的轉動矩陣裏，y"" 關連 z 之係數 sinΔ*cosΛ 相同！！
這是互為對調矩陣之必然關係。

總共九組，如此逐一檢查，確定
 順轉[w""]=[M4]*[M3]*[M2]*[M1]*[w] ………ＢＢ９６式 
及
 逆轉[w]=[-M1]*[-M2]*[-M3]*[-M4]*[w""] …ＢＢ９７式
兩個公式之轉動矩陣互為調矩陣。
這是轉動矩陣必須具有的性質，根據此性質，其他的轉動公式
，在求逆轉時
因變數、自變數對換，
轉動矩陣改為調矩陣就完成了。
95,04,18,18,30止

95,04,18,18,36始
95,04,17,21,05第一次上載本卷入網，自己下載存卷
發覺有兩張圖片不能存卷，因為這兩張只在
http://freeman2.com/slide002.htm
使用，這兩張圖片必須在本卷
http://freeman2.com/tutc0002.htm
露面！下面是廬山真面目。


95,04,18,18,42止


<a name="9505a001">
95,05,06,11,20始
本卷所論之地球坐標都由經緯度零點開始，經緯度零點在
那裏？請看下面地圖。

圖源﹕ISBN 0-8135-2363-x 第二十四頁。
紅點在非洲西岸幾內亞灣 Gulf of Guinea

<a name="9505a002">
上面有小圓通式之變貌公式。
下面討論小圓通式之常貌公式。

變貌公式與常貌公式都是描述小圓的公式，

變貌公式之建構基於圓上起點城市，圓上任何一點都可以
作為起點城市，故一個圓的變貌公式有無限多種表示法。

常貌公式之建構基於圓心所在位置，一個圓只有一個圓心
，故一個圓的常貌公式有一種表示法。
95,05,06,11,33此

<a name="9505a003">
請看下圖


[xb,yb,zb] 是由地心通過小圓圓心的直線在地面之
坐標。此直線不通過小圓，這是上圖的 OB 直線。

[xq,yq,zq] 是由地心通過小圓圓上一點的直線在地
面之坐標。此直線不通過圓心，這是上圖的 OQ 直線。
 OQ 直線沒有畫出來，有畫 OP 直線 P,Q都是圓上
的一點。

<a name="9505a004">
向量 [xb,yb,zb] 與向量 [xq,yq,zq] 之點積
為
[xb,yb,zb] • [xq,yq,zq] = sin(alpha)
                         ... C07式

sin(alpha) 是上圖的 OA 直線，
OA 直線是小圓圓心A 到地心O 之距離。

C07式是小圓通式之常貌公式，因為圓心在地面位置
[xb,yb,zb]不因起點位置而改變。

<a name="9505a005">
上面討論小圓圓心軸在地面之位置（B點）如下

[xb]= ………Ｃ０４式
+cos(Φ)*cos(Λ)*sinα
-cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
+sin(Φ)*sinΔ*cosα

[yb]= ………Ｃ０５式
+sin(Φ)*cos(Λ)*sinα
-sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
-cos(Φ)*sinΔ*cosα

[zb]= ………Ｃ０６式
+sin(Λ)*sinα
+cos(Λ)*cosΔ*cosα

<a name="9505a006">
C07式中 [xq,yq,zq] 是變數，描述任何在圓上的點。
xq　＝cos（λ）＊cos（φ）………Ｂ１３式
yq　＝cos（λ）＊sin（φ）………Ｂ１４式
zq　＝sin（λ）　　　　　　　………Ｂ１５式
（已經令 r 等於一）

<a name="9505a007">
當討論球面問題時，都使用經緯度坐標，沒有人使用 xyz
坐標，現在把 Ｃ０４式、Ｃ０５式、Ｃ０６式 及
Ｂ１３式、Ｂ１４式、Ｂ１５式 代入 C07式，得到下述
公式
[+cos(Φ)*cos(Λ)*sinα
 -cos(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
 +sin(Φ)*sinΔ*cosα]
* cos（λ）＊cos（φ）
+
[ sin(Φ)*cos(Λ)*sinα
 -sin(Φ)*sin(Λ)*cosΔ*cosα
 -cos(Φ)*sinΔ*cosα]
*cos（λ）＊sin（φ）
+
[ sin(Λ)*sinα
 +cos(Λ)*cosΔ*cosα]
*sin（λ）
=sin(alpha) ....... C08式

<a name="9505a008">
C08式是小圓通式之常貌公式（細目內容）
其中
[φ,λ] （小寫）是圓上任意點坐標
[Φ,Λ] （大寫）是圓上起點城市坐標
Δ 是小圓在起點城市之東偏角
α 是小圓在起點城市之地偏角


<a name="950725a1">
小圓常貌公式　特別注意

95,07,25,06,39 加入始
使用明確敘述性質的變數名稱，
phi1Lon  起點城市經度值
lam1Lat  起點城市緯度值
angEarth 小圓在起點城市之地偏角（偏離地心的角度）
eastRad  小圓在起點城市之東偏角（偏離正東的角度）
第二城市、第三城市之經緯度決定第一城市之
地偏角及東偏角，所以小圓可以通過三個城市。
Var0Lon  圓上任意點經度值
Var0Lat  圓上任意點緯度值
「圓上任意點」包括三個城市，因為三個城市都在圓上。

<a name="950725a2">
小圓常貌公式表達法如下
[
+cos(phi1Lon)*cos(lam1Lat)*sin(angEarth)
-cos(phi1Lon)*sin(lam1Lat)*cos(eastRad)*cos(angEarth)
+sin(phi1Lon)*sin(eastRad)*cos(angEarth)
]
*cos(Var0Lon)*cos(Var0Lat)
+
[
+sin(phi1Lon)*cos(lam1Lat)*sin(angEarth)
-sin(phi1Lon)*sin(lam1Lat)*cos(eastRad)*cos(angEarth)
-cos(phi1Lon)*sin(eastRad)*cos(angEarth)
]
*sin(Var0Lon)*cos(Var0Lat)
+
[
+sin(lam1Lat)*sin(angEarth)
+cos(lam1Lat)*cos(eastRad)*cos(angEarth)
]
*sin(Var0Lat)
-
[sin(angEarth)]
=
0 ....... C08B式

<a name="950725a3">
對於一個已經由三點確定的小圓而言，
方括號內的值都是常數，只有
Var0Lon 及 Var0Lat
二者是變數。
95,07,25,07,09加入止

<a name="950725a4">
95,07,25,16,24
當您套用 C08B式或C08式時，請特別注意﹕
直接套用公式，只能保證小圓通過起點城市，
不會通過第二城市！不會通過第三城市！
唯有使用由三城坐標求東偏角
唯有使用由三城坐標求地偏角
這兩道手續之後的東偏角及地偏角，代入
C08B式或C08式才能得到通過三點的小圓公式。
95,07,25,16,31

<a name="9505a009">
至此，讀者可能會問﹕
公式仍然使用起點城市坐標、
　　　　使用起點城市東偏角、
　　　　使用起點城市地偏角
小圓公式與起點城市密切相關，起點城市改變公式改變，
怎能說是「常貌」公式？

<a name="9505a010">
請回頭看Ｃ０４式、Ｃ０５式、Ｃ０６式，這三個公式是
由起點城市坐標、起點城市東偏角、起點城市地偏角決定
小圓圓心軸在地面之位置，因為小圓軸不變，所以
Ｃ０４式、Ｃ０５式、Ｃ０６式是三個不變量，
任何起點城市參數代入Ｃ０４式、Ｃ０５式、Ｃ０６式都
得到小圓圓心軸在地面之坐標，所以
C08式 是小圓通式之常貌公式！
95,05,06,12,25此

<a name="9505a011">
還有一點請讀者注意﹕
起點城市參數有
[Φ,Λ] （大寫）是圓上起點城市坐標
Δ 是小圓在起點城市之東偏角
α 是小圓在起點城市之地偏角
在圓上任意取一個不同點為起點城市，則
起點城市坐標[Φ,Λ]改變
起點城市東偏角Δ 改變
但是
起點城市地偏角α 不變！！
因為cos(α)是小圓半徑，只要小圓半徑不變，地偏角α
不變。

小圓常貌公式中令地偏角α 為零得到大圓常貌公式，

大圓常貌公式已經在電腦程式
http://freeman2.com/jscircle.htm
核對，無誤。
95,05,06,12,37止


<a name="9506a001">
95,06,18,08,21始
請參考小圓公式軌跡計算卷
http://freeman2.com/jscircl1.htm

在第一城市輸入方格及第二城市輸入方格之間有東偏角
之輸入方格，旁白文字如下
[[
[　　　　]　小圓在第一城市東偏角，用角度，不用弧度。
　　　　　　　零度為正東；正角為東北向；負角為東南向。
[臨界東偏角] [+/-] 城市1,2 對小圓圓心相距180°，看 夾角值
]]

現在討論如何求得「臨界東偏角」。

95,06,18,08,29開始做圖

<a name="9506a002">
9506a1 圖


95,06,18,11,12始

請看 9506a1 圖，甲城及乙城為指定點。通過甲乙兩城
有無限多個小圓，但是只有一個最小小圓，其特徵為甲城
、圓心、乙城三點共線。確定一個小圓需要三個已知條件
，現在已知甲城及乙城經緯度坐標，仍然缺少一個條件。
第三個條件必須是小圓在甲城之東偏角，或者指定第三城
市坐標。小圓公式軌跡計算卷選擇計算臨界東偏角。

臨界東偏角的「臨界」表示邊界值，東偏角再偏遠一點，
甲乙兩城之間就返回至甲城、圓心、乙城三點不共線的小
圓。（比最小小圓大的小圓）

<a name="9506a003">
 9506a1 圖所示為甲城、圓心、乙城三點共線，及在甲
城切於最小小圓之向量（藍色箭頭）

藍色箭頭之絕對位置比較容易求得。因為甲城坐標已知
，所以，地心至甲城之向量可以計算。
（藍色箭頭相對於甲城正東之方向比較困難求得）
求臨界東偏角之指令如下

向量 (v1x, v1y, v1z) 為甲城之絕對坐標。
也就是 9506a1 圖中由地心至甲城直線 O甲
//9505121525
var v1x=c1x;
var v1y=c1y;
var v1z=c1z;

<a name="9506a004">
向量 (v2x, v2y, v2z) 為乙城對甲城之絕對坐標。
也是圖中由甲城至乙城直線 甲心乙（三點共線）
var v2x=c2x-c1x;
var v2y=c2y-c1y;
var v2z=c2z-c1z

9506a1 圖


向量 (v3x, v3y, v3z) 為在甲城垂直於前面兩個向量
之絕對坐標。也是圖中之藍色向量。此處使用兩個向量之
叉積，結果為垂直於前二者之第三向量。
var v3x=c1y*(c2z-c1z)-c1z*(c2y-c1y);
var v3y=c1z*(c2x-c1x)-c1x*(c2z-c1z);
var v3z=c1x*(c2y-c1y)-c1y*(c2x-c1x);

<a name="9506a005">
求藍色向量之長度，然後調整藍色向量長度至一。只要方
向因素，不要大小因素。（下面四行指令可以略除）
var v3l=Math.sqrt(v3x*v3x+v3y*v3y+v3z*v3z);
v3x=v3x/v3l;
v3y=v3y/v3l;
v3z=v3z/v3l;

至此藍色向量分量值是相對於大地坐標、絕對坐標，但是
我們需要藍色向量分量值相對於甲城之正東方向。需要調
整、需要轉動，先把藍色向量分量值存入一個代表向量的
數列變數。
PtRDXYZ[0]=v3x; // 把向量3 坐標存入數列變數
PtRDXYZ[1]=v3y; // 準備做坐標轉換。
PtRDXYZ[2]=v3z;
<a name="9506a006">
//
// 向量3 不動，地球坐標轉動，將經緯度零點轉至
// 第一城市正南（或正北）赤道上。
PtRDXYZ=rotateRad(PtRDXYZ,+phi1Lon,3);
上面指令把坐標零點（非洲西岸幾內亞灣 Gulf of
 Guinea） 轉至丙點

9506a1 圖


//
// 向量3 不動，地球坐標轉動，將經緯度零點轉至
// 第一城市所在位置。
PtRDXYZ=rotateRad(PtRDXYZ,-lam1Lat,2);
上面指令把坐標零點由丙點轉至甲城。請注意﹕
只有坐標系統轉動，藍色向量不轉。
雖然向量不轉，對不同的坐標系統，藍色向量有不同的分
量。

<a name="9506a007">
轉後坐標系統在甲城指向正東（圖中甲城之黑色箭頭），
正是需要的基準方向。至此數列變數 PtRDXYZ 存的
藍色向量之三個分量是相對於兩轉之後的坐標系統
（不是相對於大地坐標），也就是
藍色向量之三個分量是相對於甲城之正東方向，

//
// 向量3 不動，在轉後坐標系統有下面數值
// (v6x 應該為 0)
v6x=PtRDXYZ[0];
v6y=PtRDXYZ[1];
v6z=PtRDXYZ[2];
// 9505122107
上述指令取出藍色向量之三個分量。

<a name="9506a008">
兩次轉動之後，x 軸由地心在甲城冒出指向天空。
甲城之東偏角在甲城水平面上，所以向天分量 v6x
應該為零。水平分量 v6y 及 v6z非零。

下述指令求出正確臨界東偏角

// 甲點最小小圓之東偏角（答案）
crEastRad=Math.atan(v6z/v6y);
//9505122108

若臨界東偏角為正確，必須有圓心至甲乙兩城之夾角為
一百八十度的結果。
（或微小誤差 +179° 59' 58" 算是正確）
否則計算錯誤!!
（不是使用者錯誤輸入，而是編程者使用錯誤指令）
這裏談的不是臨界東偏角為一百八十度，
這裏談的是圓心至甲乙兩城之夾角為一百八十度。

<a name="9506a009">
9506a1 圖


圖中之甲城黑色正東向量沒有直接應用於計算，只是便
利說明而已。

現在注意到「調整藍色向量長度至一」的指令是不必要
的指令，因為
crEastRad=Math.atan(v6z/v6y);

v6z/v6y 相除之後，向量大小實為無關。
95,06,18,12,47止


<a name="9506a010">
95,06,18,13,04始
[[
[臨界東偏角] [+/-] 城市1,2 對小圓圓心相距180°，
]]
上面 [+/-] 表示臨界東偏角反向，

+30° 減 180° 變為 -150°
-30° 加 180° 變為 +150°

是減 180° 或是加 180° ？
由原有臨界東偏角決定，

<a name="9506a011">
若原有臨界東偏角為正30°，減 180° 得到 -150°
若原有臨界東偏角為負30°，加 180° 得到 +150°

調頭之後的角度必須在負 180° 至正 180° 之間。
95,06,18,13,10止


<a name="9506a012">
95,06,18,15,24
為什麼在甲城之臨界東偏角是
crEastRad=Math.atan(v6z/v6y);
為什麼不是
crEastRad=Math.atan(v6y/v6z);
為什麼不是
crEastRad=Math.atan(v6x/v6z);
？

兩次轉動之後，新坐標系統
 x軸通過甲城，指向天空。
 y軸在甲城，指向正東，
 z軸在甲城，指向正北。
我們要求東偏角是指在水平面內轉動，
 x軸分量為零，不必考慮。

正東構成水平坐標軸。
正北構成縱向坐標軸。
東偏角的正切是正北分量v6z 除以正東分量v6y

所以，在甲城之臨界東偏角取反正切之後為
crEastRad=Math.atan(v6z/v6y);
95,06,18,15,36


<a name="950711a">
95,07,11,06,51始
[[
向量 (v1x, v1y, v1z) 為甲城之絕對坐標。
也就是 9506a1 圖中由地心至甲城直線 O甲
//9505121525
var v1x=c1x;
var v1y=c1y;
var v1z=c1z;

向量 (v2x, v2y, v2z) 為乙城對甲城之絕對坐標。
也是圖中由甲城至乙城直線 甲心乙（三點共線）
var v2x=c2x-c1x;
var v2y=c2y-c1y;
var v2z=c2z-c1z

向量 (v3x, v3y, v3z) 為在甲城垂直於前面兩個向量
之絕對坐標。也是圖中之藍色向量。此處使用兩個向量之
叉積，結果為垂直於前二者之第三向量。
]]

<a name="950711b">
問題是為何要求「垂直於前二者之第三向量」？
在執筆時，有的問題以為是太簡單、基本常識，所以略除
不談。但是，網路上讀者群範圍很廣，有的讀者仍然需要
提示。

「前二者」是指
向量 (v1x, v1y, v1z)，由地心至甲城直線 O甲。
及
向量 (v2x, v2y, v2z)，由甲城至乙城直線。

「垂直於前二者之第三向量」是指甲城之東偏角方向。

<a name="950711c">
甲城之東偏角在甲城偏離正東，東偏角只有在甲城的水平
面上轉動才有意義。因為上偏或下偏，把通過甲城之小圓
傾斜拋至天空或傾斜埋入地下，這就不是球面問題，也是
不切實際的情況。本此，東偏角必須在甲城的水平面上轉
動。如何能夠確保東偏角在水平面上轉動？地心至甲城是
一條半徑，所有在甲城垂直於此半徑之直線都在甲城之水
平面上。所以，第一個必要條件是﹕
甲城之東偏角在甲城垂直於地心至甲城之半徑，也就是
甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v1x, v1y, v1z)

下面談第二個必要條件。

<a name="950711d">
在甲城之水平面上的直線有三百六十度轉動的自由，我們
要找到唯一的一個方向。
臨界東偏角的「臨界」表示這個東偏角對應於最小小圓。
甲乙兩城之間的小圓有無限多個，但是最小小圓只有一個
。
這就是以甲乙兩城之間連線為直徑的小圓。
東偏角在甲城切於通過甲城之小圓，所以，

東偏角向量是一個垂直於甲乙兩城之間連線的向量。
也就是
甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v2x, v2y, v2z)

<a name="950711e">
至此，我們得到，
甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v1x, v1y, v1z)
及
甲城之東偏角在甲城垂直於向量 (v2x, v2y, v2z)

向量一(v1x, v1y, v1z)及
向量二(v2x, v2y, v2z)
之叉積產生一個同時垂直於向量一及垂直於向量二的第三
向量。

如果甲乙兩城連線不通過地心，則第三向量（東偏角向量
）可以唯一確定。

如果甲乙兩城連線是通過地心，則第三向量（東偏角向量
）不可以唯一確定。在甲城水平面上，任何方向都是答案
。

95,07,11,07,39此

<a name="950711f">
以上說明臨界東偏角相關問題。
以下說明自由人文章性質。

討論問題有兩種寫法。
一是課本式寫法，
二是思路式寫法。

課本式寫法精簡，沒有重複、沒有前後倒置、沒有錯誤思
維記錄。
思路式寫法繁雜，可能重複、可能前後倒置、可以記錄錯
誤思維。

<a name="950711g">
自由人以思路式寫法寫自修網頁，大圓、小圓之第一轉都
是繞起點城市之經度角轉動，第二轉都是繞起點城市之緯
度角轉動。大圓特例轉動（起點為大圓最高點）、大圓通
則轉動，小圓轉動都要談及第一轉和第二轉，此處有重複
。

求小圓通式時，碰釘子，仍然留下記錄。這是思路式寫法
之特徵。思路式寫法把所有驗證步驟寫出來，才可以讓大
家「評理」。課本式寫法把多數驗證步驟列為習題，這才
像課本。

<a name="950711h">
自由人寫自修網頁時，大致按照時間順序排列，有的問題
在隔了幾個星期之後，又再討論，與前面相關話題隔了一
大段其他話題（例如轉動矩陣第一、第二特徵與第三特徵
相隔很遠。所以，按照時間順序排列方法，一個前後討論
問題之連續性不是很好。

當讀者閱讀自由人文章時，請瞭解
自由人以思路式寫法寫自修網頁。

自由人　　中國九十五年七月十一日
95,07,11,08,05止


小圓公式及軌跡，中文
http://freeman2.com/jscircl1.htm

小圓公式及軌跡，英文
http://freeman2.com/jscircl2.htm

大圓公式及軌跡，中文
http://freeman2.com/jscirclc.htm

大圓公式及軌跡，英文
http://freeman2.com/jscircle.htm

95,05,16,09,45





卷名 tutc0002.htm 表示
自修 TUTor
中文 Chinese
第二 0002

自修網頁目錄
http://freeman2.com/tutindex.htm
自修網頁第一頁，朗冠吉係數法解限制條件極小化問題。
http://freeman2.com/tutc0001.htm
自修網頁第二頁，球體大圓、小圓通式。
http://freeman2.com/tutc0002.htm
自修網頁第三頁，立體幾何，納皮爾規則 Napier's Rule
http://freeman2.com/tutc0003.htm

本頁建立於中國九十五年一月六日
本頁上載於中國九十五年四月十七日

本卷為﹕自修網頁第二頁，球體大圓、小圓通式。
http://freeman2.com/tutc0002.htm

謝謝光臨　自由人 95,04,11,18,48
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