<"a055_001"> 
100,06,28,10,00
歐拉轉動定理﹕//先決條件是紅字，請注意。
如果一個三維物體有一點固定於空間，物體的
任何運動（多次轉動），由起點至終點，可以
由一根轉軸及一個轉角，使用一次轉動完成。
下面，
使用羅柱桂建構圖證明歐拉轉動定理。
100,06,28,10,06

<a name="a055_002">
100,06,14,14,51
已知轉軸向量 v=[v1,v2,v3] ---公式rod001
規定向量v 的長度為一
v1*v1+v2+v2+v3+v3=1 ---公式rod002
已知轉動角度 α
在羅柱桂建構圖中，轉角的半角是主要參數。
<a name="a055_003">
定義四元數 
q=[q0;q1,q2,q3] ---公式rod003
如下
q0=cos(α/2) ---公式rod004
q1=sin(α/2)*v1 ---公式rod005
q2=sin(α/2)*v2 ---公式rod006
q3=sin(α/2)*v3 ---公式rod007
在上面的定義下，四元數的四個份子有下面的
限制條件
q0*q0+q1*q1+q2*q2+q3*q3=1 ---公式rod008

<a name="a055_004">
假設 p,q,r 都是四元數，關係如下
p=[p0;p1,p2,p3] ---公式rod009
q=[q0;q1,q2,q3] ---公式rod010
r=[r0;r1,r2,r3] ---公式rod011
分號「;」左側是「非向量」，右側是向量。
其中 p0;p1,p2,p3 及 q0;q1,q2,q3
都是已知。但是 r0;r1,r2,r3 為未知。
<a name="a055_005">
現在有
  r=p*q ---公式rod012
求證﹕非向量關係式
r0=p0*q0 ---公式rod013
  -[p1,p2,p3]‧[q1,q2,q3]
及向量關係式
[r1,r2,r3]=p0*[q1,q2,q3] ---公式rod014
          +q0*[p1,p2,p3]
    +[p1,p2,p3]×[q1,q2,q3]
本卷的全部內容為證明上述兩個公式。
公式rod013就是後面的公式rod115，
公式rod014就是後面的公式rod177。

<"a055_006"> 
公式rod013 及 公式rod014 是 
Simon L. Altmann
Rotations, Quaternions, 
and Double Groups 
ISBN 0-486-44518-6
第 160頁 (7)式。
 λ3=λ1λ2-Λ1‧Λ2 ---公式rod015
 Λ3=λ1Λ2+λ2Λ1+Λ1×Λ2 ---公式rod016
劉鑫漢使用上述書本為本卷課本。

Altmann 的證明由第155頁至第160頁。使
用羅柱桂建構圖，也是用球面立體幾何證明。
100,06,14,15,08止

<a name="a055_007">
100,06,21,11,42始
本卷的重點是討論歐拉轉動定理及
羅柱桂建構圖 Olinde Rodrigues Construction
因為羅柱桂建構圖恰好可以證明歐拉轉動定理
，所以，許多作者把羅柱桂建構圖稱為
「歐拉、羅柱桂建構圖」或者「歐拉建構圖」
，但是，歐拉的論述從來沒有使用半角，
[[
<a name="a055_008">
100,04,12,15,27 劉鑫漢取閱 
lrcphysics.com，此卷第 14/19 頁
歐拉從來沒有任何近似於羅柱桂的論述，特別
是歐拉從來沒有使用轉角的半角，而轉角的半
角是羅柱桂論文對轉動參數化的基本要求。
Euler never came near them: in
particular, he never used half-angles 
which, as demonstrated by Rodrigues, 
are an essential feature of the 
parametrization of rotations.
]]
因此，本卷使用名稱﹕羅柱桂建構圖。

<a name="a055_009">
歐拉轉動定理的證明方法是證明兩次連續轉動
可以合成一次轉動，我們必須說明﹕兩次轉動
與一次轉動的起點與終點一致，效果完全相同
。如果兩次轉動合成一次轉動成立，那麼，多
次轉動合成一次轉動，就不成問題，因為多次
套用二合一定理，直至多次合成一次轉動。

<a name="a055_010">
口乙畫板有兩個說明圖的按鈕，羅柱桂建構圖
與球面三角形。請先看口乙畫板
OA, OB, OC 是三個向量，代表三個轉軸。
繞OA軸轉動 α角，以 R(αA) 為簡化符號。
繞OB軸轉動 β角，以 R(βB) 為簡化符號。
繞OC軸轉動 γ角，以 R(γC) 為簡化符號。
R(γC) 解讀為﹕繞OC軸轉γ角的轉動(R)。
兩次轉動寫為 R(αA)R(βB)。
<"a055_011"> 
請注意﹕先後次序不同，轉動的結果不同，換
言之，R(αA)R(βB) 與 R(βB)R(αA) 得到
不同的效果，我們必須規定 R(αA)R(βB)
的先後準則。
<a name="a055_012">
根據課本第156頁的使用法
在 R(αA)R(βB) 中
第一次轉動是 R(βB)
第二次轉動是 R(αA)
第一次轉動與第二次轉動的淨效應，稱為
組合轉動，R(αA)R(βB) 代表組合轉動。

<a name="a055_013">
如果一個單點固定的運動由三次轉動組合而
成，規定 R(γC)是第一次轉動，
R(βB)是第二次轉動，R(αA)是第三次轉動，
那麼組合轉動等於 R(αA)R(βB)R(γC)
也就是組合轉動等於三次、二次、一次累積。
上面是正確寫法。如果寫為
組合轉動等於 R(γC)R(βB)R(αA)
也就是組合轉動等於一次、二次、三次累積，
這是違反規定的。

<a name="a055_014">
以下對 R(γC) 有不同的使用方法。
因為主要討論兩次轉動合成一次轉動，規定
第一次轉動是 R(βB)
第二次轉動是 R(αA)
組合轉動是 R(γC)=R(αA)R(βB)
以下 R(γC) ●不是● 第一次轉動

<a name="a055_015">
羅柱桂建構圖的特點是使用半角。
轉軸OA與轉軸OB都可以為任意方向。
為了簡化討論，規定，
第二次轉動轉軸OA指向北極，於是，
第一次轉動轉軸OB與轉軸OA形成一個
等經度大圓，（此大圓通過南北極）

<"a055_016"> 
已知條件是兩次轉動 R(αA) 及 R(βB) 
其中轉軸OA及OB，轉角α及β皆已知，
等值於組合轉動為 R(αA)R(βB)=R(γC)
如何找到組合轉動轉軸OC？
如何找到組合轉動轉角 γ？

<a name="a055_017">
先看組合轉動轉軸OC。
因為OC是組合轉軸，所以，
第一次轉動加第二次轉動的淨效應是轉不動
OC軸。然而，
單看第一次轉動，OC軸被轉移方向了，因為
組合轉軸OC必須不是一轉的轉軸OB。
單看二次轉動，一轉之後的OC軸又被二轉轉移
方向，因為組合轉軸OC必定不是二轉轉軸OA。
兩次轉動的淨效應是轉不動OC軸，所以，
一去一返，OC軸必須還回原位。

<a name="a055_018">
口乙畫板說明OC軸還回原位。
請注意﹕口乙畫板都使用轉角的半角。
第一次轉動轉軸是OB，轉角是β弧度。
β分為兩個半角 β/2=∠CBA=∠ABC'
本卷作圖，
令 C'≡D 為全等，令 B'≡E 為全等。
課本作圖使用 B' 與 C' ，
下面討論使用 D 及 E。

<a name="a055_019">
轉動方向的定義如下﹕
把眼睛放在轉軸尖端，視線指向坐標軸系原點
(0,0,0) 以 OB 為向量的正向（BO負向）
對 OB 向量使用右手律，判別轉動的正向，
得到逆時鐘轉動為正。據此，
<a name="a055_020">
口乙畫板
第一轉OB軸把OC點轉動β弧度，到達OD點。
同理，
第二轉OA軸把OD點轉動α弧度，返回OC點。
一去一返，C點還原，全球只有C點可以還原，
雖然C點是未知點，但是，根據還原的獨有性
質，我們可以找到C點坐標。
如何找呢？就是口乙畫板﹕羅柱桂建構圖中那
五條紅線嘛。（下面細說）
此圖說明找OC軸的理由，
此圖也說明找OC軸的方法。這一步，在
口乙畫板中說明。
100,06,21,13,41止

<"a055_021"> 
100,06,21,16,16始
上面討論組合轉動的轉軸 OC 特徵條件。
下面討論組合轉動的轉角 γ 條件。
這是一個比較容易的論題。

<a name="a055_022">
我們手邊有三根轉軸，
已知第一轉OB軸及已知轉角β
已知第二轉OA軸及已知轉角α
未知組合轉OC軸及未知轉角γ

<a name="a055_023">
第一次轉動轉軸是OB軸，任何轉動，無法轉
動它自己的轉軸。所以，
第一次轉動時，討論焦點OB軸不動。
第二次轉動時，討論焦點OB軸轉動至E點。
請注意看口乙畫板
<a name="a055_024">
我們在通過B點的等緯度小圓上找一點E，
隨之，大圓圓弧AB與大圓圓弧AE等長。
與B點等緯度的E點有無限多個。我們再要求
∠BAC等於∠EAC，於是唯一確定一個E點。
至此，球面三角形∆ABC與∆AEC相似（相等），
因為角度∠BAE=∠BAC+∠EAC
所以角度∠BAE=α/2+α/2=α
這正好是OA軸及轉動角度α，把B點轉至E點
的情況。
上面是OA軸把B點轉至E點，
<a name="a055_025">
下面是OC軸把B點轉至E點。
因為OC軸是兩次轉動的組合轉軸，所以，
OB軸第一轉，接著OA軸第二轉的結果，必須
由OC軸一次轉動完成。口乙畫板
已經有三角形∆ABC與∆AEC相似（相等），
所以，弧長BC與弧長CE等長，及
∠ACB等於∠ACE，那麼
∠ACB的外角等於∠ACE的外角，也就是，
∠BCH等於∠ECH
<"a055_026"> 
因為弧長BC與弧長CE等長，這代表
OC軸把B點轉至E點，轉角是∠BCE
結論﹕
在球面三角形ABC中，已知A點及B點坐標
，及已知A點頂角α/2及B點頂角β/2。
根據上述已知作圖，求頂點C，
C點是組合轉軸的位置，
頂角∠ACB的外角等於OC軸轉角γ的半角
γ/2。
100,06,21,17,19止

<a name="a055_027">
100,06,22,21,36 始
上面討論了羅柱桂建構圖，得到結論﹕
在球面三角形ABC中，已知A點及B點坐標
，及已知A點頂角α/2及B點頂角β/2。
根據上述已知作圖，求頂點C，
C點是組合轉軸的位置，
頂角∠ACB的外角等於OC軸轉角γ的半角
γ/2。
<a name="a055_028">
下面是導證工作。先準備證明需要的工具。
首先，討論球面三角形餘弦定理。請看
口丙畫板
OA,OB,OC 是三條半徑，長度都是一。
在A點沿AB弧畫切線，與OB半徑延長線交會於
D點。
在A點沿AC弧畫切線，與OC半徑延長線交會於
E點。
<a name="a055_029">
三角形ADE與三角形ODE是兩個平面三角形。
平面角DAE與球面三角形頂角A全等，
平面角DOE與球面三角形a邊對球心張角全等。
一個平面三角形有三個角。
一個球面三角形有六個角。除了三個頂角外，
球面三角形的三個邊對球心有張角。
球面三角形的三個邊一律以張角表示。
<a name="a055_030">
例如BC弧的張角是∠BOC，O是球心。
以大寫 A,B,C 代表球面三角形頂角。
以小寫 a,b,c 代表球面三角形張角。
平面三角形的定理不能對邊長取正弦餘弦。
球面三角形的定理只能對邊長取正弦餘弦。

<"a055_031"> 
對平面三角形ADE頂點A取平面餘弦定理，
  DE*DE= ---公式rod017
  AD*AD+AE*AE-2*AD*AE*cos(A)
對平面三角形ODE頂點O取平面餘弦定理，
  DE*DE= ---公式rod018
  OD*OD+OE*OE-2*OD*OE*cos(a)
//平面幾何定理，請參考其他網頁、課本。
AD在A點切於AB弧，所以，角OAD是直角，
AE在A點切於AC弧，所以，角OAE是直角。
<a name="a055_032">
由畢氏定理得到
OD*OD=OA*OA+AD*AD ---公式rod019
OE*OE=OA*OA+AE*AE ---公式rod020
改寫公式rod018如下
DE*DE=OA*OA+AD*AD+OA*OA+AE*AE
     -2*OD*OE*cos(a) ---公式rod021
以 公式rod021 減 公式rod017
<a name="a055_033">
消除 DE*DE 得到
0=OA*OA+OA*OA+2*AD*AE*cos(A)
     -2*OD*OE*cos(a) ---公式rod022
移項
2*OD*OE*cos(a) ---公式rod023
 =2*OA*OA+2*AD*AE*cos(A)
全式除以「2*OD*OE」
cos(a) ---公式rod024
 =OA*OA/(OD*OE)+AD*AE*cos(A)/(OD*OE)
 =(OA/OD)*(OA/OE)+(AD/OD)*(AE/OE)*cos(A)
<a name="a055_034">
在平面直角三角形OAD中，
OA/OD=cos(∠AOD)=cos(c) ---公式rod025
AD/OD=sin(∠AOD)=sin(c) ---公式rod026

在平面直角三角形OAE中，
OA/OE=cos(∠AOE)=cos(b) ---公式rod027
AE/OE=sin(∠AOE)=sin(b) ---公式rod028

<a name="a055_035">
公式rod024 可以改寫如下
cos(a) ---公式rod029
 =cos(c)*cos(b)+sin(c)*sin(b)*cos(A)
上式有三個小寫 a,b,c 及一個大寫 A ，
如果三個小寫 a,b,c 已知，也就是，
如果球面三角形的三邊已知，可以使用
公式rod029 求頂角 A。
<"a055_036"> 
最後公式為
cos(A)= ---公式rod030
[cos(a)-cos(b)*cos(c)]/[sin(b)*sin(c)]
依照同理，可以求得頂角B與頂角C的公式
cos(B)= ---公式rod031
[cos(b)-cos(c)*cos(a)]/[sin(c)*sin(a)]
cos(C)= ---公式rod032
[cos(c)-cos(a)*cos(b)]/[sin(a)*sin(b)]
公式rod030及公式rod031應用於公式rod172
上面公式表示法來自 I. Todhunter 28/189 頁
<a name="a055_037">
下面公式表示法來自 Rob Johnson 2/19 頁
相同公式不同表示法如下
cos(a)= ---公式rod033
+cos(b)*cos(c)+[sin(b)*sin(c)]*cos(A)
cos(b)= ---公式rod034
+cos(c)*cos(a)+[sin(c)*sin(a)]*cos(B)
cos(c)= ---公式rod035
+cos(a)*cos(b)+[sin(a)*sin(b)]*cos(C)
100,06,22,22,51 止 //a006222251

<a name="a055_038">
100,06,23,22,32 始
請再閱讀口丙畫板。球面三角形ABC的三邊
對球心張角都小於九十度。對頂角A而言，如
果對邊BC（也就是 a邊）的張角大於九十度
口丙第一圖仍然有效。但是，如果頂角A的鄰
邊，例如AB邊（也就是c邊）的張角到達九十
度，那麼切線AD與底線OB豈不是平行了嗎？
此時，D點位於無限遠。
<a name="a055_039">
如果頂角A的鄰邊超
過九十度，那麼，切線與底線的交點跑到球面
三角形的後面，請看口丙畫板。
∆ABC的AB邊超過九十度，
切線AD底線OB交點D在球面三角形的後面，
切線AE底線OC交點E在球面三角形的前面。
口丙第一圖的美麗圖解消失了！怎麼辦？
<a name="a055_040">
解決方法在口丙畫板
三圖的向量OA與向量OC不變，與二圖一樣
三圖的向量OB改為向量O新B及向量O老B。
向量O老B是原題向量，邊A老B大於九十度。
向量O新B是老B的反向向量，新B與老B連線
通過球心，A新B張角加A老B張角=180度
邊A老B大於九十度，邊A新B小於九十度。
原來的球面三角形是∆A老BC，
新建的球面三角形是∆A新BC。
<"a055_041"> 
下面看二者差別何在？使用 π代表180度
第一﹕
新B、A、老B三點共大圓，
∠新BAC+∠老BAC=π （180度）
∠新BAC=π-∠老BAC
∠新A頂角=π-∠老A頂角
<a name="a055_042">
新A=π-老A=π-A ---公式rod036
同理
A新B邊=π-A老B邊，新銳角=π-老鈍角
C新B邊=π-C老B邊，新鈍角=π-老銳角
新c=π-c ---公式rod037
新a=π-a ---公式rod038
上面兩行是更換的重點。
<a name="a055_043">
老題A的鄰邊鈍角，改為新題A的鄰邊銳角，
如此，切線與底線交點在新三角形的前面。
更換的代價是
老題A的對邊銳角，改為新題A的對邊鈍角，
對邊銳角或者鈍角無所謂。
新三角形與老三角形共用的資料是
共用AC邊。
新b=老b ---公式rod039

<a name="a055_044">
新三角形與老三角形相等的資料是
新B頂角=老B頂角
新B=老B ---公式rod040
新頂角B等於老頂角B（不是頂角A的互補）。
打開一本書，書頂的兩側夾角，與書底的兩側
夾角相同，即使以裝釘線為轉軸，把書本切為
半圓，仍然是書頂夾角等於書底夾角。這個比
喻恰好是書頂的新頂角B等於書底的老頂角B。

<a name="a055_045">
新三角形ABC（也就是∆A新BC）的餘弦公式為
cos(新A)= ---公式rod041
[cos(新a)-cos(新b)*cos(新c)]/[sin(新b)*sin(新c)]
使用 公式rod036 至 公式rod040 ，
更改為老三角形ABC（也就是∆A老BC）
如下
cos(π-A)= ---公式rod042
[cos(π-a)-cos(b)*cos(π-c)]/[sin(b)*sin(π-c)]
//參考 sin(PI-α)=+sin(α) ---公式rod043
//參考 cos(PI-α)=-cos(α) ---公式rod044
-cos(A)= ---公式rod045 //a006251804 更正
[-cos(a)-cos(b)*(-cos(c))]/[sin(b)*(+sin(c))]
上式左右消除一個負號，得到下式。
<"a055_046"> 
cos(A)= ---公式rod046
[+cos(a)-cos(b)*cos(c)]/[sin(b)*sin(c)]
對比於
cos(A)= ---公式rod030
[cos(a)-cos(b)*cos(c)]/[sin(b)*sin(c)]
二者一致。

<a name="a055_047">
上面討論的是原三角形一個鄰邊大於九十度，
新建的新老輔助三角形類似於「月」字形。
如果原三角形的兩個鄰邊都大於九十度，
向量OB及向量OC都要反向，分析方法一樣，
新建的新老輔助三角形類似於「叉」字形。
100,06,23,23,56止 a006232356

<a name="a055_048">
100,06,25,17,40始
上面導證了球面任意三角形　對邊　餘弦定律
一條公式中，對邊 a,b,c 出現五次，
頂角 A,B,C 出現一次。
cos(A)= ---公式rod030
[cos(a)-cos(b)*cos(c)]/[sin(b)*sin(c)]
cos(B)= ---公式rod031
[cos(b)-cos(c)*cos(a)]/[sin(c)*sin(a)]
cos(C)= ---公式rod032
[cos(c)-cos(a)*cos(b)]/[sin(a)*sin(b)]
公式左側都是三角形頂角，大寫的A,B,C
公式右側都是三角形邊長對球心張角，小寫的
a,b,c。
<a name="a055_049">
若頂角與張角對換，下面三個公式是否成立？
cos(a)= ---公式rod047
[cos(A)＋cos(B)*cos(C)]/[sin(B)*sin(C)]
cos(b)= ---公式rod048
[cos(B)＋cos(C)*cos(A)]/[sin(C)*sin(A)]
cos(c)= ---公式rod049
[cos(C)＋cos(A)*cos(B)]/[sin(A)*sin(B)]
上面公式改寫如下
<a name="a055_050">
下面公式表示法來自 I. Todhunter 34/189 頁
cos(A)= ---公式rod050
－cos(B)*cos(C)+[sin(B)*sin(C)]*cos(a)
cos(B)= ---公式rod051
－cos(C)*cos(A)+[sin(C)*sin(A)]*cos(b)
cos(C)= ---公式rod052
－cos(A)*cos(B)+[sin(A)*sin(B)]*cos(c)
<"a055_051"> 
大寫A,B,C是三角形頂角，
小寫a,b,c是三角形對邊。
球面任意三角形　頂角　餘弦定律
一條公式中，對邊 a,b,c 出現一次，
頂角 A,B,C 出現五次。

<a name="a055_052">
球面三角形三個頂角和必須大於一百八十度，
球面三角形三邊張角和可以趨近於零度。二者
的性質非常不同。不過，三角形頂角餘弦定律
公式rod050及公式rod051及公式rod052
確實為真。證明方法不難，要多費一點唇舌。
100,06,25,18,02 止  a006251802

<a name="a055_053">
100,06,25,19,38 始 
證明方法是根據原有球面三角形建立對偶球面
三角形。請看口丙畫板
∆ABC 是原有三角形，
∆LMN 是 ∆ABC 的對偶三角形。
建立的方法是
對向量OA取赤道大圓，實線粉紅色大圓，
通過MN兩點。
對向量OB取赤道大圓，實線綠色大圓，
通過LN兩點。
對向量OC取赤道大圓，實線灰色大圓，
通過LM兩點。
<a name="a055_054">
三個新建的赤道大圓把球面分割為八部分。
每畫一個大圓，把球面分為左右兩半。畫三個
大圓，二分三次，二的三次方等於八。八個新
建球面三角形中，只有一個新建三角形完全圍
住原有三角形，如四圖所示。其他七個三角形
都棄置不顧。若原有三角形面積大於八分之一
球面，那麼，選擇新建三角形完全被原有三角
形包圍，總之，原有三角形與新建三角形一大
一小，成「回」字形。如此，就不會選錯了。
新建三角形稱為原有三角形的對偶三角形，
原有三角形也是新建三角形的對偶三角形。

<a name="a055_055">
請注意﹕
新建三角形的MN邊在向量OA的赤道大圓上，
下面證明
新建MN邊張角加原三角形A頂角為180度。
也就是 //下面一行 ---公式rod053
  偶邊張角∠NOM+原有頂角∠CAB=180
口丙第四圖沒有畫 OL,OM,ON 三向量，
因為圖面擁擠。 a006252008此

<"a055_056"> 
為了證明上述關係，我們需要一個特殊的球面
三角形，稱為半球等腰三角形。
「半球」提示至少有一邊自北極到赤道，跨越
半個球面。
「等腰」提示，有兩邊跨越半個球面。
半球等腰三角形的英文是
semilunar triangle 
或者 semilune
Rob Johnson 4/19 頁，定義 2.1
請點擊口丙畫板

<a name="a055_057">
口丙第五圖的AB邊與AC邊都跨越半球。
所以，半球等腰三角形的特點如下
AB邊張角 ∠AOB 等於九十度
AC邊張角 ∠AOC 等於九十度
頂角B ∠ABC 等於九十度
頂角C ∠ACB 等於九十度

<a name="a055_058">
因為通過頂角A的切面（沒有畫）與通過BC
的赤道大圓平行，所以，
頂角A ∠BAC 等於BC邊張角 ∠BOC 
上面的結論是顯而易見的。
口丙第六圖需要應用上述關係。
100,06,25,20,28止

<a name="a055_059">
100,06,25,21,04始
下面請看口丙畫板。這是主要的證明圖形。
我們的目標是證明
新建MN邊張角加原三角形A頂角為180度。
也就是
  偶邊張角∠NOM+原有頂角∠CAB=180 ---公式rod053
這裏要證明
原頂角與偶邊角的和是180度。
<a name="a055_060">
原三角形A頂角∠CAB與
新建MN邊張角∠NOM 的計算如下
  ∠CAB + ∠NOM
= ∠CAB + ∠NAM
= ∠NAB + ∠CAM
= PI/2 + PI/2
= PI = 180度 ---公式rod054
<"a055_061"> 
  ∠COB + ∠NLM
= ∠CLB + ∠NLM
= ∠NLB + ∠CLM
= PI/2 + PI/2
= PI = 180度 ---公式rod055

<a name="a055_062">
說明如下
  ∠CAB + ∠NOM
= ∠CAB + ∠NAM ---公式rod056
成立的原因是
向量OA的赤道大圓是NM邊，
三角形NAM是半球等腰三角形，因此，
頂角∠NAM等於對邊NM的張角∠NOM。
上面三行請參考口丙第五圖。

<a name="a055_063">
下面說明
  ∠CAB + ∠NAM
= ∠NAB + ∠CAM ---公式rod057
頂角 ∠CAB 及 ∠NAM 都是繞向量OA
的轉角。∠CAB 完全包含於 ∠NAM 之中，
把 ∠NAM 寫為下面三者的和
 ∠NAM = ∠NAC + ∠CAB + ∠BAM ---公式rod058
把 ∠NAM 代入公式rod057左側，與 ∠CAB 
重新組合如下
 ∠CAB + ∠NAM ---公式rod059
 = ∠CAB + (∠NAC + ∠CAB + ∠BAM)
 =(∠NAC + ∠CAB) + (∠CAB + ∠BAM)
 = ∠NAB + ∠CAM ---公式rod060
<a name="a055_064">
NA 是向量OA與其赤道的半球邊，九十度。 
NB 是向量OB與其赤道的半球邊，九十度。
NA與NB都是張角九十度，它們在一個球體上，
所以，AB邊是向量ON的赤道，隨之，
∠NAB 是九十度。相同的推理，
∠CAM 是九十度。
九十加九十，是一百八十。

上面的證明來自 Rob Johnson 6/19 頁
100,06,25,21,46此

<a name="a055_065">
由上面的說明得到
新建MN邊張角加原三角形A頂角為180度
為真。
依據相同的推理，其他的關係都迎刃而解。

原有三角形 ∆ABC 頂點 A,B,C 對邊 a,b,c
對偶三角形 ∆LMN 頂點 L,M,N 對邊 l,m,n
（本卷編程指令又把 l,m,n 寫為 x,y,z）
<"a055_066"> 
總結關係如下
 L=PI-a ---公式rod061
 M=PI-b ---公式rod062
 N=PI-c ---公式rod063
 l=PI-A ---公式rod064
 m=PI-B ---公式rod065
 n=PI-C ---公式rod066
總結關係來自 I. Todhunter 23/189 頁
第 27 節。
該卷使用 A',B',C',a',b',c'。
本卷使用 L, M, N, l, m, n 。
100,06,25,22,08此

<a name="a055_067">
我們應用球面三角形餘弦定理於對偶三角形，
得到
cos(L)= ---公式rod067
[cos(l)-cos(m)*cos(n)]/[sin(m)*sin(n)]
引用總結關係，公式rod067變為
cos(PI-a)= ---公式rod068
[cos(PI-A)-cos(PI-B)*cos(PI-C)]/[sin(PI-B)*sin(PI-C)]
參考 公式rod043 及 公式rod044
得到
-cos(a)= ---公式rod069
[-cos(A)-cos(B)*cos(C)]/[sin(B)*sin(C)]
<a name="a055_068">
也就是
 cos(a)= ---公式rod070
[ cos(A)+cos(B)*cos(C)]/[sin(B)*sin(C)]
公式rod070 就是 公式rod047
我們證明了 公式rod047 為真。
其他公式的證明方法一樣。
至此，球面三角形餘弦定理，證明完畢。
100,06,25,22,18止  a006252218

<a name="a055_069">
100,06,25,23,20始  
上面證明球面三角形ABC餘弦定理。
下面證明球面三角形ABC正弦定理﹕假設
三角形 ∆ABC 頂點 A,B,C 對邊 a,b,c
則
 sin(A)  sin(B)  sin(C) 
 ------= ------= ------ ---公式rod071
 sin(a)  sin(b)  sin(c) 

<a name="a055_070">
上面已經證明了餘弦定理﹕
cos(A)= ---公式rod030
[cos(a)-cos(b)*cos(c)]/[sin(b)*sin(c)]
我們知道
sin(A)*sin(A)+cos(A)*cos(A)=1 ---公式rod072
公式rod072 是畢氏定理。
求 sin(A) 得到
sin(A)*sin(A)=1-cos(A)*cos(A) ---公式rod073
以公式rod030取代公式rod073的cos(A)

<a name="a055_073">
100,06,26,10,19 此
公式rod075 的右手側是 a,b,c 的對稱
公式，換言之，
如果左手側改為 sin2(B)/sin2(b)
或者左手側改為 sin2(C)/sin2(c)
公式右手側不變，這就是說 //下面一行 ---公式rod076 
sin2(A)/sin2(a)=sin2(B)/sin2(b)=sin2(C)/sin2(c)
<a name="a055_074">
全式開平方，得到球面三角形正弦定理
 sin(A)  sin(B)  sin(C) 
 ------= ------= ------ ---公式rod071
 sin(a)  sin(b)  sin(c) 
至此，球面三角形正弦定理，證明完畢。上面
的證明是閱讀 I. Todhunter 
30/189 頁的筆記。本卷尾的三個公式
公式rod173、公式rod174、公式rod175
引用上面的公式rod071
100,06,26,10,27 止 a006261027 

<a name="a055_075">
100,06,26,13,37 始
本卷 tutc0055.htm 主要目的是
使用羅柱桂建構圖證明歐拉轉動定理，
課本第157頁至第159頁有全部的證明
，第158頁第(7)式為恆等式
 (l×m)×(l×n)=(l×m‧n)*l ---公式rod077
其中，「*」為純數乘法，
「‧」為向量點積，「×」為向量叉積。
課本規定向量 l,m,n 的長度都是一。
下面證明恆等式 公式rod077

<"a055_076"> 
參考書為「微積分及解析幾何」，
作者為 George B.Thomas Jr.
作者為 Ross L. Finney 
國際書號為 ISBN 0-201-16290-3
六版 743頁 (8)式

<a name="a055_077">
起步公式為
(OA×OB)×OC = m*OA + n*OB ---公式rod078
本卷加入「O」，表示 OA,OB,OC 都是向量。
公式左手側有 OA,OB,OC 三個向量，
為什麼公式右手側只有 OA,OB 兩個向量？
為什麼公式右手側沒有 OC 而又使用等號？
請看口丁畫板一圖。

<a name="a055_078">
口丁第一圖是
向量OA叉積向量OB，結果為向量OD。
根據向量叉積的定義，我們知道
OD垂直於OA、OD垂直於OB。
（但是，OA不必垂直於OB）
<a name="a055_079">
下面再看口丁第二圖。
第二圖包括第一圖的內容，再加以
向量OD叉積向量OC，結果為向量OE。
引用第一圖的結論於新加部分 OD×OC=OE
得到 OE垂直於OD、OE垂直於OC
因為 OD⊥OA,OD⊥OB,OE⊥OD 
所以三次叉積的結果OE在OA、OB平面內。
公式rod078 右手側不需要向量OC。

<a name="a055_080">
下面看
(OA×OB)×OC = m*OA + n*OB ---公式rod078
中，如何求出係數 m 及 n 。
100,06,26,14,20 止
100,06,26,14,39 始
請看口丁畫板。
口丁第三圖增加地面坐標 x,y,z 。
為了簡化計算，
指定坐標系 x軸與向量OA重合，
指定坐標系 y軸在向量OA與向量OB平面上。
坐標系 z軸沒有選擇的可能，不必指定。
<"a055_081"> 
在上面指定條件之下，我們可以寫
向量OA=(a1,a2,a3)=(a1, 0, 0) ---公式rod079
向量OB=(b1,b2,b3)=(b1,b2, 0) ---公式rod080
向量OC=(c1,c2,c3)=(c1,c2,c3) ---公式rod081
零的出現，是我們簡化的結果。下面計算
二向量叉積及三向量叉積。
(OA×OB)=(a1, 0, 0)×(b1,b2, 0)
(OA×OB)=(0, 0, a1*b2) ---公式rod082

<a name="a055_082">
(OA×OB)×OC=(0, 0, a1*b2)×(c1,c2,c3)
  |  i   j   k  |
= |  0   0 a1*b2|
  | c1  c2  c3  |

= i(0*c3-c2*a1*b2)
 +j(c1*a1*b2-0*c3)
 +k(0*c2-0*c1)

<a name="a055_083">
= i(-c2*a1*b2)
 +j(c1*a1*b2)
 +k(0) ---公式rod083
也就是 //下面一行 ---公式rod084
(OA×OB)×OC=(-c2*a1*b2,c1*a1*b2,0)

<a name="a055_084">
由 公式rod079 至 公式rod084 
我們對 OA,OB,OC 三向量執行兩次叉積，
這是公式rod078 左手側的結果。
公式rod078 右手側告訴我們，
不要叉積啦，兩個向量加起來就對了。

<a name="a055_085">
下面執行 公式rod078 右手側，兩個向
量和。
 m*OA + n*OB  ---公式rod085
=m*(a1, 0, 0) + n*(b1,b2, 0)
=(m*a1, 0, 0) + (n*b1,n*b2, 0)
=(m*a1+n*b1, n*b2, 0)

<"a055_086"> 
公式rod078 右手側是 公式rod085
公式rod078 左手側是 公式rod084
現在令 公式rod084 等於 公式rod085
得到 x分量與 y分量兩個關係公式如下
 m*a1+n*b1=-a1*b2*c2 ---公式rod086
 n*b2     = a1*b2*c1 ---公式rod087
這兩個公式中 a1,a2,b1,b2,c1,c2 都是
已知，m 及 n 都是未知。
<a name="a055_087">
由 公式rod087 消除 b2 求 n 得到
 n = a1*c1 ---公式rod088
改寫如下
 n = a1*c1+ 0*c2+ 0*c3
 n = a1*c1+a2*c2+a3*c3
最後得到
 n=+(向量OA 點積 向量OC) ---公式rod089

<a name="a055_088">
但是，在公式rod087中，如果 b2 是零，
怎麼辦？我們指定
 x軸與向量OA重合，
 y軸在向量OA與向量OB平面上。所以
向量OA=(a1,a2,a3)=(a1, 0, 0) ---公式rod079
向量OB=(b1,b2,b3)=(b1,b2, 0) ---公式rod080
如果 b2 是零，那麼，向量OA與向量OB
平行。OA叉積OB變為零，結果向量沒有定義
，起始的題目就是無意義的問題，應該排除。
換言之， b2 必須不是零，所以，
公式rod087 中消除 b2 是合理的。

<a name="a055_089">
下一步，把 公式rod088 的n 代入
公式rod086 求 m 如下
 m*a1+n*b1=-a1*b2*c2 ---公式rod086
 m*a1=-n*b1-a1*b2*c2
 m*a1=-a1*b1*c1-a1*b2*c2 ---公式rod090
在 公式rod090 中，左右刪除 a1 ，
能不能刪除 a1 呢？如果 a1 是零怎麼辦？
<a name="a055_090">
上面討論了「消除 b2 是合理的」，
這裏，「能不能刪除 a1」？請讀者思考。
 m=-b1*c1-b2*c2
 m=-(b1*c1+b2*c2)
 m=-(b1*c1+b2*c2+ 0*c3)
 m=-(b1*c1+b2*c2+b3*c3) 
最後得到
 m=-(向量OB 點積 向量OC) ---公式rod091

<"a055_091"> 
把 公式rod089 及 公式rod091 
代入 公式rod078 得到 
  (OA×OB)×OC= ---公式rod092
  +(OA‧OC)OB-(OB‧OC)OA
這是 Thomas , Finney 微積分，
第六版 743頁 (8)式。743頁全頁證明
(8)式。類似問題，調換叉積先後次序，得到
744頁 (12b)式如下
  OA×(OB×OC)= ---公式rod093
  +(OA‧OC)OB-(OA‧OB)OC
後面的公式rod141，多次應用上面
公式rod092及公式rod093。
100,06,26,15,52此

<a name="a055_092">
課本第158頁第(7)式為
 (l×m)×(l×n)=(l×m‧n)*l ---公式rod077
課本的 l,m,n 就是本卷使用的球面三角形 
OA,OB,OC 向量。
上面以粗體字代表向量，
下面以 OL,OM,ON 代表向量
 (OL×OM)×(OL×ON)=(OL×OM‧ON)*OL ---公式rod094
公式rod094 與 公式rod077 是
一個公式。
<a name="a055_093">
下面利用
  (OA×OB)×OC= ---公式rod092
  +(OA‧OC)*OB-(OB‧OC)*OA
證明 公式rod094 
在 公式rod094 中，指定
 OP=(OL×ON) ---公式rod095
公式rod094 左手側變為 (OL×OM)×OP
<a name="a055_094">
根據 公式rod092 寫下面公式
 (OL×OM)×OP= ---公式rod096
  -(OM‧OP)*OL+(OL‧OP)*OM
還原OP，得到
 (OL×OM)×(OL×ON)= ---公式rod097
  -[OM‧(OL×ON)]*OL
  +[OL‧(OL×ON)]*OM
在 OL‧(OL×ON) 中，OL出現兩次，所以
  OL‧(OL×ON)=0 ---公式rod098
<a name="a055_095">
另外一方面，對換 OM 及 OL 的位置
  -OM‧(OL×ON)=+OL‧(OM×ON) ---公式rod099
把 公式rod098 及 公式rod099
代入 公式rod097 得到
 (OL×OM)×(OL×ON)= ---公式rod100
  +[OL‧(OM×ON)]*OL
<"a055_096"> 
OL、OM、ON 三者的順序、逆序改變正負號，
對換叉積與點積，不改變正負號，得到
 (OL×OM)×(OL×ON)= ---公式rod101
  +(OL×OM‧ON)*OL
公式rod101 就是 公式rod077。
公式rod101 是一個向量，結果方向在 OL
向量的方向。Simon L. Altmann 課本
規定向量OL長度為一，要求只考慮大小，不管
方向，對 公式rod101 取絕對值，
<a name="a055_097">
丟棄 |OL|=1 得到
 |(OL×OM)×(OL×ON)|=OL×OM‧ON ---公式rod102
這是課本 158頁 (8)式。
(OL×OM) 是 sin(c) 
(OL×ON) 是 sin(b)
(OL×OM)×(OL×ON) 是 sin(A)
b,c 是球面三角形 b邊及 c邊對球心張角。
A 是球面三角形 A頂點頂角。
<a name="a055_098">
公式rod102 表示
 sin(c)*sin(b)*sin(A)=OL×OM‧ON ---公式rod103
把 sin(c)*sin(b) 移至右手側
 sin(A)=OL×OM‧ON/[sin(c)*sin(b)] ---公式rod104
全式除以 sin(a)
 sin(A)/sin(a) ---公式rod105
 =OL×OM‧ON/[sin(a)*sin(b)*sin(c)]
<a name="a055_099">
公式rod105 右側是關於 a,b,c 的對稱
公式，換言之， sin(B)/sin(b) 及 
sin(C)/sin(c) 也有相同的值，
所以
 sin(A)/sin(a)
=sin(B)/sin(b) 
=sin(C)/sin(c) ---公式rod106
上面是課本證明球面三角形正弦定理。
100,06,26,16,43 止

<a name="a055_100">
100,06,26,19,26 始
上面走了漫長的路，都是準備工作。
下面證明 Simon L. Altmann 課本
158頁 (6)式
  cos(C)=-cos(A)*cos(B) ---公式rod107
         +sin(A)*sin(B)*(OL‧OM)
159頁 (15)式
  sin(C)*ON= ---公式rod108
  sin(A)*cos(B)*OL
 +cos(A)*sin(B)*OM
 +sin(A)*sin(B)*(OL×OM)

<"a055_101"> 
100,06,26,19,35 此
課本以粗體字 l,m,n 寫 (6)式及(15)式，
本卷改為 OL,OM,ON 
為什麼 (6)式及(15)式重要？
口乙畫板證明歐拉轉動定理，
先繞B軸轉β弧度，再繞A軸轉α弧度。
歐拉轉動定理說﹕兩轉可以合為一轉（二合一
），繞C軸轉γ弧度，一次完成。
(6)式是γ弧度的表達公式。
(15)式是C軸坐標的表達公式。

<a name="a055_102">
公式rod107 使用 (OL‧OM)
公式rod052 使用 cos(c) 小寫的 c
小寫的 c 代表球面三角形ABC 的AB邊。
課本的 l m n 本卷改為 OL,OM,ON
它們就是口乙畫板及
中的 OA,OB,OC 三向量。
討論圖解時，使用OA,OB,OC 三向量
導證公式時，使用 l m n
<a name="a055_103">
l‧m 就是 OL‧OM 就是 OA‧OB
OA‧OB 中的點積以餘弦函數表示 cos()
OA向量及OB向量的夾弧（弧度，不是夾角）
是三角形的 c邊。所以，OA‧OB 是 cos(c)
換言之，l‧m 就是 cos(c)。
(6)式 公式rod107 就是 公式rod052 
已經證明過了。

<a name="a055_104">
下面的工作是證明(15)式，公式rod108
C軸坐標的表達公式。
  sin(C)*ON= ---公式rod108
  sin(A)*cos(B)*OL
 +cos(A)*sin(B)*OM
 +sin(A)*sin(B)*(OL×OM)
上式是課本表示法。
<a name="a055_105">
向量 OA,OB,OC 與頂角 A,B,C 不會
混同，所以，公式rod108 可以視如
  sin(C)*OC= ---公式rod109
  sin(A)*cos(B)*OA
 +cos(A)*sin(B)*OB
 +sin(A)*sin(B)*(OA×OB)
鑒於課本 159頁 (13)式太長，下面的
導證仍然選用 l m n ，請記住，
l 是第二次轉動轉軸 OA
m 是第一次轉動轉軸 OB
n 是二合一轉動轉軸 OC
100,06,26,20,26 此

<"a055_106"> 
二合一的轉角公式必須全部是「非向量」。
二合一的轉軸公式必須全部是向量。核對如下
。
先看二合一的轉角公式。
  cos(C)=-cos(A)*cos(B) ---公式rod107
         +sin(A)*sin(B)*(OL‧OM)
因為 OL≡OA OM≡OB，改寫如下
  cos(C)=-cos(A)*cos(B) ---公式rod110
         +(sin(A)*OA)‧(sin(B)*OB)

<a name="a055_107">
第一項 -cos(A)*cos(B) 是「非向量」
第二項，OA是向量，OB是向量。
(sin(A)*OA)是縮短的向量
(sin(B)*OB)是縮短的向量
下面是向量點積向量
(sin(A)*OA)‧(sin(B)*OB)
結果是純數（非向量）
非向量加非向量，非向量等於非向量為合理。
（反之，向量與非向量加減等於是錯誤的）

<a name="a055_108">
上面是二合一向量轉角公式（已經證明）
下面是二合一向量轉軸公式（還沒有證明）
公式rod109 展示了轉軸 OA,OB,OC 與
頂角 A,B,C 的關係。下面 公式rod111
與 公式rod109 全等，但是，公式rod111
反映出更多內涵
 (sin(C)*OC)= ---公式rod111
  cos(B)*(sin(A)*OA)
 +cos(A)*(sin(B)*OB)
 +(sin(A)*OA)×(sin(B)*OB)
OA,OB,OC 都是向量，都有三個分量。
上面公式，左側一項，右側三項，全部都是向
量。所以，驗證公式性質合理。

<a name="a055_109">
為什麼把正弦項與向量組合在一起？
(sin(A)*OA)，(sin(B)*OB)，
(sin(C)*OC)。 ---公式rod112

羅柱桂建構圖與四元數有密切關連。
如果轉軸向量是 OA=[a1,a2,a3]，
要求轉軸向量長度為一。
如果繞 OA軸轉動 α弧度，
<a name="a055_110">
定義四元數 q 如下
  q=[cos(α/2);sin(α/2)*[a1,a2,a3]] ---公式rod113
也可以寫為
  q=[cos(α/2);sin(α/2)*a1,
  sin(α/2)*a2,sin(α/2)*a3] ---公式rod114
主要說明﹕正弦函數與轉軸向量相乘為一體，
所以 公式rod110 與 公式rod111 
反映出更多的內涵。
（也就是 公式rod107
 與 公式rod109 比較模糊）
100,06,26,21,07 止

<"a055_111"> 
100,06,27,11,15 始
為什麼差一個正負號？
球面三角形頂角餘弦定理為
  cos(C)=-cos(A)*cos(B) ---公式rod107
         +sin(A)*sin(B)*(OL‧OM)
也就是
  cos(C)=-cos(A)*cos(B) ---公式rod110
         +(sin(A)*OA)‧(sin(B)*OB)
<a name="a055_112">
這個公式是說
在一個球面三角形 ABC 中，
頂角C 的餘弦 cos(C) 等於頂角A、頂角B
的正弦、餘弦及向量OA與向量OB的組合公式
公式rod110式。
<a name="a055_113">
另外一方面，﹕（二合一的轉角公式）
 cos(γ/2)=＋cos(α/2)*cos(β/2) ---公式rod115
         －(sin(α/2)*OA)‧(sin(β/2)*OB)
相比於球面三角形公式（與轉動無關）
  cos(C)=－cos(A)*cos(B) ---公式rod110
         ＋(sin(A)*OA)‧(sin(B)*OB)
為什麼兩個公式差一個正負號？
如果兩個公式不一樣，怎麼能夠說
用羅柱桂建構圖證明歐拉轉動定理？
<a name="a055_114">
答案是﹕
兩個公式差一個正負號，是正確的。
請看口乙畫板。
因為C角是∆ABC的內角（頂角）
γ/2 是內角C的外角。
同一個頂點的內角外角互補，
<a name="a055_115">
內角加外角等於一百八十度。
cos(C)=cos(180-γ/2)=-cos(γ/2)

讀書時，想到問題，需要找答案。四年前曾經
想通，當時沒有留下記錄，現在想通了，趕緊
記錄於此。
100,06,27,11,41止

<"a055_116"> 
100,06,27,11,58始
下面是證明的核心部分，
證明課本159頁 (15)式
  sin(C)*ON= ---公式rod108
  sin(A)*cos(B)*OL
 +cos(A)*sin(B)*OM
 +sin(A)*sin(B)*(OL×OM)

<a name="a055_117">
請看口乙畫板
在球面三角形ABC中，頂角A頂角B的位置
已知，頂角A頂角B的弧度已知，根據已知，
求頂角C的位置（下面證明），
求頂角C的弧度（已經證明）。
<a name="a055_118">
C向量可以用A向量加B向量表示，例如
  向量OC=s*向量OA+t*向量OB
//上面一行 ---公式rod116 錯誤公式
公式rod116 是一個錯誤公式，為什麼？
從口乙畫板可以看出來，
C向量不在A向量及B向量展開面內，
C向量有分量立出於AB展開面。如何解決？
我們提供一個立出於AB展開面的分量，
向量OA 叉積 向量OB得到一個立出分量，
在口乙畫板「球面三角形」中，立出分量以紅
虛線表示。
<a name="a055_119">
C向量可以用A向量加B向量加立出分量表示
  向量OC=f*向量OA ---公式rod117
       +g*向量OB+h*立出分量
課本第158頁，倒數第三行， (11)式就是
上面的 公式rod117式。 
公式rod117式配合口乙畫板。不過，下面
<a name="a055_120">
導證使用課本記號法，改寫公式rod117式
如下
  n=fl+gm+hp ---公式rod118
其中
n是向量OC，未知，待求。
l是向量OA，已知。
m是向量OB，已知，
<"a055_121"> 
p是向量OA與向量OB的叉積結果向量
p=l×m ---公式rod119
因為l及m都是已知，所以，p是已知。
公式rod118 中有四個未知量
向量OC未知，係數f、g、h都是未知。
我們只有一個公式rod118 怎麼能夠
解四個未知量？所以，
<a name="a055_122">
我們必須找出係數f、g、h與已知量及未知n
的關係，把關係公式代入 公式rod118
使得 公式rod118 只包含一個未知 n，
才能解題。
下面的導證有特別規定﹕
符號「*」不代表乘法，
符號「*」代表輔助向量。
兩個符號放在一起，表示相乘，
換言之，略除乘法符號。
<a name="a055_123">
課本提示如下﹕
定義輔助向量 l*,m*,p*，針對
  n=fl+gm+hp ---公式rod118
要求 l*,m*,p* 具有下述關係
//提示﹕「‧」表示向量的點積 
 l‧l*=l*‧l=1 ---公式rod120
 m‧m*=m*‧m=1 ---公式rod121
 p‧p*=p*‧p=1 ---公式rod122
<a name="a055_124">
 l*‧m=0 ---公式rod123
 l*‧p=0 ---公式rod124
 m*‧l=0 ---公式rod125
 m*‧p=0 ---公式rod126
 p*‧l=0 ---公式rod127
 p*‧m=0 ---公式rod128
帶星號「*」的向量都是輔助向量。
<a name="a055_125">
l*及l兩個向量不平行、不垂直，二者長度之
點積結果為一。m*及m和p*及p一樣。
如果上述九個關係公式成立，我們得到什麼結
果？先看向量l*，有關公式為
 l*‧l=1 ---公式rod120
 l*‧m=0 ---公式rod123
 l*‧p=0 ---公式rod124
<"a055_126"> 
回頭看起始的
 n=fl+gm+hp ---公式rod118
我們用向量l*點積 公式rod118 得到
 l*‧n=fl*‧l+gl*‧m+hl*‧p ---公式rod129
結果是
 l*‧n=f1+g0+h0
上式右側表示 f乘1+g乘0+h乘0 結果如下
<a name="a055_127">
 l*‧n=f ---公式rod130
係數 f 有解答！同理
 m*‧n=g ---公式rod131
 p*‧n=h ---公式rod132
原來的題目要求解出係數 f、g、h與已知量
及未知n的關係。
新的題目要求解出輔助向量l*及m*及p*與已
知量及未知n的關係。
<a name="a055_128">
下面是最重要的觀念
向量由方向及長度組成，確定一個向量l*
需要找出l*的方向及l*的長度。
向量l*的條件是 //無星號的l,m,p都是已知
 l*‧l=1 ---公式rod120
 l*‧m=0 ---公式rod123
 l*‧p=0 ---公式rod124
公式rod123 及 公式rod124 為我們
提供向量l*的方向！
公式rod120 為我們提供向量l*的長度！
有眉目了！！

<a name="a055_129">
上面紅字是思考的重點，四年前讀書時，曾經
想通，當時只留下粗略的記錄，最近幾天再度
苦思，知難行易，下面的工作是容易的計算。
100,06,27,14,00 止

<a name="a055_130">
100,06,27,15,09 始
下面是計算工作，起步公式是
 n=fl+gm+hp ---公式rod118
 f=l*‧n ---公式rod130
 l*‧l=1 ---公式rod120
 l*‧m=0 ---公式rod123
 l*‧p=0 ---公式rod124
先求出l*，代入 公式rod130 得到 f
再代入 公式rod118

<"a055_131"> 
向量l*同時垂直於m及p，所以，由 m叉積p 
可以得到所求關係。因為 m叉積p 的結果
還需要根據 公式rod120 調整長度，下面使用
一個未知變數 k 。
根據 公式rod123 及 公式rod124 令
 l*=km×p ---公式rod133
根據 公式rod120 要求
 l*‧l=
 1=km×p‧l ---公式rod134
<a name="a055_132">
解 k 得到
 k=1/(l‧m×p) ---公式rod135
把 k 代入 公式rod133 求 l*
 l*=m×p/(l‧m×p) ---公式rod136
把 l* 代入 公式rod130 求 f
 f=[m×p/(l‧m×p)]‧n
 f=[m×p]‧n/(l‧m×p) ---公式rod137
<a name="a055_133">
同理 //[l×p]‧n 錯誤
 g=[p×l]‧n/(l‧m×p) ---公式rod138
　及 //[m×l]‧n 錯誤
 h=[l×m]‧n/(l‧m×p) ---公式rod139
把係數 f,g,h 代入 公式rod118 得到
下面的 公式rod140 
100,06,27,15,38 此

<"a055_136"> 
100,06,27,16,15 此
公式rod141 右側第一項的分母（紅色）
是 l‧m×(l×m)
這是向量l點積向量m×(l×m)，引用
  OA×(OB×OC)= ---公式rod093
  +(OA‧OC)OB-(OA‧OB)OC
<a name="a055_137">
計算如下
 l‧m×(l×m)
=l‧[(m‧m)l-(m‧l)m]
=(m‧m)l‧l-(m‧l)l‧m
=1-(m‧l)2 ---公式rod142 

<a name="a055_138">
其中 m‧m=1  ---公式rod143 
　及 l‧l=1  ---公式rod144 
因為我們要求 l m n 都在半徑
為一的球面上，向量長度都是一。
公式rod141 右側第二項的分母（藍色）
是 m‧(l×m)×l
這是向量m點積向量(l×m)×l，引用
  (OA×OB)×OC= ---公式rod092
  +(OA‧OC)OB-(OB‧OC)OA
<a name="a055_139">
計算如下
 m‧(l×m)×l
=m‧[(l‧l)m-(m‧l)l]
=m‧(l‧l)m-m‧(m‧l)l
=(l‧l)m‧m-m‧l(m‧l)
=1-(m‧l)2 ---公式rod145

<a name="a055_140">
公式rod141 右側第三項的分母（黑色）
是 (l×m)‧l×m
這是向量(l×m)點積向量l×m，
計算如下
 (l×m)‧l×m
=(l×m)×l‧m
=[(l×m)×l]‧m //參考 公式rod145
=1-(m‧l)2 ---公式rod146

<"a055_141"> 
至此，得到 公式rod141 右側三項的分母
都是 1-(m‧l)2
對 公式rod141 通分得到
100,06,27,16,50 此

<a name="a055_143">
公式rod147 分子部分仍然有三個向量
的叉積，兩組紅色項，

根據 公式rod093 及參考 公式rod142 
公式rod147 第一組紅色項為
 n‧m×(l×m) ---公式rod148
=n‧[(m‧m)l-(m‧l)m]
=n‧l-(m‧l)(n‧m) //(m‧m)=1

<a name="a055_144">
根據 公式rod092 及參考 公式rod145 
公式rod147 第二組紅色項為
 n‧(l×m)×l ---公式rod149
=n‧[(l‧l)m-(m‧l)l]
=n‧m-(m‧l)(n‧l) //(l‧l)=1

把 公式rod148 及 公式rod149 
代入 公式rod147 得到
沒有三向量連續叉積的公式。

公式rod150 是課本159頁第三行公式 (13)。
100,06,27,17,31 止

<"a055_146"> 
100,06,27,19,07 始
公式rod150 有向量與非向量兩部分。
分子三個方括號及分母都是非向量。
分子三個方括號右側項是三個向量，它們是
 l 及 m 及 l×m
向量部分已經定案，不動。
下面的工作是把非向量部分改為球面三角函數
 cos(), sin()，函數參數是頂角 A,B,C
及對邊 a,b,c 。
<a name="a055_147">
需要處理的公式片斷是
[n‧l-(m‧l)(n‧m)] ---公式rod151
[n‧m-(m‧l)(n‧l)] ---公式rod152
[n‧l×m] ---公式rod153
1-(m‧l)2 ---公式rod154
本卷使用多種表示法，因為
l≡OA ---公式rod155
m≡OB ---公式rod156
n≡OC ---公式rod157
//「≡」說成「就是」

<a name="alert001">提示二
但是！n 是未知！ a007051407
公式rod150 左右都有未知項 n ！
下面的計算包含已知及未知，
已知為 A頂角、B頂角 AB=c邊
未知為 C頂角、CB=a邊、CA=b邊
已知及未知合在一起，按照球面三角
形規則計算，只要最終的答案，全部
是已知項，就可以了。a007051419

<a name="a055_148">
改寫需要處理的公式片斷如下
[OC‧OA-(OB‧OA)(OC‧OB)] ---公式rod158
[OC‧OB-(OB‧OA)(OC‧OA)] ---公式rod159
[OC‧OA×OB] ---公式rod160
1-(OB‧OA)2 ---公式rod161
當閱讀口乙畫板時，把 l,m,n 改為 OA,OB,OC 。

<a name="a055_149">
請注意，球半徑是一，所以
|OA|=|OB|=|OC|=1 ---公式rod162
再次提示﹕大寫的 A,B,C 是三角形頂角，
小寫的 a,b,c 是三角形邊對球心張角。
A+B+C 必定大於一百八十度
a+b+c 可以趨近零度，非常不一樣。

<a name="a055_150">
下面需要參考口乙畫板
圖形顯示
OC‧OA=cos(b) ---公式rod163
OB‧OA=cos(c) ---公式rod164
OC‧OB=cos(a) ---公式rod165
所以 
<"a055_151"> 
[OC‧OA-(OB‧OA)(OC‧OB)] ---公式rod158
變為
cos(b)-cos(c)cos(a) ---公式rod166

[OC‧OB-(OB‧OA)(OC‧OA)] ---公式rod159
變為
cos(a)-cos(c)cos(b) ---公式rod167

<a name="a055_152">
參考 公式rod103
[OC‧OA×OB] ---公式rod160
變為
sin(c)*sin(b)*sin(A) ---公式rod168

1-(OB‧OA)2 ---公式rod161
變為
1-cos2(c) ---公式rod169

<a name="a055_153">
把 公式rod166 至 公式rod169 代入
公式rod150 
並且把右側分母移至左側分子，結果為
 [1-cos2(c)]n= ---公式rod170
 [cos(b)-cos(c)cos(a)]l
+[cos(a)-cos(c)cos(b)]m
+[sin(c)*sin(b)*sin(A)](l×m)
//l≡OA ---公式rod155
//m≡OB ---公式rod156
//n≡OC ---公式rod157
//下面又回到 l，m，n

<a name="a055_154">
公式rod170 全部使用球面三角形的
邊長對圓心張角，小寫的 a,b,c。
在歐拉轉動定理中，
我們知道第一轉軸的轉角 β，取其半角 β/2
為三角形 B點頂角。
我們知道第二轉軸的轉角 α，取其半角 α/2
為三角形 A點頂角。
組合轉軸位於頂角 C點，
組合轉角是頂角 C的外角。
我們必須把公式中小寫的 a,b,c 改為
大寫的 A，B，C 才是有用的公式。
下面為此目標執行轉換。

<a name="a055_155">
左側項 [1-cos2(c)] 等於 sin2(c)
寫為 sin(c)sin(c)
一個 sin(c) 留在公式左側分子位置，
另外一個 sin(c) 移公式右側分母位置，
公式rod170 變為下面形式

<a name="a055_157">
在公式rod171 中，
紅色的 sin(a)/sin(a) 是故意加入的乘一，
紅色的 sin(b)/sin(b) 是故意加入的乘一，
灰色的 sin(c)/sin(c) 分子分母相消為一。
公式rod171 是課本159頁頂第六、七行公式
公式 (14) 

<a name="a055_158">
整理 公式rod171 變為下面的 公式rod172 

<a name="a055_159">
下一步，引用球面三角形餘弦定理
cos(A)= ---公式rod030
[cos(a)-cos(b)*cos(c)]/[sin(b)*sin(c)]
cos(B)= ---公式rod031
[cos(b)-cos(c)*cos(a)]/[sin(c)*sin(a)]

<a name="a055_160">
公式rod172 中的紅色項被餘弦取代。
第一行紅色項改為 cos(B) 雖然 l 是 OA
　　但是不能改為 cos(A)
第二行紅色項改為 cos(A) 雖然 m 是 OB
　　但是不能改為 cos(B) 
請注意，公式的 A,B 在餘弦項交叉。
大寫的 A,B,C 是三角形頂角，
小寫的 a,b,c 是三角形邊對球心張角。

<"a055_161"> 
公式rod172 中有四個小寫的正弦
sin(a), sin(b) , sin(b) , sin(c) 

球面三角形ABC正弦定理
 sin(A)  sin(B)  sin(C)  1
 ------= ------= ------= - ---公式rod071
 sin(a)  sin(b)  sin(c)  k

<a name="a055_162">
其中 k 是常數，根據正弦定理，有下述關係
 sin(a)=k*sin(A) ---公式rod173
 sin(b)=k*sin(B) ---公式rod174
 sin(c)=k*sin(C) ---公式rod175
請注意大寫小寫的差異。把上面三個公式代入
公式rod172 ，左右消去常數 k
結果是最終的公式
 sin(C)n= ---公式rod176
  sin(A)cos(B)l+cos(A)sin(B)m
 +sin(A)sin(B)(l×m)

<a name="alert002"> 提示一
頂角A及頂角B皆已知，頂角C未知，
首先解公式rod115，求 γ/2，
然後，頂角C=180-γ/2 下一步
解公式rod176，求轉軸n。
a007051426

<a name="a055_163">
在公式rod176中，把頂角A,B,C 改為
轉角的半角 α/2, β/2, γ/2 ，
把 l 改為 OA //l≡OA
把 m 改為 OB //m≡OB

<a name="a055_164">
轉動問題的二合一向量轉軸公式為
 (sin(γ/2)*OC)= ---公式rod177
  cos(β/2)*(sin(α/2)*OA)
 +cos(α/2)*(sin(β/2)*OB)
 +(sin(α/2)*OA)×(sin(β/2)*OB)

<a name="a055_165">
轉動問題的二合一向量轉角公式為
 cos(γ/2)=＋cos(α/2)*cos(β/2) ---公式rod115
         －(sin(α/2)*OA)‧(sin(β/2)*OB)

<"a055_166"> 
上面兩個公式都已經證明了，至此，
使用羅柱桂建構圖證明歐拉轉動定理
證明完畢。
謝謝歐拉，
謝謝羅柱桂，
謝謝 Simon L. Altmann
也謝謝讀者閱讀本卷。

劉鑫漢 中華民國百年六月二十七日
100,06,27,21,21 止 a006272121



<a name="a055_167">
100,06,28,10,18
本卷 tutc0055.htm 有口乙畫板、口丙畫板
、口丁畫板，但是沒有口甲畫板。由民國百年
六月十四日至六月二十七日，寫讀書心得，
二十七日完成證明。工作卷 stud0008.htm
已經超過五十萬位元，決定把證明部分改為自
修第五十五卷 tutc0055.htm ，把作圖工具
口甲畫板改為球面三角形網頁 sphtriac.htm
所以，tutc0055.htm 沒有口甲畫板。
<a name="a055_168">
本卷 tutc0055.htm 公式編號為 
「公式rod001」至「公式rod178」，其中
rod 代表羅柱桂 Olinde Rodrigues 
原想上載一個大卷，名為 rodriguc.htm
「公式rod001」引用卷名。現在分為兩個小卷，
不再使用 rodriguc.htm
而公式編號仍然保留「rod」。
100,06,28,10,30 止

<a name="a055_169">
100,06,30,08,06 始
劉鑫漢寫本卷
使用羅柱桂建構圖證明歐拉轉動定理
有幾個目的
第一﹕證明歐拉轉動定理
第二﹕瞭解羅柱桂建構圖
第三﹕導證四元數乘積公式

<a name="a055_170">
若讀者只關注證明歐拉轉動定理，現在有許多
不同的方法證明。例如，屬於線性代數的矩陣
法。證明兩個轉動矩陣的乘積仍然是一個轉動
矩陣，再證明轉動矩陣R 有一個特徵值一及對
應的特徵向量v ，於是下面公式成立
  Rv=v ---公式rod178
公式rod178代表轉動之後的結果向量 Rv 
與轉動之前的起始向量 v 一致，據此求v 。
矩陣法比本卷簡單，不過，矩陣法不使用球面
幾何，所以，矩陣法不能瞭解羅柱桂建構圖，
不能導證四元數乘積公式。
100,06,30,08,30 此

<"a055_171"> 
有些網路資料說﹕「我們定義兩個四元數的乘
積為公式rod013 及公式rod014」
在寫完本卷之後，知道，兩個四元數的乘積
  r=p*q ---公式rod012
得到的結果是唯一的答案，沒有選擇。在唯一
的條件下，最好不要說「定義」。

<a name="a055_172">
求證四元數的乘積﹕公式rod013及
公式rod014 一直是劉鑫漢想切實計算的
工作，現在終於完成了。
100,06,30,08,38 止 a006300838

<a name="a055_173">
100,07,03,15,30 
本卷中文版校對兩次，英文版校對兩次，一共
發覺兩處粗心錯誤，「a006251804 更正」
及「a007031517更正」，劉鑫漢不能保證校對
之後的內容完全正確，請讀者仔細閱讀，處處
置疑，如果懷疑可能錯誤，請讀者請教數學高
手。
100,07,03,15,35 

<a name="a055_174">
100,07,19,14,23 始
更新 100,07,19 有兩點改變
第一、增加羅柱桂照片網頁接點。
　　　在「歐拉定理 羅柱桂建構圖」中
　　　「羅」是原有接點，「柱桂」是照片接點。
第二、增加課本購買記錄。
劉鑫漢的電腦工作已經停止，近期未來不會上
載讀書筆記。
<a name="a055_175">
電腦銀幕底板有十列圖標，現在
上面三列佔用上半銀幕面積，
下面七列佔用下半銀幕面積。同一行文字
放在銀幕頂端文字高度是
放在銀幕底端文字高度的五倍。
銀幕已經到了不適用的地步。現在只能偶爾上
載簡短更新。如果銀幕停止工作，自由人網站
不再更新。再見。
100,07,19,14,36 止



<"reference"> 
下面是參考資料。
100,04,11,16,41 劉鑫漢取閱 Olinde Rodrigues Construction
http://calclab.math.tamu.edu/~rahe/2008a_664_700720/rotations.pdf
此卷第 6/12 頁有口乙畫板的羅柱桂建構圖

100,04,12,15,27 劉鑫漢取閱 
lrcphysics.com ... 
此卷第 13/19 頁有口乙畫板的球面三角形作圖。

100,06,21,23,07 取閱「球面三角」
I. Todhunter 28/189 頁
http://lgdata.s3-website-us-east-1.amazonaws.com/docs/1336/243192/19770-pdf.pdf

100,06,23,13,51 取閱「球面三角」
Rob Johnson 2/19 頁
http://www.whim.org/nebula/math/pdf/spheretrig.pdf

上面是英文網頁，
下面是中文網頁。

100,06,29,00,17 球面三角基本公式，八頁
http://www.fengshui-chinese.com/non-cgi/usrRMnOEMvH8/61/59/sanjiao_1124797424.pdf

100,06,29,00,19 基本球面三角公式，一頁
http://www.es.ntnu.edu.tw/download/2010astro_obs/5.SphericalTrigonometry.pdf

100,06,29,01,08 七、球面幾何和球面三角學 （第 2 頁）
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_07/page2.html
100,06,29,01,12 七、球面幾何和球面三角學，項武義
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_07/index.html

100,06,29,01,23 球面三角形的AAA 定理，張海潮
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d281/28104.pdf

<a name="textbookbuy">
100,07,19,14,00 始
本卷的課本是
Simon L. Altmann
Rotations, Quaternions, 
and Double Groups 
ISBN 0-486-44518-6
購買日期﹕民國九十五年七月六日
收書日期﹕民國九十五年七月十九日
Amazon.com $12.97
Order ID=103-3725340-3275044
100,07,19,14,08 止