自修微積分 本卷目錄
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自修微積分說明   tutc0005.htm   tutc0004.htm
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下載指令卷   程式目錄   彩虹網   更新日期 97,12,17
本卷是自修第五卷，微積分 







<a name=index>
目錄
爪哇簡稿數學函數定義
伽馬函數 Gamma(x)
開關函數 stepf(a,b)
如何畫我自己（讀者）的函數曲線？
重要說明
離線閱讀本卷？沒有 jsgraph1.js 怎麼辦？

■□第零節﹕微積分基本常識
龔昇君與張德健君的大著
微積分在中國的傳播
最早引入微積分的是清代的李善蘭
證明畢氏定理
請點擊「畢氏定理 9712022054」按鈕
數學公式以簡單的符號表示
本卷使用名詞指角
本卷使用名詞疊數
整數、分數及無理數、超越數
■□第一節﹕函數的定義
數學公式千千萬萬，給我們唯一答案的數學公式，特別稱為函數。
601 圖有四條實曲線
物理公式與純數學公式的差異
統計數據也構成函數
函數的定義
定義域與值域的物理意義不同
函數作圖法
請點擊「畫圖 602」
看圖先看軸
■□第二節﹕線性函數
「斜截式」直線公式
垂直線公式、水平線公式
「點斜式」直線公式
「雙點式」直線公式
一一對應函數
兩條互相垂直的直線。斜率乘積等於負一
請點擊「畫圖　603」
線性公式之物理應用
線性公式之數學應用
請點擊「畫圖　604」曲線的割線與切線
■□第三節﹕基本函數與特殊函數
階乘函數（伽瑪函數） factorial function (Gamma function)
貝索函數， Bessel Function
勒巾椎函數， Legendre Function
■□第四節﹕多項式函數
多項式與指數有什麼差別？
多項式的圖形如何呢？
請看下面一次至五次多項式曲線
不同指數的一項式。請點擊「畫圖　607」
指定多項式的根為 8,9,10,11,12 如何決定多項式的係數？
多項式的物理單位
物理單位一致是必要條件，不是充分條件
泰勒展開式
■□第五節﹕三角函數以及它的反函數
三角函數定義圖。請點擊「畫圖　608」按鈕，
三角函數定義公式
三角函數是周期函數。三角函數是非線性函數
三角函數的輸入值是純數，三角函數的輸出值是純數。
正弦餘弦正割餘割函數曲線
正切餘切函數曲線
餘弦定理。請點擊「餘弦定理 9712031039」按鈕
餘弦雙角定理，請點擊「餘弦雙角定理 9712031156」按鈕。
餘弦雙角定理公式
反三角函數
反餘弦、反正弦函數
反正切函數、反餘切函數
反正割函數、反餘割函數曲線
六個反三角函數的定義域、值域列表
全、半功反正切之差別
正弦函數的正負、餘弦函數的正負如何決定？
請點擊「象限1234 9712040948」按鈕
四個象限的三角函數正負表
全功反正切函數 atan2(val1, val2) 需要兩個輸入值
半功反正切函數 atan(val) 需要一個輸入值（毛病在此）
全功、半功反正切函數輸入、輸出曲線
半功反正切函數 atan(val) 沒有能力

■□第六節﹕對數函數
乘法可以改為加法！
對數特性公式 f(a*b) = f(a)+f(b)
假設 f(x) 可以微分
對數函數的素材積分公式
如何處理公式左側的 -f(c)？
如何處理上面公式的 f'(1) ？
為什麼自然對數的底數是 e ？
最後得到對數函數的定義公式
請點擊「畫圖　615」取閱對數曲線
想當小數學家嗎？
log(x) 的自變數 x 不能為零，log(y(x)) 可以容許 x 為零
請點擊「對數函數 9712061022」按鈕
對數函數的常用公式，log(x=1) = 0
證明 log(a*b) = log(a) + log(b)
證明 log(a/b) = log(a) - log(b)

第三常用公式﹕log(a^n) = n*log(a)
log(a^n) = n*log(a) 當 n 是正整數時
log(a^n) = n*log(a) 當 n 是負整數時
log(a^n) = n*log(a) 當 n 是分數時 a^(1/3)
log(a^n) = n*log(a) 當 n 是有理數時 a^(5/23)
如果無理數不是無限長，它就是有理數！
log(a^n) = n*log(a) 當 n 是實數時
一項式、多項式取對數後，不論指角是整數
、分數、無理數、超越數都可以把指角變為乘數。
log(x^a) = a*log(x)

x^5 及 e^x 兩個函數顯然不同
log(x) 中的 x 是指數 e^5，不是底數e，不是指角5
疊數 x^x 微分開始
疊數 x^x 微分結果 d(x^x)/dx = [log(x) + 1]*x^x
疊數 x^x 微分，參考書列表
無限大的妙用
當 n 增加時， log(2^n) 是否有上限？
對數函數沒有上限這一點，從曲線的切線斜率可以得
到相同的結論。
對數函數的讀圖法如下圖，
請點擊「對數函數二 9712071703」按鈕
對數函數曲線讀圖法 e^縱軸值 = 橫軸值
（請注意﹕縱軸值放在 e 的指角位置，很特別）
自然對數底數 e 的由來
除了 e 之外，任何數字都可以當底數
任意底 b 的通式
對數變底圖
對數函數的正確用法及錯誤用法
另外一個推理過程，由 f(a*b) = f(a)+f(b)
至 g(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy
人造衛星速度外力同向時減速，逆向時加速
對數輸入值、輸出值必須是純數，討論開始。
第一個例題﹕牛頓第三運動定律
第二個例題﹕音量強度的比值
第三個例題﹕理想氣體壓力 P 改變體積 dV 所做的功
對數函數的輸入值必須是純數
對數函數的輸出值必須是純數
對數輸入值、輸出值必須是純數，討論結束
疊數曲線 f(x)=x^x
本卷 tutc0005.htm 最後一段
97,12,11,09,47 開始建立目錄
97,12,11,18,08 完成建立目錄
<a name=funcdef>
爪哇簡稿數學函數定義 


<a name=971123>　目錄
97,11,23,14,07 始
本卷 http://freeman2.com/tutc0005.htm
是自修微積分，劉鑫漢閱讀微積分的筆記。
民國九十三年十二月四日首次建立自修系列時，曾經考慮
名稱，「自修」、「課業」、「學術」？最後選擇最低調
的「自修」，因為劉鑫漢的網頁沒有人校對，同時，自己
能力有限，網頁內容可能有觀念錯誤，可能有打字錯誤，
所以，使用「自修」比較符合實際。

97,11,17,15,33 取得銘傳大學微積分
http://www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/Calculus-2-net/(1).pdf

由 97,11,18,04,24
至 97,11,18,08,08
下載全套銘傳大學微積分，(2).pdf 至 (24).pdf

現在（民國九十七年十一月二十三日）劉鑫漢溫習微積分
，並做筆記於本卷。主要閱讀材料是
銘傳大學微積分
http://freeman2.biz/a2/mathaa01.pdf
.....
http://freeman2.biz/a2/mathaa24.pdf
及
中央大學微積分
http://freeman2.biz/a2/mathab01.pdf
.....
http://freeman2.biz/a2/mathab64.pdf

其他材料將註解於討論處。

劉鑫漢　中華民國九十七年十一月二十三日
97,11,23,14,25 此

<a name=971211>
97,12,11,18,28 始
本卷使用最簡陋的文字公式，例如對數的積分定義寫為
log(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-15)
只能寫簡單的數學公式。本卷沒有例題，請讀者取閱他人
網頁，學習例題。您也可以到下面網頁取閱微積分課本
http://freeman2.biz/a2/mathmulu.htm
這些微積分課本都有例題，都是中華民國高等學府教授
的著作，讀者應該以這些微積分課本為主要讀物，以本
卷為參考讀物。
劉鑫漢　中華民國九十七年十二月十一日
97,12,11,18,35 止

<a name=971108>
97,11,08,10,29始
每一張圖片都有三個按鈕，以圖片 601 舉例，有
「畫圖 601」、「修改 601」、「刪圖 601」三個按鈕，
點擊「畫圖 601」，程式讀取「601圖」的內定值，根據
此內定值，畫圖。
點擊「修改 601」，程式讀取「601圖」的內定值，展示
此內定值，同時，不畫圖。
展示內定值時，內定值存於左側有黃線的區域，在此區域
內有「畫圖」按鈕，沒有編號「601」。如果在黃線區修
改公式、修改步長、修改上下限、修改畫板尺寸等等，
點擊黃線區內的「畫圖」按鈕，所有修改生效。
點擊黃線區外的「畫圖 601」按鈕，所有修改消失，
黃線區關閉，程式讀取「601圖」的內定值，並且畫圖。
修改完畢之後，必須點擊黃線區內的「畫圖」按鈕！
97,11,08,10,41此

<a name=9712100940>
97,12,10,09,40
本卷使用下面指令
<script type="text/javascript"
src=jsgraph1.js>
</script>
如果離線閱讀本卷，取不到 jsgraph1.js 
則喪失畫圖功能，喪失開啟註解功能。上線取得
http://freeman2.com/jsgraph1.js
把 jsgraph1.js 存於 tutc0005.htm 同一個子目錄，
就可以離線正常工作。
97,12,10,09,42

<a name=9711081136>
97,11,08,11,36始
下面所談的方法都是使用本卷提供的表格畫圖，這種方法
非常有限，略為複雜的曲線，不能使用表格畫圖，必須用
編程指令畫圖。請參考
http://freeman2.com/graph03c.htm
網頁中的「1至5」旁邊的方格，填入 1, 2, 3, 4, 5
獲得五種不同的曲線，這些曲線都不能用表格完成，其中
第 3 條曲線是「鋸齒波及十項富利葉級數」，這一張圖
是 graph03c.htm 網頁中比較有課業價值的一條曲線
。必須由編程完成，因為容許使用者選擇富利葉級數的
項數。另外一個必須用編程指令畫圖。請參考
http://freeman2.com/flag_ROC.htm
中國國旗程式， flag_ROC.htm 頁頂有一面青天白日
滿地紅國旗，這是電腦編程畫出來的國旗，無法用表格產
生。如果您想要精通網頁畫圖，請您研究專業製圖程式
http://www.structura.info/XYGraph/XYGraphDemo.htm
如果您在 XYGraph v2.3 - 註冊，
http://www.structura.info/XYGraph/Purchase.htm
他們應該協助您解決畫圖問題。
97,11,08,11,51止


<a name=chap1>　目錄 

97,11,29,09,09始
<a name="a00b01">　目錄
■□第零節﹕微積分基本常識

對於進階者而言，下面的微積分基本常識是理所當然的事
情，不值得一提。但是對於初學者而言，微積分基本常識
是非常重要的觀念。

微積分基本常識

一個數學公式或者一個物理項，
在微分之前與之後，二者的物理
意義截然不同。

一個數學公式或者一個物理項，
在積分之前與之後，二者的物理
意義截然不同。

換言之，微分過程、積分過程，改變
被微項、被積項的物理意義。

<a name="a00b02">
理由非常簡單，自由落體距離隨時間的函數為
s(t) = s0 - v0*t - 0.5*a0*t*t -----(00-01)
全式為距離。我們把距離公式(00-01)對時間t 微分，得到
v(t) = d[s(t)]/dt 
v(t) =  0 - v0 - a0*t -------------(00-02)
其中 s0, v0, a0 都是常數，時間 t 是變數。
微分之前是距離公式，
微分之後是速度公式，不一樣！
為什麼會改變物理意義呢？看 v(t) = d[s(t)]/dt 
距離公式 s(t) 除以時間 t ，變為速度公式，
乘除操作改變公式的物理意義。
（d 只表示微量，沒有物理單位）

<a name="a00b03">
積分一樣，∫v(t)dt 的意義是速度 v(t) 乘以時間 dt
，改變公式的物理意義，結果為距離。在物理問題中，對
純數微分、對純數積分的事情，很少發生。
（乘除純數，不改變公式的物理單位，可能改變含義。）

<a name="a00b04">
劉鑫漢在大一學微積分時，完全不知道這回事。後來學流
體力學時，驚異的發覺一項導證由力量公式開始，至能量
公式結束，為什麼公式性質改變？在那一步改變？追查、
苦思之後，發覺力量公式沿路徑積分，得到能量公式！
積分過程，改變被積項的物理意義。

在此提出微積分基本常識，為初學者解答將來的困惑。
97,11,29,09,36止

<a name="a00b05">
97,11,30,12,31 下面是龔昇君與張德健君的大著

1857年 Weierstrass 給出了實數的嚴格定義，大意
是﹕先從自然數出發定義正有理數，然後由無窮多個有
理數的集合來定義實數。而他對微積分嚴格化最突出的
貢獻是他創造了一整套  ε − δ 語言、ε − N 語言
，用這套語言重新建立了微積分體系。重新定義了極限
、連續、導數等微積分中所有的基本概念, 用以取代
Cauchy 的「無限趨近」、「想要多小就多小」等描述
的語言。並因此而引入了「一致收斂」概念，消除了微
積分中以前出現的錯誤與混亂。
.....
<a name="a00b06">
在 Newton 與 Leibniz 建立微積分的階段，他們
往往任意使用無窮小，但在實數域中是沒有無窮小的位
置的。實際上，對任給得一個非零實數 a，其絕對值的
整數倍構成的數列
{|a|, 2|a|, . . . , n|a|, . . . }
可以超過任何界限，及任給 m > 0，不論 m 有多大，
一定可以找到充分大的正整數 n，使得 n|a| > m ，
<a name="a00b07">
這個性質叫做 Archimedes 性質。實數域 R 就是
具有這個性質的數域。在微積分中，按照 Cauchy 
的定義，無窮小量是指無限接近於零的變量，因此乘
以任一整數n 以後，仍為一無窮小量，即無窮小量不
具有 Archimedes 性質。所以不屬於 R。

<a name="9712100958">
//註﹕9712100958 m 是隨意指定的巨大常數（不能變動）
//註﹕阿基米德性質規定微量值 |a| 也不能變動，而只有
//註﹕乘數 n 可以任意增長，趨近於無限大，所以 n|a| > m
//註﹕考希 Cauchy 性質是微量值 |a| 也可以變動，趨近
//註﹕無限小（零），在 n|a| ?>? m 中 n 及 |a| 同時
//註﹕走極端，於是 n|a| ?>? m 不能成立。9712101006
//。。。要是 n,a,m 三個都可以跑，那不是更熱鬧了嗎？。。。

<a name="a00b08">
Newton 與 Leibniz 當時進行實數運算時，任意
運用一個在實數域中不存在的無窮小，以至產生了一會
是零，一會又不是零，對「零除以零」的解釋也不能令
人滿意。也正因為如此，那時的微積分就遭到一些人的
非難與攻擊。經過了近二百年的努力，分析算術化的成
功，有了 ε − δ，ε − N 這一套語言，為微積分打
下了牢固的基礎，這時候的無窮小量被完全拋棄了，而
與此同時，無窮小方法所具有的直觀、簡潔、生動活潑
<a name="a00b09">
的優點也一起被拋棄了。例如﹕瞬時速度本來人們直觀
可以理解的概念，且客觀存在。但是為了嚴格定義它，
不得不使用 ε − δ 語言，費些口舌去定義它。但是
天道好還！在 Newton 與 Leibniz 建立微積分三
百年後，已經被趕出微積分一百多年的無窮小又回到
了微積分中。1960年， A. Robinson (1918-1974)
<a name="a00b10">
運用現代數理邏輯的方法與新成果，主要是模型論的
理論，將實數域擴充到包含數不清的無窮小及無窮大
等非標準數的超實數域 R*。而 R* 與 R 一樣，其
中的元素可以進行四則運算，且遵循一些算術法則。在
R* 上重新討論微積分、度量空間及拓樸空間等，以及
應用這種思想於別的數學領域，就構成了一門新的學科
—— 非標準分析。從某種意義上講，他的工作復活了三
百年前 Newton，Leibniz 的無窮小分析。

<a name="a00b11">　目錄
非標準分析的產生告訴我們﹕分析算術化不是微積分嚴
格化的唯一途徑。但是由於用非標準分析來講微積分往
往要用到很多的數理邏輯的知識，這又為多數數學家所
不熟悉，所以在微積分的教材中普遍使用非標準分析恐
怕一時不易做到。但是用非標準分析講微積分的教材確
實是有的。對非標準分析有興趣的讀者可參閱[9]。
9. A. Robinson, Non-Standard Analysis,
 North-Holland Pub. Com. 1974. 中譯本: 
 非標準分析, 北京: 科學出版社, 1980。

<a name="a00b12">
最後還要說一下微積分在中國的傳播。由於中國封建社
會的長期鎖國政策，以致人們在此期間對西方的數學了
解甚少。直到明末，才由徐光啟(1562-1633) 與意大
利傳教士利瑪竇 (Metteo Ricci) 合作翻譯了歐
幾里德的「原本」前六卷成中文，並正式刊刻出版，定名
為「幾何原本」。數學名詞「幾何」由此而來。這是西
方數學輸入中國的一個標誌。之後還通過傳教士輸入了
西方文藝復興以來產生的數學。
<a name="a00b13">
在我國最早引入微積分的是清代的李善蘭(1811-1882)
。1859年，他與英國傳教士 A. Wylie (1815-1887)
一起翻譯了美國人 E. Loomis (1811-1899) 於
1851年所著的
“Elements of analytic geometry and of
 differential and integral calculus”
<a name="a00b14">
一書成中文，取名「代微積拾級」。李善蘭首先引入了
微分與積分這兩個中譯名，他大約是取自我國古代成語
「積微成著」而來，這個譯名確切地反映了「微分」與
「積分」的涵義，而「積微成著」的想法也正好反映
了微分與積分的辨證關係。他在翻譯過程中，還創造了
大量中文數學名詞，其中有許多，如﹕函數、級數、切
線、法線、漸進線、拋物線、雙曲線、指數、多項式、
代數等被普遍接受而一直沿用至今。

<a name="a00b15">
他還與當時的其他學者一起翻譯了不少西方數學著作，
有助於西方數學在中國的傳播。他本人在數學上也有所
創造，如他建立了著名的「李善蘭等式」

　n
　Σ　[C_sup(n)_sub(k)]^2*[C_sup(2*n+r-1)_sub(2*n)] = [C_sup(n+r)_sub(n)]^2
k=0

k 是變數，n 及 r 是常數。
「_sup(n)」表示 C 右上角指標。
「_sub(k)」表示 C 右下角指標。
「^2」表示平方。（劉鑫漢註 9711301916）

<a name="a00b16">
等。由於他對當時西方數學的真正了解及繼承了清代乾
嘉學派的影響，所以才能翻譯出十分恰當以至一直沿用
至今的那麼多的中文數學名詞。

<a name="a00b17">
上面是龔昇君與張德健君的大著
97,11,27,15,15,37 取卷
http://ycc.math.fju.edu.tw/crs2oo8f/calm2oo8f/file/30403.pdf
 595,067 30103.pdf 第一講﹕回顧中學數學
 537,046 30202.pdf 第二講﹕微積分的三個組成部分
 467,846 30303.pdf 第三講﹕微積分的各種對立
 799,025 30403.pdf 第四講﹕微積分的三個發展階段
 643,274 31103.pdf 第五講﹕微積分嚴格化之後
97,11,30,12,31 閱讀「第四講微積分的三個發展階段」
97,11,30,18,59 納入自修第五卷

<a name="a00b18">
證明畢氏定理
97,12,02,19,48 作圖始
97,12,02,22,16 註解始
畢氏定理是證明許多其他定理的依據。畢氏定理的內容是
直角三角形底邊的平方加高邊的平方，等於斜邊的平方。

下面是一個簡單的畢氏定理證明，供為參考。
請點擊下面的「畢氏定理 9712022054」按鈕，
每個點都有一個圓圈，圓圈右上方有點的標註符號。

<a name="a00b19">
因為 ⊿ABC 與 ⊿IBK 全等，所以 KI=BC
∆BCI 的底是 BC，∆BCI 的高是 KI，
所以，∆BCI 是正方形BCDE 的一半。
另外一方面，
∆BCI 的底是 BI，∆BCI 的高是 BL，
所以，∆BCI 是矩形JLBI 的一半。
正方形BCDE 的面積等於矩形JLBI的面積。
同理
正方形AFGC 的面積等於矩形HALJ的面積。
結論
方形AFGC+方形BCDE=方形HABI
這就是有名的畢氏定理。
「畢氏定理」的證明來自記憶。

<a name="a00b20">
請點擊「畢氏定理 9712022054」按鈕
97,12,02,22,32 註解止





<a name="a00b21">　目錄
97,12,05,16,43 始
本卷是文字卷，許多數學公式以簡單的符號表示，例如
∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-14)
表示 dy/y 的積分，積分下限為 y=1，積分上限為 y=x
被積分函數放在大括號中，例如 {1/y} 。
97,12,05,16,46 止

<a name="a00b22">
97,12,10,12,53 始
本卷使用下述名詞
指數函數 f(x)=a^x
稱 a^x 為指數
稱  a  為底數
稱  x  為指角，這是本卷特殊用詞，非標準用詞。
如果也稱  x  為指數，那麼 a^x 與 x 就混同不清了。
97,12,10,12,57 止

<a name="a00b23">
97,12,11,02,41 始
本卷使用下述名詞
疊數　 x^x ，底數及指角都是同一變數的數學項。
一項式 x^n ，底數 x 是變數，指角 n 是常數。
指數　 n^x ，底數 n 是常數，指角 x 是變數。
上面三種數學項的性質不同，需要區分。
97,12,11,02,47 止

疊函數 底數是一個函數 f(x) 及
指角是另外一個函數 g(x)
例如﹕ (x*x+x-6)^sin(x)  //97,12,12,12,15
疊函數 composite exponential function

指函數﹕如果底數不含變數，指角函數簡稱為指函數。
角函數﹕如果底數含有變數，指角函數簡稱為角函數。//9712130833

<a name="a00b24">
97,12,17,10,53
在寫閱讀心得時，此處為「整數、分數及無理數、超越數
」，後來刪除，因為還不確定如何定義超越數。
在 97,12,17,10,08 發覺本卷目錄有
「整數、分數及無理數、超越數」，但是已經刪除內容。
現在在此說明。將來了解如何定義超越數之後，再補充。
97,12,17,10,56

97,11,29,10,35始
<a name="a01b01">　目錄
■□第一節﹕函數的定義

銘傳大學微積分課本
http://freeman2.biz/a2/mathaa01.pdf
中央大學微積分課本
http://freeman2.biz/a2/mathab05.pdf

什麼是函數？一般的了解，
函數就是一條數學公式，但是，數學公式不一定是函數。
那麼，數學公式與函數有什麼差別呢？

請看下面的數學公式﹕

y = x*x --------------------------(01-01)
x*x + y*y = 1  -------------------(01-02)

<a name="a01b02">
這兩個公式都是以 x 為自變數（主動改變，已知值），
以 y 為應變數（隨從改變，待求項）。

我們對 x 指定一個值， y 隨之產生另外一個或數個值。
例如，我們令 x=0.5 
(01-01)式告訴我們 y = 0.25
(01-02)式告訴我們 y = √(1-0.5*0.5) = +/- 0.8660
這裏的差別是答案的數量。

<a name="a01b03">
(01-01)式給我們一個答案，問題結束了。
(01-02)式給我們多組答案，y=+0.8660 或者 y=-0.8660
問題沒有結束！

若有兩個或多個解答，我們仍然可以在數個解答中取捨。
在兩個或多個解答中取捨，這是最佳設計問題，我們可以
再指定一個條件，在二者中找出最低成本的答案，或者找
出最大利潤答案。最佳設計是另外一門科學。
<a name="a01b04">
數學公式千千萬萬，在眾多的數學公式中，
給我們唯一答案的數學公式，特別稱為函數。

看見函數公式，我們獲得保證，解題之後，不再有後續的
最佳設計問題。
97,11,29,10,56此

<a name="a01b05">
97,12,01,15,07始
歷史上，有一段時期，有些數學家會說﹕「圓函數的定義
域內，有兩個解答，」在對函數觀念嚴謹化之後，函數只
容許一個解答，上述言論，不再出現。所以，初學者應該
警惕，當論及函數時，不能說函數有多個解答。
97,12,01,15,07止 (Tom M. Apostol 55頁 13行)

<a name="a01b06">
97,11,29,14,52始
下面 601 圖有四條實曲線，一條虛線等位直線。

藍色圓圈及銀色縱立正弦波都不是函數，因為指定一個定
義域點，得到多個應變數答案。虛線等位直線與實線曲線
相交於兩點或者多點（多個答案）。

紅色拋物線及綠色三次曲線與虛線等位直線相交於一點，
得到唯一的答案，解決問題，所以紅色拋物線及綠色三次
曲線是函數。再次，
人為規定：只給予一組答案的數學公式，稱為函數。
97,11,29,15,00止

<a name=9712130846>
97,12,13,08,46始
縱立等位直線表示橫軸位置相同的等位直線，例如「圖　601」
中，黑色縱立虛線是所有橫軸位置=0.5 的集合。

水平等位直線表示縱軸位置相同的等位直線，例如「圖　601」
中，所有水平坐標線（很淡的虛線）都是水平等位直線。

因為橫軸值是輸入，縱軸值是答案，我們只喜歡一個答案，
所以，規定
縱立等位直線與曲線相交於一點的數學公式稱為函數。
「圖　601」的藍圓不是函數，因為縱立直線與藍色圓
相交於兩點。若把藍圓從腰部切開，分為上下兩半，此時
符合我們的規定，上半是函數，下半是另外一個函數。

相對的，
水平等位直線與曲線相交於多點的數學公式可以稱為函數
，也可以不是函數，
水平等位直線不具函數的判別功能。

但是，一一對應的函數具有反函數，只有
縱立等位直線與曲線相交於一點的數學公式，以及
水平等位直線與曲線相交於一點的數學公式
才能稱為一一對應的函數。所以，
水平等位直線具有一一對應函數的判別功能。

當曲線的切線變為水平時，曲線回頭，縱軸值轉向，此時
，水平等位直線與曲線相交於多點，例如「圖　601」的紅
色拋物線。對一一對應函數而言，這是不許可的現象，所
以，一一對應函數的斜率不許易號，
正斜率的曲線，永遠維持正斜率，
負斜率的曲線，永遠維持負斜率，
這才能稱為一一對應函數，這才具有反函數。
對數函數 log(x) 及指數函數 exp(x) 都是一一
對應函數，二者互為反函數。
97,12,13,09,18止
<a name=a601>

   

<a name="a01b07"> 
藍色圓圈公式為
x1(t)="cos(t)";
y1(t)="sin(t)";
當 x1 等於零點五時， y1 有兩個答案
y1=+0.8660254037844386
y1=-0.8660254037844386

紅色拋物線公式為
x2(t)="t";
y2(t)="-t*t+3";

<a name="a01b08">
綠色三次曲線公式為
x4(t)="t";
y4(t)="(-10+t+t*t*t)/5";

銀色正弦曲線公式為
x5(t)="sin(4*t)/4-3";
y5(t)="t";
當 x5 等於 -3 時，y5 有無限多組答案。

上面是答案數量的考慮，
<a name="a01b09">
下面是
物理公式與純數學公式的差異

再回頭看物理公式(00-01)，等加速度的距離表示法
s(t) = s0 - v0*t - 0.5*a0*t*t -----(00-01)
(00-01)全式以時間 t 為自變數，
左側的 s(t) 表示在時間等於 t 時的距離，
右側的 s0 表示時間等於零 t=0 的起始距離
右側的 v0*t 表示時間等於 t 時因為初速度 v0 產
　　　　生的距離。
右側的 0.5*a0*t*t 表示時間等於 t 時因為等加
　　　　速度 a0 產生的距離。（ a0 必須是常數）
(00-01)式我們稱之為函數，自變數時間 t 取得一個值之
後，經過(00-01)式的運算，得到距離 s(t) 的唯一答案。

<a name="a01b10">
相對於物理數學公式，另外有純數學公式，例如
y(x) = cos(x/r) + x*x  -----------(01-03)

讀者可以看出(00-01)式與(01-03)式有什麼差別嗎？
請讀者先略為思考，然後點擊說明，比較觀點。　　＜＝說明762



上面是物理公式與純數學公式的差異。
<a name="a01b11">　目錄
下面為
非數學公式的統計數據也構成函數

有的數學家持嚴謹態度，堅持函數只包括數學公式，
也有數學家持寬鬆態度，認為函數不只包括數學公式，
數學公式以外的函數就是統計資料，例如，在公路檢測站
放一個流量計，統計每五分鐘的車行流量，自變數是時間
，應變數是每五分鐘的車行數字。這種數據也算是函數，
畫出的流量曲線，沒有數學公式可以完全描述統計曲線。
當然，由統計數據構成的函數，也必須有唯一答案的條件
。所以，
廣義的函數定義使用集合觀念（可以包容統計數據），
如下﹕（看了數份網頁之後，取用其中一份）

<a name="a01b12">
函數的定義﹕
設 A 與 B 為兩個非空集合，
若對於 A 中的每一個元素 x ，在 B 中
都恰有一個元素 y 與之對應（只出現一個答案），
則稱這個對應 f 為 A 到 B 的函數。
以  f﹕A→B 或 y = f(x), x∈A
表示之。
其中 x 稱為自變數， y 稱為應變數。
集合 A 稱為函數 f 的定義域，
集合 B 稱為函數 f 的對應域，
函數值所成的集合 f(A) 稱為值域；
即當 x=a 時，其對應值 f(a) 稱為
函數 y = f(x) 在 x = a 的函數值，
所有函數值構成的集合（也就是值域），
簡記 f(A), f(A)={f(a), a∈A}

<a name="a01b13">
註
(1) 定義域指所有使得 f(x) 為實數
的實數 x 所成的集合，故要注意分母不
得為 0 ，偶次根號內之被開方數不小於 0 。
(2) 函數可以是「一對一」（一個定義域點只有一個答案）
可以是「多對一」（多個定義域點有相同的答案，可以）
但不能是「一對多」（一個定義域點有多個答案？不算函數！）

上面的函數的定義，下載記錄為 97,11,27,10,47 存
http://blog.tpsh.tp.edu.tw/blog/get/68/%E5%B8%8C%E6%9C%9B%E6%9D%AF%E8%A3%9C%E5%85%85%E8%A7%80%E5%BF%B5%20%20%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%A6%82%E5%BF%B5.pdf
為
blog.tpsh.tp.edu.tw_971127a.pdf

<a name="a01b14">
上面說的「分母不得為 0 」，例如
f(x) = 1/(x-1) ------------------(01-04)
的定義域為除一之外的所有實數，記號法為 R\{1}
其中「R」代表所有的實數，「\」代表除去，
「{1}」代表被排除的數字一 （x-1=0, 1/0？ 不可）
值域記號法為 R\{0}，表示所有的實數，唯一不包括0
。為什麼不包括0 呢？因為指定 f(x)=1/(x-1)=0
之後，x 必須為無限大，但是無限大是數學家避免觸及
的區域，不去碰它，沒有無限大，也就沒有 f(x)=0 
的機會。

<a name="a01b15">
定義域與值域的物理意義不同
函數的定義域是函數自變數的定義範圍。
函數的值域是函數公式計值之後的範圍。
這兩個範圍是不同的，特別是物理意義不一樣。例如
s(t) = s0 - v0*t - 0.5*a0*t*t -----(00-01)
自變數 t （時間）的定義域是 t>=0 至無限大。
當 t=0 秒時，(00-01)計值得到
s(0) = s0 - v0*0 - 0.5*a0*0*0 = s0
當 t=1 秒時，(00-01)計值得到
s(1) = s0 - v0*1 - 0.5*a0*1*1 = s0-v0-0.5*a0
餘類推。
初距離 s0 及初速度 v0 及等加速度 a0 是已知值，

<a name="a01b16">
假設 s0=0 及 v0=2 及 a0=9.8 則 
0 秒時 s(0) = s0 = 0 公尺
1 秒時 s(1) = s0-v0-0.5*a0
           = 0-2-0.5*9.8 = -6.9 公尺
0 秒或 1 秒，這是定義域（輸入值、已知值），
0 公尺或 6.9 公尺，屬於值域（輸出值、未知值）。
時間（秒）與距離（公尺）的物理意義完全不一樣。
初學者應該強化觀念﹕
函數的定義域與函數的值域是兩種不同的物理量。

<a name="a01b17">
函數作圖法
當自變數 t 由 0.  0.2  0.4  ..... 1.0 1.2 ....
漸增時，函數 s(t) 的值也隨之改變。
[t,   s(t)] 有一一對應的數據如下
[0,   0],
[0.2, -0.596],
[0.4, -1.584]
 ..... 
這種數據可以畫圖
自變數時間 t 設為橫軸，應變數距離 s(t) 設為縱軸，
畫一條曲線如下
s(t) = 0 - 2*t - 0.5*9.8*t*t
97,11,29,12,18 此
<a name=a602> 請點擊「畫圖 602」按鈕

    

<a name="a01b18">
97,11,26,07,50 始
上面的曲線代表一個函數，
橫軸零秒至三秒是定義域。
縱軸零公尺至負五十點一公尺是值域。

定義域的「定義」有什麼含義嗎？「定義」表示我們有選
擇，例如，圓周率等於 3.141592653589793...
這個值是唯一的答案，沒有選擇，我們不能說定義圓周率
等於此值。然而，拋物體的觀察區間，可以由我們指定，
所以，我們說「定義域是零秒至三秒」，這是合理的。
（不必零秒至無限大秒）

<a name="a01b19">
看圖先看軸
第 602 圖的公式是
x1(t) = t --------------------------(01-05)
y1(t) = s0 - v0*t - 0.5*a0*t*t -----(01-06)
對比於另外一組公式
x2(t) = s0x + v0x*t ----------------(01-07)
y2(t) = s0y - v0y*t - 0.5*a0*t*t ---(01-08)
同時 s0x=0 及 v0x=1； s0y=s0 及 v0y=v0
於是 [x1(t), y1(t)] 及 [x2(t), y2(t)]
兩組曲線一模一樣。但是兩組曲線的性質完全不同，因為
[x1(t), y1(t)] 的橫軸是時間，垂直下落。
[x2(t), y2(t)] 的橫軸是水平位移，水平拋射。

<a name="a01b20">
當我們看見一條數學曲線時，
外行人看曲線（上圖的紅線部份）
內行人先看橫軸變數及縱軸變數，然後看曲線。
外行人看熱鬧，內行人看門道。
97,11,26,08,08 此

<a name="a01b21">　目錄
97,11,29,12,23 記錄始
本卷自 97,11,24,09,06始，至 97,11,26,19,08 此
又在 97,11,29,09,09始 大幅更改內容，
增加「微積分基本常識」，修改「函數的定義」，
部份內容未變，
所以在 97,11,29 工作記錄中出現 97,11,26 時標。
97,11,29,12,26 記錄止

<a name="a02b01">　目錄
■□第二節﹕線性函數

97,11,26,18,36 始
最簡單的函數莫過於直線，非垂直的直線方程式必定滿足
函數條件，這就是定義域中的一點，只能得到一個值域中
的一點。（因為它是非垂直的直線）
同時，非水平、非垂直的直線方程式的定義域與值域是一
一對應。（因為它是非水平、非垂直直線，直線不回頭）

<a name="a02b02">
「斜截式」直線公式
直線方程式的表示法如下
y=f(x)=m*x+b ----------------(02-01)

(02-01)式稱為「斜截式」直線公式。因為 m 是斜率，b是
直線在 y 軸上的截距。 m 及 b 都是已知。
直線的應變數 y 必須是一次方，不能有 y*y
直線的自變數 x 必須是一次方，不能有 x*x，不能有
 x 的更高次方，因為平方項就產生曲線。

兩個自變數時，線性方程式（平面方程式）的表示法如下
z=g(x,y)=m*x+n*y+b ----------(02-02)
兩個自變數時，自變數 x 與自變數 y 不相乘，才能稱
為線性方程式。

<a name="a02b03">
線性方程式的特徵是自變數只有一次方，所以(02-01)式及
(02-02)式都是線性方程式。反之
f(x)=sqrt(x) ---------------(02-03)
f(x)=a*x*x+b*x+c -----------(02-04)
都不是線性方程式。因為
sqrt(x) 及 x*x 都不是自變數 x 的一次方。

直線方程式或者平面方程式又稱為線性方程式。類推至高
度（四度）空間的線性方程式如下
s=h(w,x,y,z)=l*w+m*x+n*y+o*z+b ---(02-05)
上式 l,m,n,o,b 是常數，w,x,y,z 是自變數。
此式的自變數 w,x,y,z 都只有一次方，沒有相乘。
97,11,26,19,00 此

<a name="a02b04">
97,11,29,16,28 始
二度空間的直線公式
y=f(x)=m*x+b ----------------(02-01)
(02-01)式是二度空間的公式，因為有 x, y 兩個變數。
(02-01)式是二度空間的廣義曲線，因為有 x 一個自變數。
(02-01)式是二度空間的直線，因為自變數 x 為一次方。

令 x=0 得到 y = y1 = 0+b = b
 x=0 位於 y 軸上，所以
常數 b 是直線 y=m*x+b 在 y 軸上的截距。
（ y 是變數， y1 是常數）

<a name="a02b05">
那麼，在 x 軸上的截距又是什麼表示法？
在 x 軸上的截距，必須有 y=0 所以，
y=f(x)=m*x+b=0 解 x 得到
x=x2=-b/m 
x2=-b/m 是直線 y=m*x+b 在 x 軸上的截距。
（ x 是變數， x1,x2 是常數）
（ y 是變數， y1,y2 是常數）

<a name="a02b06">
直線 y=m*x+b 中的 m 代表直線的斜率。
斜率的定義是﹕對於一條直線
斜率＝縱軸改變量／橫軸改變量
直線上第一點 y1=m*x1+b
直線上第二點 y2=m*x2+b
第二點對第一點的改變量為
 y2-y1=(m*x2+b)-(m*x1+b)=m*(x2-x1)
所以，斜率＝(y2-y1)／(x2-x1)=m

<a name="a02b07">
垂直線公式、水平線公式
(02-01)式不能表達所有的直線，唯一的例外是垂直於橫
軸的直線，此時直線的斜率為無限大。
垂直線公式變為 x=常數 -----(02-06) 〔 及 y=任意值 〕

水平直線的斜率為零，所以
水平線公式變為 y=常數b ----(02-07) 〔 及 x=任意值 〕

(02-01)式是已知斜率及已知 y 軸截距 b 的公式。

<a name="a02b08">
「點斜式」直線公式
如果已知斜率及已知直線上的一點 [x1,y1]，又是
什麼公式呢？根據斜率的定義
斜率＝縱軸改變量／橫軸改變量
所以，斜率＝
m ＝(y-y1)／(x-x1) // (x,y) 是直線上的移動點
解出 y=..... 得到
y = m*(x-x1)+y1  ---------------(02-08)

(02-08)式稱為「點斜式」直線公式。因為 [x1,y1] 是直線
上的一個已知點，m 是斜率。
 m 及[x1,y1] 都是已知值（固定值），x,y 是變數。

<a name="a02b09">
「雙點式」直線公式
如果已知直線上的兩點 [x1,y1]， [x2,y2]，又是
什麼公式呢？仍然根據斜率的定義
斜率 ＝縱軸改變量／橫軸改變量
斜率1＝(y2-y1)／(x2-x1)
斜率2＝(y-y1)／(x-x1)  // (x,y) 是直線上的移動點
其中 [x1,y1]， [x2,y2] 是已知點，[x,y] 是
直線上的變動點，因為直線的斜率只有一個值所以有
斜率2＝(y-y1)/(x-x1)＝(y2-y1)/(x2-x1)＝斜率1
解出 y=..... 得到
y = ((y2-y1)／(x2-x1))*(x-x1)+y1 ---(02-09)

(02-09)式稱為「雙點式」直線公式。因為 [x1,y1] 及
[x2,y2] 是兩個已知點。

97,11,29,17,11 此

<a name="a02b10">
一一對應函數
非垂直的直線公式必定是函數，因為，直線公式必定給予
唯一的解答，在定義域指定一點，過此點畫一條垂直線，
垂線只與直線相交於一點，

在定義域的全部區間，曲線的斜率都是正值，或者斜率都
是負值時，斜率不易號，稱為一一對應函數。

除了垂直直線與水平直線以外，傾斜直線公式必定是一一
對應函數，因為，直線公式的斜率是常數，
 y=m*x+b 的值，永遠增加，或者永遠減少。
定義域中一個 x 點，在值域有唯一的 y 點對應，
值域中一個 y 點，在定義域有唯一的 x 點對應。
97,11,29,17,28 此

<a name="9712131224">
97,12,13,12,24 始
一個一一對應函數，可以定義它的反函數。
http://freeman2.biz/a2/mathab05.pdf
上卷有大約十個例題。

二函數 f 與 g 互為反函數，若對所有g 的定義域中的x,
f(g(x)) = x
且對所有f 的定義域中的x,
g(f(x)) = x
如圖示. 通常將f 的反函數g 表示成 f^(-1)

原函數 y=f(x)
反函數解原函數得到 x=g(y) 之後，改寫為 y=g(x)
此時的 y=f(x) 與 y=g(x) 互為反函數。

例題
原函數﹕y(x)=(-10+x+x*x*x)/5
原函數切線斜率﹕y'(x) = (0+1+3*x*x)/5 > 0
斜率永遠大於零，不易號，所以原函數是唯增函數，是一
一對應函數，它具有反函數。
請到 「圖 601」，點擊「修改 601」

把原有的
函數四 x(t) t
函數四 y(t) (-10+t+t*t*t)/5
函數五 x(t) sin(4*t)/4-3
函數五 y(t) t

更改如下
函數四 x(t) t
函數四 y(t) (-10+t+t*t*t)/5
函數五 x(t) (-10+t+t*t*t)/5
函數五 y(t) t

只改函數五，
然後點擊「畫圖」按鈕。
此時，綠線與銀線互為反函數。

部份本卷的例題，需要勞駕讀者動手修改公式定義。
97,12,13,12,43 止

<a name="a02b11">　目錄
97,11,29,17,29 此
兩條互相垂直的直線。斜率乘積等於負一

兩條直線，如果斜率相等，我們稱這兩條直線互相平行。

兩條直線，如果兩個斜率乘積等於負一，我們稱這兩條直
線互相垂直。證明如下﹕
證明的先決條件是兩條互相垂直的直線皆不平行於坐標軸
，避免無限大斜率乘零斜率。
<a name=a603>　目錄 請點擊「畫圖　603」按鈕。

    

<a name="a02b12">
97,11,29,18,10 此
上面的圖　603是一個直角三角形 AOB 其中角 O 為直角。
A 點坐標為 (Ax, Ay)
O 點坐標為 (Ox, Oy) = (0,0)
B 點坐標為 (Bx, By)
直線 AO 的斜率為 m1=(Ay-Oy)/(Ax-Ox)=Ay/Ax
直線 BO 的斜率為 m2=(By-Oy)/(Bx-Ox)=By/Bx
根據畢氏定理，直角三角形有如下的關係﹕
 (Ay-Oy)*(Ay-Oy)+(Ax-Ox)*(Ax-Ox)
+(By-Oy)*(By-Oy)+(Bx-Ox)*(Bx-Ox)
=(Ay-By)*(Ay-By)+(Ax-Bx)*(Ax-Bx)

<a name="a02b13">
因為 (Ox, Oy) = (0,0) 所以，上式又為
 Ay*Ay+Ax*Ax
+By*By+Bx*Bx
=(Ay-By)*(Ay-By)+(Ax-Bx)*(Ax-Bx)
=Ay*Ay-2*Ay*By+By*By
+Ax*Ax-2*Ax*Bx+Bx*Bx
左右相消之後，得到
2*Ay*By+2*Ax*Bx=0
全式除以 2*Ax*Bx 得到
Ay*By/(Ax*Bx)=-1
也就是 (Ay/Ax)*(By/Bx)=-1
剛好是 AO 的斜率乘 BO 的斜率=-1
<a name="a02b14">
至此，
兩條互相垂直的直線。斜率乘積等於負一，得證。
此段證明在
http://www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/Calculus-2-net/(1).pdf
或者
http://freeman2.biz/a2/mathaa01.pdf
第二十二頁有證明（共 106 頁）
97,11,29,18,29 此

<a name="a02b15">
97,11,26,19,01 此
線性公式之物理應用
線性方程式在我們生活的空間有許多應用，例如
熱脹冷縮的長度改變量，幾乎是正比於溫度的改變量，
所以我們可以寫
l(T)=l0+a*(T-T0) -----------------(02-10)
l0 及 a 及 T0 皆常數，溫度 T 為變數。

又如虎克定律﹕在物體彈性範圍內（表示施力不太大時）
物體的伸長量，與施力成正比。
l(F)=l1+b*F ----------------------(02-11)
l1 及 b 皆常數，施力 F 為變數。

上面是線性方程式在物理範圍內應用的簡單例題。
97,11,26,19,08 此

<a name="a02b16">
97,11,30,17,38 始
線性公式之數學應用
線性方程式在數學範圍內的應用非常廣泛，許多數學問題
都可以把複雜公式線性化，觀察局部區域的動態。

線性方程式最重要的應用，是切線。因為曲線一點的
切線之斜率決定該點的函數值狀態。如果切線斜率為零，
那麼，該點的函數值有可能是最大值，或者是最小值，或
者是轉折點。

<a name="a02b17">
雖然自然界的現象可以用平衡理論解釋，但是，某一個物
理量的最小值，往往可以更廣泛的解釋自然現象。例如，
蘋果掛在樹枝上不動，可以解釋為向下的重力，與向上的
樹枝拉力平衡，蘋果的淨外力為零，所以，根據牛頓第一
定律，蘋果掛在樹枝上不動。但是，樹枝斷裂之後，蘋果
落地，雖然依舊可以解釋為地面支撐力與重力平衡，我們
也可以由能量角度解釋，這就是，蘋果的位能降至最低值
是最穩定的狀態。吹肥皂泡，為什麼都是圓形的呢？因為
以相同的體積，球體有最小表面積。

由此觀之，函數曲線的切線之斜率，十分重要。

圖　604 說明切線與割線的關係。
97,11,30,18,00 此
<a name=a604>　請點擊「畫圖　604」按鈕。

    

<a name="a02b18">
97,11,30,18,31 此
圖　604 是函數 y=x*x 在 [x,y]=[1,1] 點的
割線與切線。割線與切線都是直線，割線與曲線相交於兩
點，當兩個割點重合時，割線稱為切線。也就是
切線是割線的極限。
97,11,30,18,34 止

<a name="a03b01">　目錄
97,12,01,10,30 始
■□第三節﹕基本函數與特殊函數

三個基本函數為﹕
（一）、多項式函數， x^µ, 其中 µ 為任意實數，例如
　　　　 [x^(1.65), x^3, x^(-0.5) ...]
（二）、三角函數以及它的反函數，如 sin(x), cos(x), . . .
　　　　arcsin(x), arccos(x), . . .
（三）、指數函數以及它的反函數，如 exp(x), log(x) , . . .
這三個基本函數是日常生活中常見的函數，因為這三種函
數可以很好的描述大多數物理現象。其他在自然界出現的
物理數學函數（特殊函數），舉例如下﹕
97,12,01,10,45 止

<a name="a03b02">
97,12,01,12,04 始
第一個特殊函數﹕
階乘函數（伽瑪函數） factorial function (Gamma function)
Γ(z) = ∫[t=0,∞]{exp(-t)*t^(z)*dt  z>0 ---(03-01)
ISBN 0-12-059820-5 第 543 頁，第 10.25 式

請點擊下面的「畫圖　605」按鈕，取閱階乘函數曲線。
97,12,01,12,10 此
<a name=a605>
9711062149始
95,07,08,14,55 取閱下面兩個網頁，
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/JavaCalc/jcintro.html
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/JavaCalc/parser.js
得到伽馬函數 Gamma(x) 定義指令。
原作者﹕ Ken Kikuchi Comment me: kikuchi@mix.or.jp
這個函數不屬於《特殊平面曲線目錄》。
陳列於此，提醒讀者﹕本卷有伽馬函數。
9711062151止

    

<a name="a03b03">
97,12,01,12,20 始
階乘的定義是
Γ(1) = 0! = 1
Γ(2) = 1! = (0!)*1
Γ(3) = 2! = (1!)*2 = 2
Γ(4) = 3! = (2!)*3 = 6
Γ(5) = 4! = (3!)*4 = 24
.....
Γ(n) = (n-1)! = 1*2*3*.....*(n-1) ---(03-02)
上面這些點都是正整數的階乘，正整數是孤立的、離散的
。階乘函數是一條連續曲線，穿過上述各點。
正數的階乘有定義，負數的階乘沒有定義。
階乘是或然率的主要工具，同時或然率是物理數學的重要
論題。
97,12,01,12,30 此

<a name="a03b04">
第二個特殊函數﹕
貝索函數， Bessel Function
處理圓柱問題、球體問題時，會出現貝索函數。在物理上
貝索函數有廣泛的應用。本卷沒有產生貝索函數的指令，
請讀者參閱進階數學，此處只列出特殊函數的名稱。

<a name="a03b05">
第三個特殊函數﹕
勒巾椎函數， Legendre Function
解微分方程式時，經常出現勒巾椎函數。處理靜電荷問題
時，也會遇見勒巾椎函數。公式及圖形，請參考進階數學
。

<a name="a03b06">
上面是三個主要的特殊函數。本卷是初等微積分，只提出
特殊函數的名稱，便利有興趣的讀者查閱進階書籍，例如
艾福肯教授著《物理數學》第三版。
Arfken, George
Mathematical Methods for Physicists
Miami University, Oxford, Ohio.
ISBN 0-12-059820-5
97,12,01,12,53 此

<a name="a04b01">　目錄
97,12,01,15,15 始
■□第四節﹕多項式函數

多項式函數的「多項」指自變數 x 的整數次方之和，
每一項可以有自己的係數（常數）。一項式、二項式……
多項式。

一項式函數舉例如下﹕

f0(x) = a0 ------------------------(04-01)
其中 a0 是常數，x^0 零次方等於一，所以 x 不出現。

f1(x) = a1*x^3 --------------------(04-02)
其中 a1 是常數，x^3 是 x 自乘三次 x*x*x 的簡寫。

f2(x) = a2*x^(-1) = a2/[x^(1)] ----(04-03)
x^(-1) 就是 1/[x^(1)]，倒數翻正之後，指數改為
負數。

<a name="a04b02">
二項式？把上面兩個公式加起來，就是二項式的例題。
三項式、四項式類推。總稱為多項式。

現在把(04-01)及(04-02)兩個公式相加得到
f3(x)=f0(x)+f1(x)
     = a0 + a1*x^3
其中 a0, a1 都是已知的常數。
如果我們做系統化、一般化的改進，可以寫為
f4(x)= c0 + c1*x^1 + c2*x^2 + c3*x^3 + c4*x^4 +... ---------(04-04)
並且指定 c0=a0, c1=0, c2=0, c3=a1, c4=0, ...
於是 f4(x) 就全等於 f3(x)

<a name="a04b03">
f4(x) 又可以更精簡的寫為
f4(x)= 
　n
　Σ　ck*x^k ----------------------(04-05)
k=0

希臘字母　Σ （sigma）　表示總和。
 k 由 k=0 進至 k=n 各項的總和。
其中 ck 是常數係數，
x^k 的 x 是變數底數。
x^k 的 k 是常數指角。

<a name="a04b04">
請注意﹕(04-04)式及(04-05)式是同一條公式，不同的
寫法而已。
(04-05)式是在課本中常見的公式。
(04-05)式的累積上限　n 沒有限制，(04-05)式可以表示
幾百項、幾千項的多項式。

<a name="9712101542">
多項式與指數有什麼差別？
底數是變數，指角為常數時，稱為多項式   x^2 。
指角是變數，底數為常數時，稱為指數函數 2^x 。

<a name="a04b05">
多項式的圖形如何呢？
 n=0 時，g0(x) = c0 = 常數，一條水平直線。
 n=1 時，g1(x) = c0 + c1*x 一條傾斜直線。
 n=2 時，g2(x) = c0 + c1*x + c2*x*x 一條二次曲線
 n=3 時，g3(x) = c0 + c1*x + c2*x*x + c3*x*x*x 一條三次曲線
………
 n=2 時，二次曲線，轉折一次。
 n=3 時，三次曲線，轉折兩次。
………
 n=n 時，n 次曲線，轉折 n-1 次。
請看下面一次至五次多項式曲線（零次水平直線就免了）
97,12,01,16,07 止
<a name=a606>　目錄

    

<a name="a04b06">
97,12,01,16,53 始
上面「圖　606」的曲線公式如下﹕（都是參數公式，參數為 t）
一次多項式曲線
x(t)="t-10";
y(t)="+0.5*t";
二次多項式曲線
x(t)="t-5";
y(t)="1+1.5*t-2.6*t*t";
三次多項式曲線
x(t)="t";
y(t)="-2+2.5*t+3.6*t*t-4.7*t*t*t";
四次多項式曲線
x(t)="t+5";
y(t)="-2.5*t-3.6*t*t+4.7*t*t*t+5.8*t*t*t*t";
<a name="a04b06c">
五次多項式曲線
x(t)="t";
y(t)="-95040+48504*t-9850*t*t+995*t*t*t-50*t*t*t*t+1*t*t*t*t*t";
五次多項式曲線的根是故意製造的，
根為 8,9,10,11,12
97,12,01,16,57 止

<a name="a04b07">
97,12,01,18,57 始
下面看不同指角的一項式，指角在負一至正一之間。
（「一項式」表示底數是變數，指角是常數）
<a name=a607>　目錄 請點擊「畫圖　607」按鈕看圖。

    

<a name="a04b08">
為什麼限定指數在負一至正一之間？
想要參與嗎？想要比畫比畫嗎？
請點擊「修改　607」按鈕，修改公式。例如
把「函數一 y(t)」的「pow(t,1/3)」
改為「pow(t,4/3)」，看不同的指數，產生什麼樣的曲線。
函數一 x(t) 的「t+2」，其中「+2」是故意錯開各組曲線。

修改完畢後，不能按「畫圖　607」按鈕，因為「畫圖　607」
按鈕取用內定值，不管改不改。
修改完畢之後，請按黃線區內的「畫圖」按鈕，此時程式自
黃線區表格讀取資料，而不是讀內定值，所以修改生效。
97,12,01,19,45 止

<a name="a04b09">
97,12,01,20,03 始
指定多項式的根為 8,9,10,11,12
如何決定多項式的係數？
可以自己動手算，但是非常耗時。
請下載中文版
http://freeman2.com/rootc.zip
或者英文版（英文電腦的 DOS Prompt 不現中文）
http://freeman2.com/roote.zip

<a name="a04b10">
輸入指令  root2ac.exe  //
再輸入多項式的次數 5
再輸入根值 8,9,10,11,12
輸出於當時工作子目錄的文字卷 ROOT_OUT.TXT
裏面有一組五次多項式的六個係數，直接取用即可。

必須使用「//」才能由根求係數，否則是由係數求根。
由係數求根是 root.exe 的主要功能。
97,12,01,20,15 止

<a name="a04b11">　目錄
97,12,01,21,33 始
多項式的物理單位
數學是為現實的生活服務，當討論純數學時，我們可以忽
略公式的物理意義，但是在討論應用問題時，物理單位絕
對不能出錯。

假設一組多項式描述一個第一物理量，假設該組多項式的
變量是另外一個第二物理量，變量的一次方、二次方、三
次方等等都描述同一個第一物理量？如何理解？現在舉實
際的例題。

<a name="a04b12">
仍然回到(00-01)式，自由落體距離隨時間的函數為
s(t) = s0 - v0*t - 0.5*a0*t*t -----(00-01)
(00-01)式全式是 t 的多項式，每一項都代表距離（長
度，只能夠長度與長度相加），自變數 t 是時間。
時間的零次方項 s0 代表距離，
時間的一次方項 -v0*t 代表距離，
時間的二次方項 -0.5*a0*t*t 代表距離，
但是，
時間的零次方項，全式沒有時間的影子，
時間的一次方項，全式乘時間一次，
時間的二次方項，全式乘時間兩次，
乘時間零次，乘時間一次，乘時間兩次，都產生距離嗎？
有可能嗎？初學者應該思考這個問題，

<a name="a04b13">
請讀者先略為思考，然後點擊說明，比較觀點。　　＜＝說明763


97,12,01,22,14 止

<a name="a04b16">
97,12,01,22,30 始
物理單位一致是必要條件
如果核對多項式的物理單位，完全一致，是否保證公式正
確？答案是﹕不能保證正確！
例如上面的「0.5*a0」，如果錯為「0.25*a0」，全式
物理單位一致，但是仍然是錯誤的公式。
多項式的物理單位一致是正確的必要條件，不是充分條件
。
97,12,01,22,34 止

<a name="a04b17">
97,12,02,10,28 始
多項式的應用主要在數學項的展開式，例如
sin(x) = x -x^3/3! +x^5/5! -x^7/7! ... ----(04-06)
cos(x) = 1 -x^2/2! +x^4/4! -x^6/6! ... ----(04-07)
tan(x) = x +x^3/3! +2*x^5/15 +17*x^7/315 ----(04-08)
         +62*x^9/2835 +.....
+{2^(2*n)*[2^(2*n)-1]*B_sub(2*n-1)*x^*2*n-1)}/(2*n)!
其中 B_sub(2*n-1) 是伯奴利數字。

<a name="a04b18">
泰勒展開式
Brook Taylor 1685-1731, 1715 年發表大作。
而最重要的應用是泰勒展開式如下﹕
如果一個函數 f(x) 在點 x=c 可以 n 次微分，則
函數 f(x) 在點 x=c 的 n 次泰勒展開式定義為
P(x)_sub(n) = f(c) +f'(c)*(x-c)
 +f''(c)*(x-c)*(x-c)/2!
 +f'''(c)*(x-c)*(x-c)*(x-c)/3!
 +...
 +dn[f(x=c)]/(dx)^n*[(x-c)^n]/n! -------(04-09)

//註﹕ f'  = df(x)/dx
//註﹕ f'' = d(df/dx)/dx
//註﹕ f'''= d(d(df/dx)/dx)/dx
//註﹕ n 次微分 f''..''=dn[f(x)]/(dx)^n

<a name="a04b19">
這些多項式展開式的最大功用是對函數的局部性質之研究
，局部性質的意思是指在觀察點 x=c 的鄰近地區的研究
，此時 (x-c) 是微量值，(x-c)^n 是高次微量值，而
高次微量值是可以忽略的，例如 c=1.0  x=1.0001
x-c=1.0001-1=0.0001
(x-c)^3 = (0.0001)^3 = (1e-4)^3 = 0.000000000001
我們只管十分之一、百分之一，萬億分之一？不管它啦！
在微分觀念下，我們忽略萬億分之一所得到的答案是精確
的。
因為展開式是多項式，所以，多項式是重要的數學工具。
97,12,02,10,59 止

<a name="a05b01">　目錄
■□第五節﹕三角函數以及它的反函數
97,12,02,13,14 作圖始
<a name=a608> 請點擊「畫圖　608」按鈕，取閱三角函數定義圖。

    

97,12,02,15,04 作圖止

<a name="a05b02">
97,12,02,16,11 始
三角函數是常用基本函數，轉動運動需要三角函數，周期
運動需要三角函數，轉動與周期往復都在日常生活中經常
出現。做直角三角形 AOP 其中
坐標原點令為 O，直角三角形長邊頂點為 P，
P 點在 x 軸上的投影為 A 點，令角POA 為角 B。
令 r=OP, y=PA, x=OA 則三角函數定義如下
正弦﹕sin(B)=y/r -------(05-01)
餘弦﹕cos(B)=x/r -------(05-02)
正切﹕tan(B)=y/x -------(05-03)
餘切﹕cot(B)=x/y -------(05-04)
正割﹕sec(B)=r/x -------(05-05)
餘割﹕csc(B)=r/y -------(05-06)

<a name="a05b03">
一個角度，六個公式？顯然有五個相依關係，
sin(B)*sin(B)+cos(B)*cos(B)=(x*x+y*y)/r/r
根據畢氏定理，直角三角形 AOP 有 x*x+y*y=r*r
所以
sin(B)*sin(B)+cos(B)*cos(B)=1 -------(05-07)
正弦、餘割互為倒數，
正切、餘切互為倒數，
餘弦、正割互為倒數，
正切=正弦/餘弦
上面是六個三角函數的五個相依關係。

<a name="a05b04">
三角函數有下面的性質﹕

三角函數是周期函數。
自然界的周期現象，可以用三角函數表達。
假設一個函數 f(x) 的周期為 T 則必須有下述關係
f(x+n*T) = f(x) ---------------------(05-08)
其中 n 是任意整數，使得 n=0 的 f(x) 無限次重復
出現，故符合周期函數的要求。

三角函數是非線性函數
從三角函數的展開式可以看出
sin(x) = x -x^3/3! +x^5/5! -x^7/7! ... ----(04-06)
cos(x) = 1 -x^2/2! +x^4/4! -x^6/6! ... ----(04-07)
正弦 sin(x) 有一項線性項 x 
餘弦 cos(x) 有一項線性項 1
其餘都是非線性項。
線性函數容易處理，非線性函數比較不容易處理。

<a name="a05b05">
三角函數的輸入值是純數，
三角函數的輸出值是純數。
如果一個非純數的物理項作為三角函數的輸入值，該物理
項必定乘一個平衡單位的第二物理項，使得乘積變為純數
。例如
振動時間 t 是時間，
振動頻率 ω 是每秒鐘的周期數，
2*π*ω 是每秒鐘的弧度數。
π 是圓周率 3.141592653589793...

<a name="a05b06">
每秒的「每」字表示把秒放在分母位置，所以
振動頻率 ω 的物理單位是時間的負一次方。
因之，振動問題的公式含有 cos(t*2πω)
其中 t*2πω 是時間除以時間，變為純數（弧度數）。
t*2πω 是在 t 秒的弧度數，弧度=弧長/半徑=純數。
時間 t 是變數，頻率 2πω 是常數。

<a name="a05b07">
在 cos(t*2πω) 中，令起點時間 t=0 得到
cos(0) = 1 ，所以，起點時間必須有振幅為一，
最大振幅，這不是規定的太死了麼？起點時間的振幅
只有最大振幅的三分之一可以嗎？為了靈活起見，
通用公式加入相位差 -δ 變為 cos(t*2πω-δ)
 -δ 是任意常數，解決起點時間的任意振幅問題。

<a name="a05b08">
三角函數的輸入值是弧度（角度），弧度的定義是弧長除
以半徑，弧長是長度，半徑是長度，長度除以長度得到純
數。所以，三角函數的輸入值是純數。

三角函數的輸出值呢？看
正弦﹕sin(B)=y/r -------(05-01)
 . . .
餘割﹕csc(B)=r/y -------(05-06)
全部是邊長除以邊長，也得到純數的結果。

請初學者記住﹕
三角函數的輸入值及輸出值都是純數。
97,12,02,16,58 止

<a name="a05b09">
97,12,02,18,48 始
下面是三角函數曲線。
請點擊「畫圖　609」按鈕，
取閱正弦餘弦正割餘割函數曲線。
請點擊「畫圖　610」按鈕，
取閱正切餘切函數曲線。

兩個圖的橫軸都是
弧度。一周三百六十度有 2*π 個弧度，也就是
三百六十度角度等於 6.283185307179586 弧度
一弧度等於 57.29577951308232 角度
一角度等於 0.017453292519943 弧度
97,12,02,18,58 止
<a name=a609>

   
<a name=a610>

    

由 9712031036 至 9712031152 作圖「餘弦定理」
由 9712031155 至 9712031305 作圖「餘弦雙角定理」

<a name="a05b10">
97,12,03,14,30 始
三角函數中最重要的公式為
sin(A)*sin(A) + cos(A)*cos(A) = 1 ------(05-09)
及
cos(A-B) = cosA*cosB+sinA*sinB   -------(05-10)
(05-09)式來自畢氏定理，非常容易證明。
(05-10)式稱為「餘弦雙角定理」需要使用「餘弦定理」。
在證明三角函數的微分公式時，必須使用(05-10)式。
下面證明「餘弦定理」及「餘弦雙角定理」。

<a name="a05b11">　目錄
餘弦定理
請點擊「餘弦定理 9712031039」按鈕




<a name="a05b12">
三角形 ABO 有對邊 a,b,c （c 邊對 O 角，即θ角）
令角 AOB 為 角θ。
把 O 點放在坐標原點 O(0,0)
把 A 點放在橫軸上 A(b,0)
B 點坐標為 B(a*cosθ,a*sinθ)
上面的選擇可以簡化計算，同時維持一般性。
其中 a 是 OB 邊的長度。
我們求 B 點相對於 A 點的距離 c 如下
<a name="a05b13">
根據畢氏定理距離 c 的平方等於
 B 點相對於 A 點的橫軸坐標差值的平方
加
 B 點相對於 A 點的縱軸坐標差值的平方
所以
c*c = (a*cosθ-b)^2+(a*sinθ-0)^2
=a*a*cosθ*cosθ-2*a*b*cosθ+b*b
  + a*a*sinθ*sinθ
=a*a*(cosθ*cosθ + sinθ*sinθ)
+ b*b-2*a*b*cosθ
=a*a*1 + b*b - 2*a*b*cosθ
<a name="a05b14">
得到餘弦定理
c*c = a*a + b*b - 2*a*b*cosθ  -------(05-11)
其中 a,b,c 是三角形的三邊
c 邊對 O 角，即θ角。
(05-11)式也可以寫為
cosθ = (a*a + b*b - c*c)/(2*a*b) ----(05-12)
如果以大寫的 C 表示頂點 C 的夾角（即θ角）
<a name="a05b15">
則比較容易記憶的公式為
cosC = (a*a + b*b - c*c)/(2*a*b) ----(05-13)
同理
cosB = (c*c + a*a - b*b)/(2*c*a) ----(05-14)
cosA = (b*b + c*c - a*a)/(2*b*c) ----(05-15)
求角度的方法是
角A = arccos(cosA)
餘同。
97,12,03,15,01 此

上面是餘弦單角定理，以三角形三邊的邊長求頂角。
<a name="a05b16">
下面是
餘弦雙角定理，
求雙角差的餘弦值。以單角餘弦及
單角正弦表示答案。
請點擊「餘弦雙角定理 9712031156」按鈕。



<a name="a05b17">
餘弦雙角定理的證明方法是求 P 點至 Q 點的距離平方
PQ^2 一次是直接計算，另外一次是引用餘弦定理，兩條
途徑應該得到相同的答案，令兩組答案相等之後得到餘弦
雙角定理。
 P 點及 Q 點都在半徑等於一的圓弧上。
 P 點自橫軸張開角度為 A 角
 Q 點自橫軸張開角度為 B 角
 P 點坐標為 [cos(A),sin(A)]
 Q 點坐標為 [cos(B),sin(B)]
P,Q 距離的平方 PQ^2 等於 //註﹕這個等於根據畢氏定理
(Px-Qx)^2 + (Py-Qy)^2 =
(cos(A)-cos(B))^2 + (sin(A)-sin(B))^2 =
 cos(A)*cos(A) - 2cos(A)*cos(B) +cos(B)*cos(B) 
+sin(A)*sin(A) - 2sin(A)*sin(B) +sin(B)*sin(B)
<a name="a05b18">
所以
PQ^2 = 2 - 2*(cos(A)*cos(B)+sin(A)*sin(B)) --(05-16)
另外一方面，由餘弦定理
c*c = a*a + b*b - 2*a*b*cosθ  -------(05-11)
代入邊長及夾角，得到
PQ^2= 1*1 + 1*1 - 2*1*1*cos(A-B)
簡化為
PQ^2 = 2 - 2*cos(A-B) ---------------------(05-17)
(05-16)及(05-17)兩個公式表達同一項 PQ^2 二者相等
，下述關係式成立
2 - 2*cos(A-B) = 
2 - 2*(cos(A)*cos(B)+sin(A)*sin(B))
<a name="a05b19">
簡化關係之後，獲得餘弦雙角定理
cos(A-B) = cos(A)*cos(B) + sin(A)*sin(B) ----(05-18)
推廣如下
cos(A+B) = cos(A-(-B))
 = cos(A)*cos(-B) + sin(A)*sin(-B)
cos(A+B)  = cos(A)*cos(B) - sin(A)*sin(B) ---(05-19)
正弦雙角公式為
sin(A+B) = cos((PI/2)-(A+B)) = cos((0.5*PI-A)-B))
= cos(0.5*PI-A)*cos(B) + sin(0.5*PI-A)*sin(B) 
得到
sin(A+B) = sin(A)*cos(B) + cos(A)*sin(B) ----(05-20)
推廣如下
sin(A-B) = sin(A+(-B)) 
= sin(A)*cos(-B) + cos(A)*sin(-B)
sin(A-B) = sin(A)*cos(-B) - cos(A)*sin(B) ---(05-21)

(05-18)(05-19)(05-20)(05-21)四個公式在求三角
函數微分值時需要參考。

<a name="a05b20">
餘弦定理及餘弦雙角定理參考書為
Calculus and Analytic Geometry 6th ed.
George B. Thomas, Jr. and Ross L. Finney
ISBN 0-201-16290-3 
附錄 A.6 及 A-29 至 A-31 頁。
97,12,03,15,38 止

<a name="a05b21">　目錄
反三角函數
97,12,03,18,16 始
當我們已經知道角度時，經由三角函數得到正弦餘弦值，
反之，如果已經知道正弦餘弦值，什麼角度會產生這些值
？此時需要使用反三角函數。

爪哇簡稿語言提供四種反三角函數
acos(val) 反餘弦函數，輸出弧度值
asin(val) 反正弦函數，輸出弧度值
atan(val) 半功反正切函數，輸出弧度值，半對，半差。
atan2(val1, val2) 全功反正切函數，全部正確。

<a name="a05b22">
餘弦函數是　 y(x) = cos(x)  ----------(05-22)
反餘弦函數是  x   = cos(y(x)) //輸入值 x 輸出值 y 對調
餘弦函數中的 x, y 互相對調就變為反餘弦函數。
反餘弦函數是 y(x) = arccos(x) --------(05-23)
（ x 是自變數、已知， y 是應變數、未知待求）

每一個輸入值（弧度），餘弦函數只有一個輸出值。
餘弦函數輸入值（弧度）可以由負無限大到正無限大，
餘弦函數輸出值在負一至正一之間。

<a name="a05b23">
角色對調之後，
每一個輸入值（三角函數值），反餘弦函數有無限多個輸
出值，周期性重復。函數的要求是輸出值是唯一的。所以
我們要規定反餘弦函數的輸出值範圍。

請點擊「畫圖　611」按鈕。 97,12,03,18,32 此
<a name=a611>

    

<a name="a05b24">
97,12,03,18,34 此
細線是轉九十度之後的
　 y(x) = cos(x) 及　 y(x) = sin(x)
換言之，
就是 y(x) = arccos(x) --------(05-23)
　及 y(x) = arcsin(x) --------(05-24)

在 x 軸上指定一點，例如指定 x=0 在 x=0 處畫一條
上下縱立參考線，參考線穿過細線無限多次，只要縱立參
考線穿過曲線兩次，數學公式就不算是函數，所幸我們可
以定義，規定範圍，只要縱立參考線穿過曲線一次，就可
以算是函數了。所以，

<a name="a05b25">
我們規定﹕（藍色曲線，粗線保留，細線拋棄）
反餘弦函數定義域為負一至正一之間，（這一條必須如此）
反餘弦函數的值域在 0 至 PI 之間。（這一條是指定的）

我們規定﹕（紅色曲線，粗線保留，細線拋棄）
反正弦函數定義域為負一至正一之間，（這一條必須如此）
反正弦函數的值域在 -PI/2 至 +PI/2 之間。（這一條是指定的）

如此，反餘弦函數、反正弦函數符合函數的規定﹕輸出值
是唯一的。
97,12,03,18,56 此

<a name="a05b26">
97,12,03,21,46 始
下面看反正切函數 arctan(x)
請點擊「畫圖　612」按鈕
<a name=a612>　目錄

    

<a name="a05b27">
97,12,03,21,48 此
藍虛線是正切函數 tan(x)
藍實線是反正切函數 arctan(x)
反正切函數的定義域（輸入值、已知值）是全部的實數軸
。反正切函數的值域（輸出值、待求值）在 -PI/2 至
+PI/2 之間。由圖形可以看出反正切函數 arctan(x)
是一個奇函數，也就是 
arctan(-x) = -arctan(x) ---------(05-25)

<a name="a05b28">
反餘切函數的定義為
arccot(x) = PI/2 - arctan(x) --------(05-26)
在圖　612 中為紅實線。
紅虛線是餘切函數 cot(x)

反正切函數加反餘切函數為一常數，由定義式的必然結果
。

反正割函數的定義公式為
arcsec(x) = arccos(1/x) --------(05-27)

反餘割函數的定義公式為
arccsc(x) = arcsin(1/x) --------(05-28)

<a name="a05b29">
請點擊「畫圖　613」按鈕取閱反正割函數、反餘割函數
曲線。
97,12,03,22,08 此
<a name=a613>

    

<a name="a05b30">
97,12,03,22,09 此
反正割函數、反餘割函數的定義域不包括負一至正一的區
間。因為正弦、餘弦的值在負一至正一之間，它們的倒數
反正割、反餘割就在負一至正一之外。

請看「圖　613」的藍色曲線，當橫軸移動至無限大時，
縱軸才接近 PI/2。在橫軸上永遠到不了無限大，所以，
縱軸的 PI/2 被排除，下面的表格有 y≠PI/2
其中「!=」表示不等於。 //註﹕9712131655 改用「≠」
同理，「圖　613」的紅色曲線 y≠0 。

反三角函數在積分過程中，經常出現，如果沒有反三角函
數，那麼，積分就會出現困難。

<a name="a05b31">　目錄
下面是六個反三角函數的定義域、值域列表。
97,12,03,22,22 此
　函數公式 　定義域，已知 　　值　域，待求
y=arcsin(x) -1<=x<=+1 -PI/2<=y<=PI/2
y=arccos(x) -1<=x<=+1 　　0<=y<=PI
y=arctan(x) - ∞＜x＜+ ∞ -PI/2<=y<=PI/2
y=arccot(x) - ∞＜x＜+ ∞ 　　0<=y<=PI
y=arcsec(x) x<=-1 及 1<=x 0<=y<=PI, y≠PI/2
y=arccsc(x) x<=-1 及 1<=x -PI/2<=y<=PI/2, y≠0 
97,12,03,22,46 止

<a name="a05b32">
97,12,04,11,18 始
全、半功反正切之差別
下面討論
半功反正切函數 atan(val) ，及
全功反正切函數 atan2(val1, val2)
「半功」指百分之五十成功，百分之五十失敗。
「全功」指百分之百成功。
97,12,04,11,20 中文輸入變為方格。

<a name="a05b33">
正切函數的定義是 tan(x) = 對邊/鄰邊 ----(05-29)
對邊、鄰邊都是直角的兩邊（不是最長的斜邊）
正弦函數的定義是 sin(x) = 對邊/斜邊 ----(05-30)
餘弦函數的定義是 cos(x) = 鄰邊/斜邊 ----(05-31)
所以， tan(x) = sin(x)/cos(x) ----(05-32)
97,12,04,11,22 止

<a name="a05b34">
97,12,04,16,00 始
正弦函數的正負、餘弦函數的正負如何決定？
以坐標原點為圓心，做一個圓。由圓心向右畫一條直線，
這條水平直線是角度的零點，逆時鐘轉動為正角，順時鐘
轉動為負角，
請點擊「象限1234 9712040948」按鈕。



<a name="a05b35">
97,12,04,16,31 此
由圓心建立一條指針，轉動一個角度，上圖示綠色箭頭逆
時鐘轉動一百二十五度，由箭頭尖端畫投影線至橫軸及縱
軸，這是箭頭的水平分量及垂直分量。
正弦＝垂直分量／箭頭長度，
如果垂直分量為正，該角的正弦值為正，反之為負。
餘弦＝水平分量／箭頭長度，
如果水平分量為正，該角的餘弦值為正，反之為負。
上圖一百二十五度角度的正弦值為正，餘弦值為負。

<a name="a05b36">
第一象限的角度 sin>=0  cos>=0  tan>=0
第二象限的角度 sin>=0  cos<=0  tan<=0
第三象限的角度 sin<=0  cos<=0  tan>=0
第四象限的角度 sin<=0  cos>=0  tan<=0

全功反正切函數 atan2(val1, val2) 需要兩個輸入值
，如果提供兩個輸入值，根據上面的象限正弦、餘弦正負表，
全功反正切函數 atan2(sin(x), cos(x)) 可以輸出
三百六十度都正確的答案。

半功反正切函數 atan(val) 需要一個輸入值，（毛病
在此，失去了一個必要的資訊），這個值是 tan 值，
第一象限及第三象限都是正 tan 值，於是一三象限混同。
第二象限及第四象限都是負 tan 值，於是二四象限混同。
<a name="a05b37">
請點擊「畫圖　614」按鈕。
97,12,04,16,50 此
<a name=a614>

    

<a name="a05b38">
97,12,04,16,51 此
圖　614 的橫軸（轉角弧度值）可以分為四部份，
最左側的藍、紅分離部份是第三象限 -90 至 -180 度
中左側的藍、紅合一部份是第四象限 -0 至 -90 度
中右側的藍、紅合一部份是第一象限 +0 至 +90 度
最右側的藍、紅分離部份是第二象限 +90 至 +180 度
紅線 atan2(a,b) 在全域提供正確答案，
藍線 atan(c) 在中段提供正確答案，
藍線 atan(c) 在左端及右端都誤差一百八十度。

<a name="a05b39">
我們以角度當做已知，同時當做未知，用已知的角度
進入 atan2(sin, cos) 及
進入 atan(val) 繞一圈，看那一個函數可以還原。

圖　614 的紅線是全功反正切函數 atan2(sin, cos)
紅線不是折線，斜率四十五度，全域輸入還原為輸出。
（斜率四十五度的直線就是 y=x 即　輸出＝輸入）
畫圖公式為  y = atan2(sin(x),cos(x))
-PI <= x <= +PI

圖　614 的藍線是半功反正切函數 atan(val) 
藍線是三折線，只有中間一半輸入等於輸出。
畫圖公式為  y = atan(sin(x)/cos(x))
-PI <= x <= +PI

<a name="a05b40">
半功反正切函數 atan(val) 沒有能力給予第二及
第三象限的角度為答案， atan(val) 的答案全部
在第一、第四象限。所以， atan(val) 給予正確答
案的機率是百分之五十。

當讀者有兩個資料（ sin 及 cos ）在手上時，必須
使用 atan2(sin, cos) 
全功反正切函數 atan2(sin, cos) 給予百分之百
的正確答案！
97,12,04,17,06 止

<a name="a05b41">
97,12,13,16,30 始
半功反正切函數 atan(x) 的曲線能夠與
全功反正切函數 atan2(sin(x), cos(x)) 的圖畫
並列比較嗎？答案是﹕不行。
 atan(x) 的輸入需要一個自變數 x，加以輸出變數
 y 共為兩度空間曲線 (x,y)。
 atan2(x,y) 的輸入需要兩個自變數 x,y，加以輸
出變數 z共為三度空間曲面 (x,y,z)。
二者立足點不同。
只有二者輸入、輸出正確率比較折線可以參考。
97,12,13,16,39 止

<a name="a05b42">
97,12,15,08,06
上面說的「兩個自變數 x,y」是錯誤的，因為
atan2(sin(x), cos(x))
的兩個輸入變數 sin(x), cos(x) 用一個自變數 x
，兩個輸入變數相依，所以，atan2(x,y) 是空間的
一條曲線（不是曲面）。
將來可能會陸續更正，閱讀本卷時，請處處置疑。
97,12,15,08,08

<a name="a06b01">　目錄
97,12,05,13,05 始
■□第六節﹕對數函數

銘傳大學微積分課本
http://freeman2.biz/a2/mathaa10.pdf
中央大學微積分課本
http://freeman2.biz/a2/mathab27.pdf

首先，我們觀察下面的記數法
10      10^1
100     10^2
1000    10^3
10000   10^4
100000  10^5
.....
我們推廣，指定 1 為 10^0
於是，    100*1000=100000　　乘法
可以寫為 10^2*10^3=10^5
可以寫為 10^(2+3)=10^5　　加法 ----------(06-01)
<a name="a06b02">
(06-01)式給我們一個啟示﹕
乘法可以改為加法！
加法容易計算，乘法困難計算，
如果我們找到一個函數，以加法計算乘法，那該多好呢？

上面是十的整數次方，能不能有十的分數次方呢？

10^1 表示 10 ，那麼 
10^(0.5) * 10^(0.5) = 10^1 = 10
這裏的 10^(0.5) 是什麼東西呢？
我們定義 10^(0.5) 為 10 的開平方根，
記為 √10
同理， 10 的開立方根為  10^(1/3)
據此，我們可以把十的若干次方推廣至整數及分數，
合為十的有理數次方。

<a name="a06b03">
上面是十的有理數次方，能否擴展至十的無理數次方呢？
例如 10^(√2) 。
97,12,05,13,26止
97,12,05,14,57始
至此，我們需要一個函數，它的定義域為整個實數軸，
（可以排除幾個點，就是挖幾個洞），如此，把乘法改為
加法的 10^(2+3)=10^5 就可以有最廣泛的定義，
對整數、有理數（整數除以整數）、無理數（如 √2）及
超越數（如 π）都有效。

<a name="a06b04">
我們需要一個函數具有下面的性質

f(a*b) = f(a)+f(b) a,b∈實數軸 -------(06-02)

左側是 a*b 右側是兩個函數的和，乘法改為加法。
附註的「a,b∈實數軸」，表示參數 a,b 在 實數軸上。
實數軸包括整數、有理數、無理數及超越數。

(06-02)式具有什麼性質？如果對整個實數軸的定義
域都有效，會有什麼結果？最簡單的測試法是令 a=0
得到 f(0*b) = f(0)+f(b) 
得到 f(0) = f(0)+f(b) 
得到 0 = f(b) 
我們沒有對 b 加以限制，所以 b 是實數軸上的任意
點，那麼！必須有 f(x) = 0  x∈實數軸
換言之 f(x) ≡ 0 處處為零。這種函數沒有用處，
不要！所以，在定義域 x∈實數軸上面挖一個洞！
規定 x 不許為零，即 [x∈實數軸 ; x≠0]

<a name="a06b05">
所以，我們找到

f(a*b) = f(a)+f(b)　　對數特性公式
[a,b∈實數軸 ; a,b ≠ 0] ----------(06-03)

下面一步呢？
因為(06-03)必須對所有定義域內的點都有效，所以
令 a=1, b=1 （因為一乘一等於一，特例之一）
f(1*1) = f(1)+f(1)
f(1) = 2*f(1) ----------(06-04)
什麼數加倍之後，仍然等於它自己呢？唯一的答案是零，
（無限大太遙遠，不管它）
由此得到(06-03)式必須有的一個性質是
 f(1)=0 ----------(06-05)

<a name="a06b06">
實數軸包括正數及負數，我們只排除零，還沒有排除負數
，負一乘負一等於正一，試試看
f((-1)*(-1)) = f(-1)+f(-1)
所以
f(1) = 2*f(-1) ----------(06-06)

比較(06-05)及(06-06)兩個公式，我們必須有
 f(-1)=0 ----------(06-07)

<a name="a06b07">
(06-03)式 f(a*b) = f(a)+f(b) 中，令 a=-1
f(-b) = f(-1)+f(b) = 0+f(b) = f(b) 
所以，
f(-b) = f(b) ----------(06-08)
此處 b 可以是任意實數，我們追求的 f(x) 是一個
偶函數。其他的偶函數如餘弦函數，絕對值函數。
既然 f(x) 是一個偶函數，又排除 x=0 ，那麼，我們
要求 f(x) 的定義域為 x>0 就可以了， x<0 的部
份使用 f(-x) 即可，（ x<0 時 -x>0 ）

<a name="a06b08">
至此得到一些 f(x) 的性質，它是否可以微分，還不清
楚，假設 f(x) 可以微分，我們以(06-03)式對x微分

d[f(x*y)]/dx = df(x)/dx + df(y)/dx ---(06-09)

(06-09)左側為（「*1」是故意加進去的，任何數乘一，不變）
[d[f(x*y)]/dx]*1   //註解﹕{d(x*y)/d(x*y)} 就是 1
 = [d[f(x*y)]/dx]*{d(x*y)/d(x*y)}
 = [d[f(x*y)]/d(x*y)]*[d(x*y)/dx]  //註解﹕重新組合
 //註解﹕上面一步使用了連鎖律，將來討論
 = f'(x*y)*[y*d(x)/dx + x*dy/dx]
 = f'(x*y)*[y*1 + x*y']
 = y*f'(x*y) + x*y'*f'(x*y)
 //註解﹕f'(x*y) 就是 d[f(x*y)]/d(x*y)
 //註解﹕上面的「'」 為 「d/d(x*y)」
 //註解﹕下面的「'」 為 「d/dx」
 //註解﹕y' 就是 y'(x) 就是 dy/dx
 //註解﹕d(x)/dx=1

<a name="a06b09">
(06-09)右側為
df(x)/dx + df(y)/dx = f'(x) + f'(y)*y'

(06-09)的左側＝右側，得到
y*f'(x*y) + x*y'*f'(x*y) = f'(x) + f'(y)*y'

此式對所有的 x,y 都為真，令 x=1 也為真，結果為
y*f'(1*y) + 1*y'*f'(1*y) = f'(1) + f'(y)*y'
簡化為
y*f'(y) + [y'*f'(y)] = f'(1) + [f'(y)*y']
<a name="a06b10">
左方括號與右方括號兩項相消，最後為
y*f'(y) = f'(1)
也就是
f'(y) = f'(1)/y ---------------(06-10)
(06-03)式規定了定義域不包括 y=0 ，所以(06-10)式
沒有 y=0 的問題。
如果(06-10)式中的 f'(1) 等於零，則(06-10)式
變為 f'(y) = 0/y ≡ 0 此式沒有對 y 加以限制，
 y 是任意值，於是在曲線上斜率處處為零，這是一條水
平直線，曲線必須通過 (x,y)=(1,0)〔參考(06-05)式〕，
所以，水平直線是橫軸，這種情況已經排除，最後結論是
 f'(1) 不等於零。

(06-08)式容許我們忽略 y<0 ，只管 y>0 的部份，
換言之 y 的正負值不變。f'(1) 是常數，不改變正負
值，所以，(06-10)告訴我們，未知函數 f(y) 的斜率
 f'(y) 不改變正負號，
未知函數 f(y) 是唯增函數，或唯減函數 --(06-11)
〔x>0 時 log(x) 唯增， x<0 時 log(-x) 唯減
請取閱圖 a615 虛線是 log(-x) 〕

<a name="a06b11">　目錄
(06-10)式是一個可以積分的函數，定義域不包括 y=0
我們可以用積分定義未知函數 f(y) ！
利用微積分基本定理（後面敘述），由 y=c 積分至 y=x
f(x)-f(c) = ∫[y=c,y=x]{f'(y)}dy ----(06-12)
其中 c 是常數，x 是前台變數，y 是後台變數
把(06-10)代入(06-12)，消去 f'(y)，得到
f(x)-f(c) = ∫[y=c,y=x]{f'(1)/y}dy 
f(x)-f(c) = f'(1)*∫[y=c,y=x]{1/y}dy --(06-13)
//註解﹕y 是積分變數，f'(1)是常數，可以提出積分符號。

<a name="a06b12">
如何處理上面公式左側的 -f(c) ？
(06-05)式說 f(1)=0 
我們令 c=1 
得到 f(c)=f(1)=0 公式簡化為
f(x) = f'(1)*∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-14)

<a name="a06b13">
如何處理上面公式的 f'(1) ？
f'(1) 是一個常數，因為
未知函數 f(y) 是唯增函數，或唯減函數 --(06-11)
所以
f(y) 不能是水平線，斜率不能為零，即 f'(1)≠0
不管 f'(1) 是什麼常數，把它推到公式左側，重寫
(06-14)如下
g(x) = f(x)/f'(1) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy

<a name="a06b14">
上面這一步「把 f'(1) 推到公式左側」完全等同於
指定 f'(1)=1 ，就是因為這一步簡化手續，確定了
底數為 e = 2.718281828459045... 而不是其他
的底數。如果我們指定
 f'(1) = 0.43429448190325176 =1/log(10)
我們得到以十為底的對數，但是，誰會這麼做呢？
（如果選擇 f'(1) = 0.43429...，那麼所有的對
　數公式都要掛一個小尾巴 0.43429 ，如果掛一個
　看不見的 1 多好呢？）

<a name="a06b15">
最後得到對數函數的定義公式為
g(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-15)

上式左側的自變數是 x
右側的自變數必須是 x ， （y 是看不見的後台變數）
請注意，右側的 x 是積分上限，用 dy/y，不要用 dx/x
請注意，右側的積分下限是 y=1 才能簡化公式，參考(06-14)

<a name="a06b16">
(06-15)中的 x 可以是整數、分數、無理數及超越數，
 x 唯一不許為零，滿足了我們對
 10^(2+3)=10^5 ----------(06-01)
一般化的要求
97,12,05,16,37 止
<a name=a615>　目錄 請點擊「畫圖　615」取閱對數曲線。

    

<a name="a06b17">
97,12,05,16,51 始
對數函數之定義推理過程是讀書心得，參考書為
Calculus One Variable Calculus with an
Introduction to Linear Algebra. Vol. I
Second Ed. Tom M. Apostol
1967 by Blaisdell
226 - 229 頁

Calculus Leonard Gillman and Robert H. McDowell
W.W. Norton & Company, Inc. 1973
ISBN 0-393-09350-6 ; 272-273頁。

對數函數之定義推理過程很重要，如果我們想當小數學家
的話，必須學習上面的推理過程。
97,12,05,16,56 止

<a name="a06b18">
97,12,05,21,38 始
上面說，對數函數 log(x) 的自變數 x 不能為零，及
自變數 x 必須為正數。但是，在 log(y(x)) 時，情況
就不一樣了， log(y(x)) 可以容許 x 為零，可以容
許 x 為負數，看 y(x) 如何定義，例如 
y(x)=1/(x*x+1)
log(y(x)) = log(1/(x*x+1))
當 x=0 時
 log(y(x)) = log(1/(0+1)) = log(1) = 0
當 x=-2 時
 log(y(x)) = log(1/(4+1)) = log(0.2) = -1.6094379

log(x) 的 x 直接輸入至對數函數，要求 x 必須為正數，
log(y(x)) 要求 y(x) 必須為正數，x 間接影響對數函數。
97,12,05,21,49 止

<a name="a06b19">
97,12,06,14,07 始
上面的「畫圖　615」與下面的「對數函數 9712061022」
是同一性質的圖片，在建立「畫圖　615」時，不能塗面積的
顏色，後來決定寫「對數函數 9712061022」的指令，達到
完全的目的，

上面的「畫圖　615」與下面的「對數函數 9712061022」
展示編程功能的完備，同時展示利用表格輸入，有很大的
限制。如何利用表格建立簡單曲線？請看卷尾的說明，
請點擊下面一行前往說明處
如何畫我自己（讀者）的函數曲線？請點擊「畫圖　987」
<a name="a06b20">
或者請點擊「對數函數 9712061022」按鈕



<a name="a06b21">　目錄
上面是圖解說明對數函數的定義方法。
log(x) = ∫[t=1,t=x]{dt/t} ----------(06-16)
//註解﹕(06-15)式與(06-16)式是同一個公式
對函數 f(t)=1/t 從 t=1 積分至 t=x ，這個積分面
積定義為 log(x) ，面積值就是對數值，
藍虛線是正值積分終點，其與紅實線交點是對數值答案。
紅虛線是負值積分終點，其與紅實線交點是對數值答案。

對數函數 log(x) 的定義域（輸入值、已知值）為所有
　　　　　正值橫軸（不含 x=0，不含負值橫軸）
對數函數 log(x) 的值域（輸出值、待求值）為所有正
　　　　　值及負值縱軸（含 y=0）
97,12,06,14,31 此

<a name="a06b22">
對數函數的常用公式

第一﹕log(x=1) = ∫[t=1,t=1]{dt/t} = 0 --(06-17)
[t=1,t=1] 就在積分起點原地不動！面積為零，這是
顯而易見的結果。

第二﹕log(a*b) = log(a) + log(b) -----(06-18)
這是對數特性公式(06-03)的要求，
f(a*b) = f(a)+f(b)　　
[a,b∈實數軸 ; a,b ≠ 0] --------------(06-03)
也是對數函數推理的起點。不過，既然定義了對數函數
(06-15)式，再驗證如下。

<a name="a06b23">
log(a*b) = ∫[t=1,t=a*b]{dt/t} //註﹕這是對數定義公式
         = ∫[t=1,t=a]{dt/t} + ∫[t=a,t=a*b]{dt/t}
上面這一步是把一段積分（上下限為 [t=1,t=a*b]）
改為兩段積分處理（上下限為 [t=1,t=a]及[t=a,t=a*b]）
因為二分之一段的尾端 t=a 就是二分之二段的起端 t=a
所以。上面的二分法，不改變積分值。繼續等於如下
       = log(a) + ∫[t=a,t=a*b]{dt/t}
上面這一步，根據定義，∫[t=1,t=a]{dt/t} 就是 log(a)
第二項使用替換變數法，把積分下限的 t=a 改為 t=1
才能滿足對數函數的定義。令新變數 u=t/a 即 t=u*a
<a name="a06b24">
積分下限﹕當 t=a 時 u=a/a=1 //註﹕此步是替換變數的重點
積分上限﹕當 t=a*b 時 u=t/a=a*b/a=b
另外一方面 dt/t = d(u*a)/(u*a) = du/u
因為 u 是變數，a 是常數，分子分母的 a 相消
（在對數定義域中的 a 是不許為零的！）
繼續等於如下（t 改成 u）
       = log(a) + ∫[u=1,u=b]{du/u}
       = log(a) + log(b)
因為根據定義 ∫[u=1,u=b]{du/u} = log(b)
至此得到下面的關係式
log(a*b) = log(a) + log(b) -----(06-18)
所以，對數的定義公式(06-15)式，
符合對數特性公式(06-03)式，驗證無誤。
97,12,06,15,01 此

<a name="a06b25">
97,12,06,16,47 始
(06-18)式是 log(a*b)，那麼 log(a/b) 又如何？
在 (06-18) 式中令 b=1/a 得到
log(a*(1/a)) = log(a) + log(1/a) 
也就是
log(1) = log(a) + log(1/a) 
參考(06-17)式 log(1)=0 得到
0 = log(a) + log(1/a)
所以 log(1/a) = -log(a) -----(06-19)
亦即 log(1/b) = -log(b)
得到 log(a/b) = log(a) + log(1/b)
最後公式為
log(a/b) = log(a) - log(b) -----(06-20)
97,12,06,16,56 此

<a name="a06b26">
對數函數的正整數次方

第三﹕log(a^n) = n*log(a) -----(06-21)
a^n 表示 a 的 n 次方，例如 a^3=a*a*a
當 n 為正整數時，容易證明
當 n=2 時 log(a*a) = log(a) + log(a) = 2*log(a)
當 n=3 時 log(a^3) = log(a*a) + log(a) = 3*log(a)
.....
當 n=p 時 log(a^p) = log(a^(p-1)) + log(a)
                  = (p-1)*log(a) + log(a)
                  = p*log(a)
上面證明了當 n 為正整數時，指數 n 從 log(a^n) 
取下來，變為乘數 n 如 n*log(a)。
當 n 不是正整數時，如何證明？

<a name="a06b27">
對數函數的實數次方
下面是第一次證明，
第二次證明於 (06-36) 式。

我們利用連鎖律（以後討論）證明如下
97,12,06,17,15 此
請注意，下面一行對數函數的定義域變數是 x^a
d(log(x^a))/dx  -----------------(06-22)
 = [d(log(x^a))/dx]*1 //乘一值不變
 = [d(log(x^a))/dx]*{d(x^a)/d(x^a)} //大括號是一
 = [d(log(x^a))/d(x^a)]*[d(x^a)/dx] //重新組合
 = [1/(x^a)]*[d(x^a)/dx]   //左半對數微分，
 = [1/(x^a)]*[a*(x^(a-1))] //右半一項式微分，不是指數微分，不是疊數微分
 = a*(x^(a-1))/(x^a) //分子分母消去 x^(a-1)
 = a*(1/x)           //指數 a 已經析出，
 = d(a*log(x))/dx    //(1/x)=d(log(x))/dx
上面導證的頭尾變為
d(log(x^a))/dx = d(a*log(x))/dx
左右兩個被微分項相差一個常數 C，故有
log(x^a) = a*log(x) + C
常數 C 是什麼值呢？x 是變數，C 必須適用於所有的 x。
令 x=1 得到 log(1^a) = a*log(1) + C
也就是 log(1) = a*log(1) + C //註﹕1 的任何數次方=1
也就是    0   = a*0      + C //註﹕log(1)=0
必須有 C=0，結論
log(x^a) = a*log(x) -----(06-21)
//註﹕ISBN 0-536-00909-0 第 241 頁，中間三分之一。
//註﹕ISBN 0-201-16290-3 第 402 頁，中間

上述證明步驟，不論指數 a 是整數、分數、無理數、超越數
都把指數 a 摘下，變為乘數 a 。但是，
上述證明步驟，限定對數函數輸入項是一項式 x^a
因為使用了 d(x^a)/dx=a*(x^(a-1))
這是一項式、多項式的微分法。

輸入項不能是指數，輸入項不能是疊數，因為
指數的微分規則及疊數的微分規則不一樣，所以，
上面的證明只限於一項式、多項式取對數、摘帽子。
這是劉鑫漢以為，不一定正確。

以上未知數是底數，已知數是指角，如 x*x*x, x^(PI/2)。
<a name="a06b28">
以下未知數是指角，已知數是底數，如 exp(x), 5^x

d(log(a^x))/dx  -----------------(06-23)
 = [d(log(a^x))/dx]*1
 = [d(log(a^x))/dx]*[d(a^x)/d(a^x)]
 = [d(log(a^x))/d(a^x)]*[d(a^x)/dx]
 = [1/(a^x)]*[d(a^x)/dx]
 = [1/(a^x)]*[(a^x)*log(a)] ??
 = log(a)  ??
97,12,06,17,18 止
本卷不是教科書，而是讀書心得及筆記，所以，
劉鑫漢可以困惑一陣，可以出一點小毛病！ :-)

<a name="a06b29">

97,12,06,19,20 始
x^5 及 e^x 兩個函數顯然不同。
x^5 表示 x*x*x*x*x 底數 x 是變數，指角 5 是常數
e^x 表示 e 提升至未知的 x 次方，　　指角 x 是變數。
一項式 x^5 不由 exp()  log()  處理
指數函數 e^x 由 exp()  log()  處理
(06-22)式的證明，用對數函數處理一項式？
我以為對數函數用來處理指數函數 e^x ，但是
(06-23)式的證明，指數、對數相消！得到常數
log(a)
<a name="a06b30">
底數未知時，x^5 是多項式的一項，微分得到 5*x^4
指角未知時，e^x 是指數函數，微分得到 e^x
exp(x) 中的 x 是 e^x 的指角 x 
那麼，對數函數 log(x) 中的 x 是底數嗎？是指角嗎？

因為 log(e^5) = 5*log(e) = 5 所以 x 是 e^5
log(x) 中的 x 不是底數 e，
log(x) 中的 x 不是指角 5，
log(x) 中的 x 是指數 e^5

<a name="a06b31">　目錄
下面談疊數 x^x ，底數是 x ，指角也是 x

當我們解 d(x^x)/dx 時，第一步對 f(x)=x^x 左右
都取對數，然後再用連鎖律解題。所以對數函數 log(x)
可以處理比較廣泛的問題。
疊數 x^x 不是一項式，也不是指數函數，因為 x^x 底
數及指角同時為未知。
以上是劉鑫漢的思考，可能錯誤！！
97,12,06,19,52 止

<a name="a06b32">
97,12,06,21,47 始
疊數 x^x 微分。疊數 x^x 曲線
因 x^x 的指角為變數 x ，故不可利用公式
 (x^n)' = n*x^(n-1) 求解；
同理，因底不為常數，故無法利用公式
(a^x)' = log(a)*a^x 求之。

令 f(x)=x^x  左右取對數，得到
log(f(x)) = log(x^x) = x*log(x) ---(06-24)
(06-24)式左側對 x 微分，得到
(1/f(x))*d(f(x))/dx
(06-24)式右側對 x 微分，得到
d[x*log(x)]/dx = [dx/dx]*log(x) + x*d[log(x)]/dx
               =  1*log(x) + x*(1/x)
               =  log(x) + 1
<a name="a06b33">
(06-24)式左側=右側，得到
(1/f(x))*d(f(x))/dx = log(x) + 1
把 f(x) 移至右側，
d(f(x))/dx = [log(x) + 1]*f(x)
還原 f(x)=x^x 得到
d(x^x)/dx = [log(x) + 1]*x^x ---(06-25)

微分在後面才會談到，不過，這裏順便記錄 d(x^x)/dx 
的微分法，因為微分法與對數函數有關。
97,12,06,21,59 止

<a name="9712111642">
疊數 x^x 微分，參考銘傳大學微積分
http://freeman2.biz/a2/mathaa10.pdf
第六十八頁例題五，總共九十頁。

疊數 x^x 微分，參考
Calculus with computer application
Ransim V. Lynch; Donald R. Ostberg;
Robert G. Kuller. 1973 by Xerox Corp.
ISBN 0-536-00909-0 第 259 頁。

疊數 x^x 微分，參考
Calculus Leonard Gillman and Robert H. McDowell
W.W. Norton & Company, Inc. 1973
ISBN 0-393-09350-6 ; 296頁, 例題二

疊數 x^x 微分，參考
Calculus and Analytic Geometry 6th ed.
George B. Thomas, Jr. and Ross L. Finney
ISBN 0-201-16290-3 第 420 頁，例題七

疊數 x^x 微分，參考
Methmatical Analysis A brief course for
Engineering students. by A.F.Bermant and
I.G.Aramanovich. Mir Publishers 1975.
第 140 頁，第 45 節。 
「疊數」英文為 composite exponential
或者 power-exponential //97,12,12,12,03

<a name="a06b34">
(06-22)式的證明，是讀書心得，參考書為
Calculus with computer application
Ransim V. Lynch; Donald R. Ostberg;
Robert G. Kuller. 1973 by Xerox Corp.
ISBN 0-536-00909-0 第 241 頁，中間三分之一。

Calculus and Analytic Geometry 6th ed.
George B. Thomas, Jr. and Ross L. Finney
ISBN 0-201-16290-3 
第 402 頁中間用 d(x^a)/dx = a*(x^(a-1)) 
證明 d(log(x^a))/dx = a*d(log(x))/dx 
97,12,06,22,34 止

<a name="a06b35">
97,12,06,23,12 始
無限大的妙用
有一位學生問一位智者﹕「是什麼東西把地球頂起來？」
智者回答﹕「是一頭大象」
學生皺皺眉頭，接著問﹕「是什麼東西把大象頂起來？」
啊！打破沙鍋問到底？智者略為思考，回答﹕
「是另外一頭大象，是一串無限長的大象，一個頂一個，
頂起來的。」
學生語塞，再怎麼問呢？智者說的是無限大！
上面這一段不是劉鑫漢吹牛，
上面這一段是課本的正式記載！參考書為
Calculus and Analytic Geometry 6th ed.
George B. Thomas, Jr. and Ross L. Finney
ISBN 0-201-16290-3 
第四零九頁下半頁。
97,12,06,23,21 止

<a name="a06b36">
97,12,07,12,23 始
(06-21)式 log(a^n) = n*log(a)
說﹕當 n 為正整數時， log(a^n) 的指數 n 可以
搬下來，改為乘數如 n*log(a) 。這是一個便利的性質
，那麼，如果 n 不是正整數時，是否仍然有
 log(a^n) = n*log(a)
的性質？(06-22)式嘗試證明這一點。

<a name="a06b37">
對數函數沒有上限、沒有下限

對數函數的定義公式為
log(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-15)
根據微積分基本定理，log(x) 的微分結果為(06-15)
式的被積分項，也就是
d[log(x)]/dx = 1/x  ----------(06-26)
(06-26)式是對數函數 log(x) 的切線斜率，
對數函數的定義域必須為大於零的實數，所以
對數函數的切線斜率 1/x 永遠大於零，如此，對數函
數是一個唯增函數，曲線永遠向右上方前進，
<a name="a06b38">
在橫軸上（定義域），畫一條縱立參考線，參考線只與對
數曲線相交於一點。
在縱軸上（值域），畫一條水平參考線，參考線只與對數
曲線相交於一點。
考慮底數為二的指數 2^n 當 n 是正整數時
(06-21)式 log(a^n) = n*log(a) 即
 log(2^n) = n*log(2) 證明為真。
<a name="a06b39">
當 n 增加時， log(2^n) 是否有上限？
假設有一個巨大值 M ，
當 n 趨於無限大時 log(2^n) 會小於 M 嗎？
我們令 log(2^n) = n*log(2) = M ------(06-27)
臨界值 n = M/log(2) ------(06-28)
所以當 n > M/log(2) 時
 log(2^n) = n*log(2) 會穿越巨大值 M ，
因為巨大值 M 是任意值，上面的分析表示
當 n 增加時，對數函數 log(2^n) 沒有上限。

<a name="a06b40">
對數函數沒有上限這一點，從曲線的切線斜率可以得
到相同的結論。
對數函數 log(x) 的切線斜率為 1/x 當斜率為
零的時候，有一條水平線擋住增值的去路，水平線的斜率
是零， 1/x 在什麼時候會變成零呢？在 x 趨近於無
限大時 1/x 趨近於零，水平線在無限遠處才出現？這
是實質上的永遠不出現！所以，對數函數沒有上限。

下限值可以用同理推斷，我們令
 log(1/(2^n)) = -n*log(2) = -M ------(06-29)
臨界值 n = M/log(2)
所以當 n > M/log(2) 時 log(1/(2^n)) 會
跌破負的巨大值 -M ，表示對數函數沒有下限。
97,12,07,13,04 此

<a name="a06b41">　目錄
97,12,07,13,18 始
對數函數的負整數次方

前面談論的 log(a^n) = n*log(a) -----(06-21)
是正整數次方，那麼負整數次方呢？利用
log(a/b) = log(a) - log(b) -----(06-20)
令 b =a*a*a 得到
log(a/(a*a*a)) = log(a) - log((a*a*a))
log(a/(a*a*a)) = log(a) - 3*log(a) //這一步利用正整數
log(1/a/a)= (1-3)*log(a) = -2*log(a)
所以，log(a^(-2)) = -2*log(a)
(06-21)式擴展至任何負整數。

請注意 log(1/a) = -log(a) -----(06-19)
為負一次方的公式
97,12,07,13,27 此

<a name="a06b42">
對數函數的分數次方

分數指數如何處理？
log(a*b) = log(a) + log(b) -----(06-18)
令 b=1/∛(a) 就是 b=a^(-1/3)
log(a*(a^(-1/3))) = log(a) + log(a^(-1/3))
log(a^(1-1/3)) =  log(a) - log(a^(+1/3)) //摘下負數指數
log(a^(2/3)) =  log(a) - log(a^(1/3))    //第一項有指數2
2*log(a^(1/3)) =  log(a) - log(a^(1/3))  //指數2，改為乘數2
(2+1)*log(a^(1/3)) =  log(a)
上式改寫如下
log(a^(1/3)) =  (1/3)*log(a) //分數指數變為分數乘數

<a name="a06b43">
對數函數的有理數次方

上面是 a^(1/3) ，相同的方法可以推及至其他的分數指數，
例如 a^(5/23) 可以改寫為 [a^(1/23)]^5 
其中，「^5」以整數指數處理，
「a^(1/23)」部份，仿照 a^(1/3) 處理，
所以，任何分數指數都可以摘下，改為乘數。
97,12,07,13,41 此

<a name="a06b44">
整數及分數合為有理數，在實數軸上，有理數、無理數交
錯排列，每一個無理數都可以找到一個非常接近的有理數
。每一個無理數都是無限長，不能停下來，因為
如果無理數不是無限長，它就是有理數！例如
圓周率 PI = 3.141592653589793...
有限長度的 3.14 是有理數，因為 3.14= 314/100
314 及 100 都是整數（有理數定義為﹕整數/整數）

<a name="a06b45">　目錄
97,12,07,18,22 始
對數函數的讀圖法如下圖，
請點擊「對數函數二 9712071703」按鈕




<a name="a06b46">
一般函數曲線的縱軸就是 f(x) 或者 y(x)，公式為
y(x) = sin(x) 舉例。但是，
對數函數曲線的縱軸 log(x) 與橫軸 x 的關係納入
了 e=2.718281828459045 變為
e^log(x) = x
更為明確的公式為
exp(log(x)) = x
其中 exp() 與 log() 互為反函數。

一般函數曲線的縱軸值不騎在 e=2.718 上面，
對數函數曲線的縱軸值要騎在 e=2.718 上面，
對數函數曲線 e^縱軸值 = 橫軸值

這是讀圖時應該注意的事情。
97,12,07,18,31 止

<a name="a06b47">
97,12,08,09,29 始
把指數 n 摘下來變為乘數的公式
 log(a^n) = n*log(a) -------(06-21)
第一次證明於 (06-22) 式，
下面是第二次證明。

對數函數的定義公式為
g(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-15)
現在討論實數指數 r （特別是包括無理數指數），令
log(x^r) = ∫[y=1,y=x^r]{1/y}dy --(06-33)
（上式的困難在積分上限是複合函數 x^r）

<a name="a06b48">
請特別注意，積分上限是 y=x^r 包括 x 的指角 r
更換變數，令 y = u^r ---------------(06-34)
更換變數之後，積分上下限變動如下
積分下限 y=1    變為 u=1 (1^r = 1)
積分上限 y=x^r  變為 u=x (y = u^r = x^r)

根據(06-34)式
dy = d(u^r) = r*u^(r-1)*du -----(06-35)

<a name="a06b49">
(06-33)式改寫為
log(x^r) = ∫[u=1,u=x]{1/u^r}*{r*u^(r-1)*du}
（上式的重點在積分上限變為簡單函數 x）

分子、分母消去共同項 u^(r-1) 得到
log(x^r) = ∫[u=1,u=x]{1/u}*{r*du}
指數 r 是常數，提到積分符號以外
log(x^r) = r*∫[u=1,u=x]{1/u}*du
此式右手側是 log(x) 的定義式，所以得到答案
log(x^r) = r*log(x) -----------(06-36)

<a name="a06b50">
第二次證明來自
Calculus Leonard Gillman and Robert H. McDowell
W.W. Norton & Company, Inc. 1973
ISBN 0-393-09350-6 ; 274頁, 公式 14
97,12,08,09,53 止

<a name="a06b51">　目錄
97,12,08,11,17 始
下面討論對數的底數 a 。

對數與指數互為逆運算，對於底數 a ，下面的公式成立
a^loga(x)=x --------------------(06-37)
loga(x)必須以 a 為底數，才能經由(06-37)式還原 x
我們知道，任何數的一次方等於它自己， 2^1=2, 5^1=5
，本此，如果 loga(x)=1
則有  a^1=a ，

<a name="a06b52">
根據(06-15)式定義的 log(x) ，它的底數未知，
可以令 log(x)=1 求得。這個特別的 x 命名為 e 
所以有 log(e)=1 也就是
 ∫[y=1,y=e]{1/y}dy = 1 -------(06-38)

歐拉 Euler, Leonard (1707-1783) 是第一個
研究 e 的數學家 (Tom M. Apostol 231頁 -5行)
歐拉以自己的名子命名 e (ISBN 0-201-16290-3
 406頁 -1行) e=2.718281828459045...
97,12,08,11,47 此

<a name="a06b53">
除了 e 之外，任何數字都可以當底數，例如
10^2=100 
10^3=1000
就是以十為底的數字，此時我們寫
log10(100)=2
log10(1000)=3

<a name="a06b54">

log10(x) 不同於 log(x) ，如何處理不同的底數？
假設 b>0  b≠1 （b 大於零，b 不等於一），
我們寫 y=logb(x) //以 b 為底的對數 2=log10(100)
也就是 x=b^y     //上式與左式一回事 100=10^2
取對數 log(x)=log(b^y)=y*log(b)
（此處的 log(x) 是以  e=2.718281828459045...
 為底的對數，不是以 b 為底的對數，改變了！）
解 y 得到 y = log(x)/log(b) // b 不等於一
也就是 logb(x) = log(x)/log(b) --(06-39)
如果是十底的對數
 log10(x) = log(x)/log(10) -----(06-40)

<a name="a06b55">　目錄
(06-39)式是任意底 b 的通式，
(06-40)式是常用底 10 的公式。
(06-40)是十底對數改為自然對數除以自然對數，
如果有一個以 c 為底的對數〔例如 c=7, log7(x)〕，則
 log10(x) = [loge(x)/loge(10)]*1
  = [loge(x)/loge(10)]*[loge(c)/loge(c)]
  = [loge(x)/loge(c)]*[loge(c)/loge(10)]
  = [logc(x)]*[1/logc(10)]
所以，
 log10(x) = logc(x)/logc(10) -----(06-41)
也成立。〔logc() 不是以 e=2.718281828459045 為底〕

變底的時候，對數曲線如何改變？
97,12,08,12,07 止

<a name="9712081209">
請點擊「對數函數三 9712081209」按鈕取閱對數變底圖




<a name="a06b56">
97,12,08,14,41 始
上面的變底對數曲線，重要的曲線是
自然對數﹕黑實線，代表 loge(x) (e=2.718281828459045...)
常用對數﹕藍實線，代表 log10(x) (10^3=1000 等等)

下面三行的 2.2  5  10  是對數函數的底數
2.2^1=2.2 在橫軸等於 2.2 時穿過縱軸等於一的點
 5^1=5    在橫軸等於  5  時穿過縱軸等於一的點
10^1=10   在橫軸等於 10  時穿過縱軸等於一的點
底數越大，在越右側穿過縱軸等於一的點，所以
底數越大，曲線越扁平。

<a name="a06b57">
以倒數改變底數，曲線變為上圖的虛線（下面三行的分數是底數）
1/2.2=0.45  0.45^(-1)=2.2  橫軸等於 2.2 時穿過縱軸=-1 的點
 1/5=0.2  0.2^(-1)=5    在橫軸等於  5 時穿過縱軸=-1 的點
1/10=0.1  0.1^(-1)=10   在橫軸等於 10 時穿過縱軸=-1 的點
因為零點一為底的對數，負一次方得到十，即 log0.1(10)=-1
 1/0.1 = 10 也就是
0.1^(-1) = 10
0.1 是以 0.1 為底的對數 log0.1(x)
(-1)是縱軸值，
 10 是橫軸值。

我寫記錄，有一點繞口，讀者思考，有一點繞腦，
這就是對數！對不對？對！
97,12,08,15,28 止

<a name="a06b58">
97,12,08,17,18 始
請注意下面的正確用法及錯誤用法
正確的對數使用法﹕log(x*y)=log(x)+log(y)
錯誤的對數使用法﹕log(x+y) 不= log(x)+log(y) 錯誤
錯誤的對數使用法﹕log(x+y) 不= log(x)*log(y) 錯誤

x 及 y 相乘時，可以利用對數函數改為加法。這是原始動機。
x 及 y 相加時，不能利用對數函數改為加法。加改加？不對！
x 及 y 相加時，不能利用對數函數改為乘法。這是指數函數的功能
97,12,08,17,23 止

<a name="a06b59">
97,12,09,09,32 始
由(06-15)式的推理過程，我們得到了對數函數的定義公式
g(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-15)

下面是另外一個推理過程，得到相同的結果

起點是對數特性公式
f(a*b) = f(a)+f(b)
[a,b∈實數軸 ; a,b ≠ 0] ----------(06-03)

<a name="a06b60">
(06-03)式是我們的夢想，是我們的假設公式。由推理得到
 f(1)=0 ----------(06-05)
假設 f(x) 可以微分，我們以(06-03)式對x微分
d[f(x*y)]/dx = df(x)/dx + df(y)/dx ---(06-09)
由推理得到
f'(y) = f'(1)/y ---------------(06-10)
及
log(a*b) = log(a) + log(b) -----(06-18)
log(a/b) = log(a) - log(b) -----(06-20)

上面的推理沒有使用微分的定義，得到(06-10)式。
<a name="a06b61">　目錄
下面使用微分的定義的推理得到相同的(06-10)式。

函數 f(x) 對 x 的微分，定義如下
[f(x+h)-f(x)]/[(x+h)-x] -----(06-42)
其中 h 是一個微量值，極小的、非零的正數。
要求 h 極小，為使割線逼近切線，割線有非零的斜率
　　　　分母，切線是我們的目標。
要求 h 非零，為使分子、分母的 h 可以相消。

(06-42)式的分母 [(x+h)-x] 變為 [h]

<a name="a06b62">
由對數特性公式
log(a/b) = log(a) - log(b) -----(06-20)
(06-42)式的分子 [f(x+h)-f(x)] 變為
f(x+h)-f(x) = f((x+h)/x) //這一步是對數獨有的
 = f(1 + h/x)
所以，(06-42) 變為
[f(x+h)-f(x)]/h = f(1 + h/x)/h -----(06-43)

<a name="a06b63">
參考(06-05)式的 f(1)=0 
(06-43)式減零及乘一，都不改變公式
[f(x+h)-f(x)]/h = 1*[f(1 + h/x)-0]/h 
減零改為 -f(1) ，乘一改為 乘x/x ，上式又為
[f(x+h)-f(x)]/h = (x/x)*[f(1 + h/x)-f(1)]/h 
右側分子有 h/x ，所以右側分母改為 h/x ，
重新分配 (x/x) ，上式變為
[f(x+h)-f(x)]/h
 = (1/x)*{[f(1 + h/x)-f(1)]/(h/x)}
<a name="a06b64">
這個公式，令 h 趨近於零，同時令 x 不變（常數）。
公式左側 [f(x+h)-f(x)]/h 變為斜率 f'(x)
公式右側 {[f(1 + h/x)-f(1)]/(h/x)}
變為斜率 f'(1) 這是在 x=1 點的曲線斜率。
全式改為
 f'(x) = (1/x)*f'(1) -------------(06-44)
 h 處理完畢之後，令 x 還原為變數。
(06-44)式與(06-10)式一樣。
由不同的推理過程，得到相同的結果。

<a name="a06b65">　目錄
參考書為
Calculus One and several variables, 4th ed
S.L. Salas and Einar Hille
John Wiley and Sons 1982
ISBN 0-471-04660-4 第 244 頁下半頁。
97,12,09,10,21 止

<a name="a06b66">
97,12,09,16,02 始，
在找對數輸入、輸出值的物理單位之實例時，讀到一段談
人造衛星軌道的文章
Physics for Scientist and engineers
Serway, 3rd ed, vol. 1 第 149 頁，部份課本內容
及部份劉鑫漢意見如下﹕
當風迎面吹來的時候，車行速度減緩，因為風的阻力使然
。開車踩油門時，汽車推動力增加，汽車加速前進。所以
，我們的經驗是
力量與速度同向時，速度增加，
力量與速度反向時，速度減低。

<a name="a06b67">
人造衛星的推進器噴火時，力量與速度同向，衛星速度減
緩！
人造衛星受到高空稀薄空氣阻力時，力量與速度反向，衛
星速度增加！
有沒有搞錯？請略為思考，然後點擊說明，　　＜＝說明764
97,12,09,16,12 此



<a name="a06b68">
97,12,09,17,22 始
最後討論
對數輸入值、輸出值容許什麼物理量？

數學家可以忽略不管，但是，物理學家及工程師必須了解
。
前面曾經討論三角函數的輸入值必須是純數，因為角度的
定義是弧長處以半徑，即長度除以長度，得到純數。同時
三角函數的輸出值必須是純數，因為直角三角形的邊長比
邊長，即長度除以長度，也是純數。

對數的輸入值、輸出值比較費事。首先看三個物理實例。

<a name="a06b69">
第一個例題﹕（Serway, 3rd ed, vol. 1 第 233 頁）
根據牛頓第三運動定律，火箭噴氣前進時，主體前進的動
量與噴氣後射的動量大小相等，方向相反，換言之，全系
統（主體及廢氣）的動量不變，我們可以寫下面的公式
(M+Δm)*v = M*(v+Δv)+Δm*(v-ve) --------(06-45)
等號左側是主體及廢氣噴出前的總質量乘噴前速度，也就
是噴前動量。
等號右側是噴出廢氣後的主體動量 M*(v+Δv) 加
噴出後的廢氣動量 Δm*(v-ve) ，也就是噴後總動量。
<a name="a06b70">
全式左右消去相同項之後，得到 
M*dv = -ve*dM -----------------------(06-46)
ve 是噴氣相對於火箭的速度，約略為常數，
(06-46)式積分得到
∫[v=Vi,v=Vf]dv = -ve*∫[M=Mi,M=Mf]{dM/M}
積分得到
Vf - Vi = ve*log(Mi/Mf) -------------(06-47)
這裏出現了對數函數 log(Mi/Mf)
Vi 是初始火箭速度，
Vf 是終止火箭速度，
Mi 是初始火箭質量，
Mf 是終止火箭質量。

<a name="a06b71">　目錄
第二個例題﹕（Serway, 3rd ed, vol. 1 第 460 頁）
音量強度的比值，
I0 是標準（參考）音量強度
I  是觀察音量強度，
比值為音量分貝
 beta=10*log(I/I0) -------------(06-48)

<a name="a06b72">
第三個例題﹕（Serway, 3rd ed, vol. 1 第 542 頁）
理想氣體公式為 P*V=n*R*T ----------(06-49)
理想氣體壓力 P 改變體積 dV 所做的功為
功 =  ∫[v=Vi,v=Vf]{P}dV
功 =  ∫[v=Vi,v=Vf]{nRT/V}dV
功 =  nRT*∫[v=Vi,v=Vf]{1/V}dV
功 =  nRT*log(Vf/Vi) ----------(06-50)
其中 nRT 是常數，與體積改變 dV 無關，所以 nRT 可以
提出至積分符號的外面。
Vf 是終止時的體積，
Vi 是開始時的體積。

<a name="a06b73">
上面是三個物理例題，使用對數函數

Vf - Vi = ve*log(Mi/Mf) -------------(06-47)
 beta=10*log(I/I0) -------------(06-48)
功 =  nRT*log(Vf/Vi) ----------(06-50)

(06-47)式的係數 ve 攜帶物理單位，與同式左側一致。
(06-48)式全式為純數。
(06-50)式的 nRT 攜帶物理單位能量，與同式左側功一致。
（功、能量、熱都是能量，還有，愛因斯坦說質量也是能量）
97,12,09,18,02 此

<a name="a06b74">
∫[v=Vi,v=Vf]{1/V}dV 產生的積分上限減積分下限，
得到 log(Vf) - log(Vi)
對數函數相減，變為二者的自變數相除，所以，積分結果是
log(Vf) - log(Vi) = log(Vf/Vi)  至此，
對數函數 log() 輸入變數 Vf/Vi 是相同物理量的比值，
輸入值是純數。

我們注意觀察，對數函數 log(Vf/Vi) (內) 的 Mi/Mf
及 I/I0 及 Vf/Vi 都是相同物理量的比值，都是純數。

這裏建議我們對數函數的輸入值都是純數。

<a name="a06b75">　目錄
對數函數的輸出值呢？請看定義公式
log(x) = ∫[y=1,y=x]{1/y}dy --(06-15)

積分符號 ∫[y=1,y=x] 表示總和，與物理量無關，
所以，可以略除 ∫[y=1,y=x]，得到
log(x) 物理量= {1/y}dy 也就是物理量= dy/y

微分符號 d 表示微量，與物理量無關，可以略除 d
得到
 log(x) 物理量= y/y
左側是對數函數的輸出值，不論 y 是什麼物理量，右側
是相同物理量的比值，結果為純數。
因此，對數函數的輸出值也是純數。

對數函數的底數是 e = 2.718281828459045...
這個數字肯定是純數， e 的指數必須是純數，我們
不能說 e 的面積次方，
只能說 e 的二次方。
純數 e 的純數次方，得到純數。所以，我們可以結論

<a name="a06b76">
對數函數的輸入值是純數，
對數函數的輸出值是純數，
物理量的單位由對數函數的係數承擔。
97,12,09,18,17 止

<a name="a06b77">



<a name="a06b78">　目錄
97,12,12,17,03 始
對數函數 log(x) 可以處理一些特殊函數，例如
疊數 x^x 微分。
疊數是指 x^x 底數與指角都含有自變數 x 的數
學項。請比較
多項式 x^3
指數  3^x
疊數  x^x
三者性質不一樣，微分法則不同。

<a name="a06b79">
疊數推廣為疊函數，也就是
疊函數的底數是函數 f(x)
疊函數的指角是函數 g(x)
疊函數的形式為 f(x)^g(x)

下面「畫圖　617」只是好奇，沒有特別意義。
試驗 pow(log(t),sin(t)) ，也就是 log(t)^sin(t) 
試驗 pow(sin(t),sin(t)) ，也就是 sin(t)^sin(t) 
因為 -1<=sin(t)<=+1 
所以  t > E 時 log(t)^sin(t) <= log(t)^1 = log(t)

<a name="a06b80">
E=2.718281828459045
t=2.718281828459045 時  log(E)=1
log(t)^sin(t) = log(t) 也就是 1^sin(E) = 1

sin(E)= 0.41078129050290884

1 < t < E : log(t)^sin(t) >= log(t)
  t=E :          1^sin(E) = 1
  t>E : log(t)^sin(t) <= log(t)^1 = log(t)
97,12,12,17,36 止

<a name="a06b81">
97,12,22,10,20 始
指數函數要求底數必須為正值，但是，下面的「圖　617」
紅色曲線的底數為 sin(x) 有正有負，當 sin(x) 
變為負值時，疊函數 sin(x)^sin(x) 無定義，沒有
點的坐標，畫圖程式從上一個有定義的最後一點，拉一條
直線到下一個有定義的第一點，所以出現下面的紅線。
請點擊「修改　617」，把藍色公式
函數二 y(t) pow(sin(t),sin(t))-1.5
改為紅色公式
函數二 y(t) pow((sin(t)+2),sin(t))-1.5
（黑色的 y(t) 不能加進去！）
再點擊黃線區內的「畫圖」按鈕，得到全部有定義的疊
函數。
97,12,22,10,28 止
<a name=a617>　目錄 請點擊「畫圖　617」按鈕看圖。

   
<a name=a962>　目錄
stepf(t,2) 是一個片斷定義函數 9507211206, 9711062208
stepf(t,-2)*(1-stepf(t,2)) 為 f1(t)=-3.09*sin(t) 開啟 [-2,2]
-3.09728632250*stepf(t,-2)*(1-stepf(t,2))*Math.sin(t)
stepf(t,2)*(1-stepf(t,5))為f2(t)=exp(-t+PI)*sin(t-PI)開[2,5]
+stepf(t,2)*(1-stepf(t,5))*Math.exp(-(t-PI))*Math.sin(t-PI)
stepf(t,5)*(1-stepf(t,8)) 為 f3(t)=x*x*x/108.75-1 開啟 [5,8]
+stepf(t,5)*(1-stepf(t,8))*(x*x*x/108.75-1)
這個函數不屬於《特殊平面曲線目錄》。
陳列於此，提醒讀者﹕本卷有開關函數


   



自修微積分 tutc0005.htm 在此結束。
如果繼續讀微積分，下面將接續
http://freeman2.com/tutc0006.htm

<a name=a987>　目錄
如何畫我自己（讀者）的函數曲線？請點擊「畫圖　987」


如果您想畫統計數據（不是數學公式曲線），請取用
http://freeman2.com/graph03c.htm
9511101014


爪哇簡稿卷目錄
http://freeman2.com/jsindex1.htm

本卷 tutc0005.htm 建立於中華民國九十七年十一月二十三日。

本卷網址
http://freeman2.com/tutc0005.htm
首次上載　　97,12,14

謝謝光臨自由人網站。
自由人　　97,12,13,18,02